(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第9章 第3讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．已知圆C的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4  B．(x－2)2＋(y－1)2＝4

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16

解析：选C．根据圆C的半径长是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.

2．(2020·河北九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)

A．x2－y2－2x－3＝0  B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2－4x＝0  D．x2＋y2＋2x－3＝0

解析：选C．由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故选C．

3．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)

A．一个圆  B．两个圆

C．半个圆  D．两个半圆

解析：选D．由题意得

即或

故原方程表示两个半圆．

4．(2020·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)

A．1＋  B．2

C．1＋  D．2＋2

解析：选A．将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A．

5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1  B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4  D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A．设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

解析：已知方程表示圆，则a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，

表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．

答案：(－2，－4)　5

7．过两点A(1，4)，B(3，2)且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程为________．

解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆心在直线y＝0上，所以b＝0，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.

答案：(x＋1)2＋y2＝20

8．若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆C的方程是________．

解析：设C(a，b)，因为已知圆的圆心为A(－1，0)，由点A，C关于x＋y－1＝0对称得

解得又因为圆的半径是1，

所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，

即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.

答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0

9．求适合下列条件的圆的方程．

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．

解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有

解得a＝1，b＝－4，r＝2.

所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

所以半径r＝＝2，

所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

则

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．

则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，

则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，

所以(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得或

所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．

所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

[综合题组练]

1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)

A．8x－6y－21＝0　　　　 B．8x＋6y－21＝0

C．6x＋8y－21＝0  D．6x－8y－21＝0

解析：选D．由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．

因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，

所以|PO|2＋r2＝|PC|2，

所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，

即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D．

2．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)

A．－2  B．

C．－2  D．－2

解析：选C．如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故选C．

3．(应用型)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．

解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．

因为△OPQ为直角三角形，

所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，

因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5

4．(应用型)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．

解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故

解得故A′(－4，－2)．

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.

答案：2

5．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，

所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

6．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，

解得a＝2或a＝，

所以点P的坐标为(2，4)或.

(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，

整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，

即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由解得或

所以该圆必经过定点(0，4)和.