(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第3章 第6讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1，2]  B．[1，2)

C．   D．

解析：选C．由即

解得x≥.故选C．

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x   B．

C．logx  D．2x－2

解析：选A．由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A．

3．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)>f(2)  B．f(a＋1)<f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)  D．不能确定

解析：选A．由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

4.(多选)在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k＜0，0＜b＜1

B．k＞0，b＞1

C．fg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

解析：选ABC．由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．

5．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)

A．f(x)在(2，6)上单调递增

B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2

C．f(x)在(2，6)上单调递减

D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称

解析：选BD．f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2，6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．

6．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________．

解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.

答案：

7．(2020·贵州教学质量测评改编)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．

解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.

答案：　1

8．(教材习题改编)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．

解析：当0<a<1时，loga<logaa＝1，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，所以a>1.所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

答案：∪(1，＋∞)

9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，

所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．

(2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．

所以f(x)是奇函数．

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

由得－1<x<3，

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

[综合题组练]

1．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．0<a<1  B．0<a<2，a≠1

C．1<a<2  D．a≥2

解析：选C．当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.

当0<a<1时，y有最小值，

则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C．

2．(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(－∞，1)

解析：选C．由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，

即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C．

3．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是________．

解析：由于a>0，且a≠1，

所以u＝ax－3为增函数，

所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，

所以a>1.

又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，

所以a－3>0，即a>3.

答案：(3，＋∞)

4．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．

解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a<b<10，所以lg a＝－lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．

答案：(0，1)

5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，

所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，)．

6．已知函数f(x)＝lg.

(1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)；

(2)对于x∈[2，6]，f(x)＜lg恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由＞0，得x＞1或x＜－1.

所以函数f(x)的定义域为{x|x＞1或x＜－1}．

又f(x)＋f(－x)＝lg＝0.

所以f(2 020)＋f(－2 020)＝0.

(2)当x∈[2，6]时，f(x)＜lg恒成立可化为＜恒成立．

即m＞(x－1)(7－x)在[2，6]上恒成立．

又当x∈[2，6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.

所以当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，所以m＞9.

即实数m的取值范围是(9，＋∞)．