(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第3章 第3讲　高效演练分层突破 (含解析)

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[基础题组练]
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝
解析：选B．y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
解析：选A．由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D．因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．
4．若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3) C．f(－2) 解析：选D．因为∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，所以当x≥0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(3) 即f(3) 5．(2020·湖南郴州第二次教学质量检测)已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)
A． B．
C．[－1，1] D．
解析：选B．因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，
因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x)在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得
综上，所求不等式的解集为.故选B．
6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
解析：f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，
f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，
由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.
答案：3
7．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．
解析：因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)＝0，即a＝0，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，则g(2x)＝－(x2－2x－1)，令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，故f(g(－2))＝－7.
答案：0　－7
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)及f(x)＝－f(－x)，且在[0，1]上有f(x)＝x2，则f＝________．
解析：函数f(x)的定义域是R，f(x)＝－f(－x)，所以函数f(x)是奇函数. 又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0，1]上有f(x)＝x2，所以f＝＝，
故f＝－.
答案：－
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
[综合题组练]
1．(多选)(创新型)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是(　　)
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－
C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选BD．根据题意，对于任意的不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin x为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意； 对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意； 对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选BD．
2．(多选)(综合型)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　)
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数
解析：选ABC．根据题意f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于(1，0)对称，所以f(x＋1)＝－f(1－x)①，
同理，f(x＋2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x＋2)＝－f(2－x)，
所以f[(x＋1)＋1]＝－f[2－(x＋1)]＝－f(1－x)，由①式知f(x＋2)＝f(x＋1)，所以T＝1，
所以f(x)是周期函数，有一个周期是2，故B选项正确，因为f(x＋1)＝－f(1－x)＝－f(－x)，
所以f(x)关于(0，0)对称，故A选项正确，由T＝2及f(x)关于(1，0)对称知f(x)关于(3，0)对称，
所以f(x＋3)关于(0，0)对称，故C选项正确．故为ABC．
3．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________．
解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
答案：
4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x＝1对称；
③f(x)在[1，2]上是减函数；
④f(2)＝f(0)，
其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)
解析：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)
⇒f(x＋4)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，
所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0，1]上为增函数，
又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．
答案：①②③④
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝f
＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
6．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．