2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一）（一模）

这是一份2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一）（一模），共20页。

2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一）（一模）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}
2．（4分）已知命题p：∃x＞1，x2﹣1＞0，那么￢p是（　　）
A．∀x＞1，x2﹣1＞0 B．∀x＞1，x2﹣1≤0
C．∃x＞1，x2﹣1≤0 D．∃x≤1，x2﹣1≤0
3．（4分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）已知圆C：x2﹣2x+y2＝0，则圆心C到直线x＝3的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（4分）若数列{an}满足an+1＝2an，且a4＝1，则数列{an}的前4项和等于（　　）
A．15 B．14 C． D．
6．（4分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，则∠A＝（　　）
A． B． C． D．或
7．（4分）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有（　　）
A．19种 B．20种 C．30种 D．60种
8．（4分）已知F是双曲线的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|OM|＝|MF|，则△OMF的面积为（　　）
A． B． C． D．6
9．（4分）已知函数无最小值，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
10．（4分）对任意m∈N*，若递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m，且a1+a2+⋯+an＝100，则n的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数的定义域是　 　．
12．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，﹣6）．若∥，则x＝　 　．
13．（5分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．能够说明“若f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1），则f（x）是增函数”为假命题的一个函数是 　 　．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 　 　；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝　 　．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得∠B1PD1＝90°；
④△PDD1面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f（x）的解析式唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数，求g（x）在区间[0，]上的最大值．
条件①：f（x）的最小正周期为π；
条件②：f（x）为奇函数；
条件③：f（x）图象的一条对称轴为x＝．
17．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；
（Ⅱ）在线段DF上是否存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

18．（14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0＜a＜98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
21．（14分）已知集合S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，…，am}，且A⊆S．若对任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），当ai+aj≤n时，存在ak∈A（1≤k≤m），使得ai+aj＝ak，则称A是S的m元完美子集．
（Ⅰ）判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由；
①A1＝{1，2，4}；
②A2＝{2，4，5}．
（Ⅱ）若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，…，7}的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值；
（Ⅲ）若A＝{a1，a2，⋯，am}是S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*）的m元完美子集，求证：a1+a2+…+am≥，并指出等号成立的条件．

2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷（一）（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}
【分析】直接利用并集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}∪{x|﹣2＜x≤1}＝{x|﹣2＜x≤2}．
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．
2．（4分）已知命题p：∃x＞1，x2﹣1＞0，那么￢p是（　　）
A．∀x＞1，x2﹣1＞0 B．∀x＞1，x2﹣1≤0
C．∃x＞1，x2﹣1≤0 D．∃x≤1，x2﹣1≤0
【分析】将量词“∃”变为“∀”，结论否定即可．
【解答】解：∵命题p：∃x＞1，x2﹣1＞0
∴￢p：∀x＞1，x2﹣1≤0
故选：B．
【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词“∀”与“∃”互换，结论同时否定．
3．（4分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】z为纯虚数⇔a＝0且b≠0，以此可解决此题．
【解答】解：因为z为纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查复数定义及充分、必要条件的判断．考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4．（4分）已知圆C：x2﹣2x+y2＝0，则圆心C到直线x＝3的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标，从而求得点到直线的距离．
【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2＝0，即 （x﹣1）2+y2＝1，故圆心C（1，0），
则圆心C到直线x＝3的距离为|3﹣1|＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离，属于基础题．
5．（4分）若数列{an}满足an+1＝2an，且a4＝1，则数列{an}的前4项和等于（　　）
A．15 B．14 C． D．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出前4项，然后求出数列{an}的前4项和即可．
【解答】解：由题意得，数列{an}是以2为公比的等比数列，
又a4＝1，所以a3＝，a2＝，a1＝，
所以{an}的前4项和为1+＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的定义，属于基础题．
6．（4分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，则∠A＝（　　）
A． B． C． D．或
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用正弦定理可求sinA的值，结合大边对大角可求A为锐角，进而可求A的值．
【解答】解：因为a＝2，b＝3，cosB＝，
所以sinB＝＝，
因为由正弦定理可得，
所以sinA＝＝＝，
又b＞a，可得A为锐角，
所以A＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7．（4分）在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有（　　）
A．19种 B．20种 C．30种 D．60种
【分析】先考虑：若3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”，其分配方法共有；再考虑：该社区“社区值守”岗位若分配到3位女性志愿者，只有一种方法，进而得出结论．
【解答】解：若3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”，则分配方法共有＝20种，
该社区“社区值守”岗位若分配到3位女性志愿者，只有一种方法，
因此若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者，则这6位志愿者不同的分配方式共有20﹣1＝19种．
故选：A．
【点评】本题考查了组合的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（4分）已知F是双曲线的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|OM|＝|MF|，则△OMF的面积为（　　）
A． B． C． D．6
【分析】求解半焦距，求出M的纵坐标，然后求解三角形的面积．
【解答】解：F是双曲线的一个焦点，不妨为右焦点F（2，0），渐近线方程为：y＝x，
不妨M在第一象限，则M的纵坐标：．
所以△OMF的面积为：．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形面积的求法，是中档题．
9．（4分）已知函数无最小值，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【分析】画出函数的图象，根据图象结合f（x）无最小值，求出a的取值范围即可．
【解答】解：由f（x）＝x3﹣3x，可得f′（x）＝3x2﹣3，
令3x2﹣3＝0，解得x＝±1，结合三次函数的图象，可知x＝﹣1时，函数取得极小值，
函数的图象如图，

当a≤1时，函数取得最小值，当a＞1时，函数没有最小值，
所以a的取值范围为（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查数形结合思想以及计算能力，是中档题．
10．（4分）对任意m∈N*，若递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m，且a1+a2+⋯+an＝100，则n的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】先由条件得出an≤2n，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m可知an≤2n，
又a1+a2+⋯+an＝100，故2+4+6+⋯+2n≥100，
即，解得或，
又n∈N*，故n的最小值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列求和，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数的定义域是　（0，2]　．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：0＜x≤2，
故函数的定义域是（0，2]，
故答案为：（0，2]．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．
12．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，﹣6）．若∥，则x＝　4　．
【分析】如果已知的两个向量平行，由于两个向量的坐标形式已经给出，故可根据平面向量平行的坐标运算构造方程，然后解方程即可求出未知数x的值．
【解答】解：∵＝（﹣2，3），＝（x，﹣6），
又∵∥，∴3x﹣12＝0，
解得x＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了共线向量，考查向量的坐标运算，是基础题．
13．（5分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．能够说明“若f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1），则f（x）是增函数”为假命题的一个函数是 　f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]（答案不唯一）　．
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，要求函数的定义域为[0，1]，在区间区间[0，1]上的最大值为f（1），
但f（x）不能是增函数，则f（x）可以为二次函数，
则要求函数可以为f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]；
故答案为：f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]．（答案不唯一）
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 　（1，0）　；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝　5　．
【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标；设M（，y），根据以MF为直径的圆过点A（0，2），可得＝0，解得y，然后利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴F（1，0），
设M（，y），∵以MF为直径的圆过点A（0，2），
∴AM⊥AF，∴＝（，y−2）•（1，﹣2）＝0，
∴−2（y−2）＝0，解得y＝4，
∴xM＝＝4，∴|MF|＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆的性质、抛物线的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得∠B1PD1＝90°；
④△PDD1面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 　①③　．

【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④．
【解答】解：对于①，如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1，N1，连接CM1，CN1分别交BB1，DD1于M2，N2，连接MM2，NN2，

则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故①正确；
对于②，由题可知MN∥B1D1，MN⊂平面CMN，B1D1⊄平面CMN，
∴B1D1∥平面CMN，故点B1到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离，

设点B1到平面CMN的距离为h，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2可得，
，，
∴，
，
∴由＝，可得，
所以直线B1D1到平面CMN的距离是，故②错误；
对于③，如图建立空间直角坐标系，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），

设，
∴，又C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
∴P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），，
假设存在点P，使得∠B1PD1＝90°，
∴，整理得9λ2﹣14λ+4＝0，
∴（舍去）或，
故存在点P，使得∠B1PD1＝90°，故③正确；
对于④，由上知P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）在DD1的射影为（0，2，2λ），
∴点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）到DD1的距离为：
，
∴当时，，
∴故△PDD1面积的最小值是，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查线面距离的计算，立体几何中的截面问题等知识，属于中等题．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f（x）的解析式唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数，求g（x）在区间[0，]上的最大值．
条件①：f（x）的最小正周期为π；
条件②：f（x）为奇函数；
条件③：f（x）图象的一条对称轴为x＝．
【分析】（Ⅰ）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算φ即可；
（Ⅱ）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可．
【解答】解：（Ⅰ）选择条件①②：
由条件①及已知得，
所以ω＝2，
由条件②得f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（0）＝0，即sinφ＝0，
解得φ＝kπ（k∈Z），
因为，
所以φ＝0，
所以f（x）＝sin2x，
经检验φ＝0符合题意；
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以ω＝2，
由条件③得，
解得φ＝kπ（k∈Z），
因为，
所以φ＝0，
所以f（x）＝sin2x；
（Ⅱ）
由题意得，
化简得，
因为，
所以，
所以当，即时，g（x）的最大值为．
【点评】本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题．
17．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝．以直线AB为轴，将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面BCE；
（Ⅱ）在线段DF上是否存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）证明出四边形DCEF为平行四边形，进而证明出线面平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意得EF∥CD，EF＝CD，
所以四边形DCEF为平行四边形．
所以DF∥CE．
因为DF⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，
所以DF∥平面BCE．
（Ⅱ）解：线段DF上存在点P，使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为，理由如下：
由题意得AD，AB，AF两两垂直．
如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz．

设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），F（0，0，1）．
所以，，，．
设，则
设平面BCP的一个法向量为，
所以，
令x＝λ，则y＝λ，z＝1+λ．
于是
设直线AE和平面BCP所成角为θ，
由题意得：＝，
整理得：3λ2﹣22λ+7＝0，
解得或λ＝7．
因为0≤λ≤1，
所以，即．
所以线段DF上存在点P，当时，直线AE和平面BCP所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
18．（14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0＜a＜98）人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．（结论不要求证明）
【分析】（I）用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；
（II）先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；
（III）由方差的意义可得．
【解答】解：（I）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为．
（II）由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为．
用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为．
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




．
（III）易知五种毕业去向的人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以 a＝42．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）直接由条件计算a，b即可；
（Ⅱ）设出点P坐标，分别写出直线PA，PB的方程，表示出M，N坐标，由|MN|≤4得到不等式，解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得
解得a2＝4，b2＝1．
所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设P（m，n）（﹣2＜m＜2），
由已知得A（﹣2，0），B（2，0），
所以直线AP，BP的方程分别为，．
令x＝4，得点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，
所以＝．
因为点P在椭圆C上，所以，
所以m2﹣4＝﹣4n2，即．
因为|MN|≤4，所以，即（m﹣4）2≤16n2．
所以（m﹣4）2≤﹣4（m2﹣4）．
整理得5m2﹣8m≤0，解得．
所以点P横坐标的取值范围是．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
20．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，令导数为1，求得切点，可得所求切线的方程；
（Ⅱ）讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得导数，判断单调性和最值，可得所求取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x（x≤1）的导数为f′（x）＝，
由f′（x）＝1（x＜），解得x＝0或x＝（舍去），即有切点为（0，0），
则所求切线的方程为y＝x；
（Ⅱ）当a＝0时，f（x）＝﹣x（x≤0），所以函数只有一个零点；
当a≠0时，f（x）的导数为f′（x）＝，
当a＞0时，x＜a，x0＝时，f（x）有最大值，
当f（）＝＞时，g（x）才有可能有两个零点，解得a＞3，
此时函数的图像大致为x0＝时有最大值，然后f（x）从x0两侧下降，
又因为x≤a，所以要保证f（a）≤，g（x）恰有两个零点，f（a）＝0＜，显然成立；
当a＜0时，x＜a＜0，x0＝＞a，所以取不到x0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以g（x）无两个零点．
综上可得，a＞3时，函数恰有两个不同的零点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及函数的零点个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（14分）已知集合S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，…，am}，且A⊆S．若对任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），当ai+aj≤n时，存在ak∈A（1≤k≤m），使得ai+aj＝ak，则称A是S的m元完美子集．
（Ⅰ）判断下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并说明理由；
①A1＝{1，2，4}；
②A2＝{2，4，5}．
（Ⅱ）若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，…，7}的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值；
（Ⅲ）若A＝{a1，a2，⋯，am}是S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*）的m元完美子集，求证：a1+a2+…+am≥，并指出等号成立的条件．
【分析】（Ⅰ）根据m元完美子集的定义判断可得结论；
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3．由a1＝1，a1＝2，a1≥3分别由定义可求得a1+a2+a3的最小值；
（Ⅲ）不妨设a1＜a2＜⋯＜am，有ai＜ai+a1＜ai+a2＜⋯＜ai+am+1﹣i≤n，ai+a1，ai+a2，⋯，ai+am+1﹣i是A中m+1﹣i个不同的元素，且均属于集合{ai+1，ai+2，⋯，am}，此时该集合恰有m﹣i个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1≤i≤m，都有ai+am+1﹣i≥n+1，由此可得证．
【解答】解：（Ⅰ）解：①因为1+2＝3≤5，又3∉A1，所以A1不是S的3元完美子集；
②因为2+2＝4≤5，且4∈A2，而5+5＞4+5＞4+4＞2+5＞2+4＞5，所以A2是S的3元完美子集．
（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3．
若a1＝1，则a1+a1＝2∈A，1+2＝3∈A，1+3＝4∈A，与3元完美子集矛盾；
若a1＝2，则a1+a1＝4∈A，2+4＝6∈A，而2+6＞7，符合题意，此时a1+a2+a3＝12；
若a1≥3，则a1+a1≥6，于是a2≥4，a3≥6，所以a1+a2+a3≥13；
综上，a1+a2+a3的最小值是12．
（Ⅲ）证明：不妨设a1＜a2＜⋯＜am，
对任意1≤i≤m，都有ai+am﹣1﹣i≥n+1，
否则，存在某个i（1≤i≤m），使得ai+am﹣1﹣i≤n，
由a1＜a2＜⋯＜am，得ai＜ai+a1＜ai+a2＜⋯＜ai+am+1﹣i≤n，
该集合恰有m﹣i个不同的元素，显然矛盾，
所以对任意1≤i≤m，都有ai+am+1﹣i≥n+1，
于是2（a1+a2+⋯+am﹣1+am）＝（a1+am）+（a2+am﹣1）+⋯+（am﹣1+a2）+（am+a1）≥m（n+1），
即，
等号成立的条件是且．
【点评】本题考查了集合新定义，考查了学生推理运算能力，属于难题．
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