北京市丰台区2021届高三下学期3月综合练习（一）（一模）数学试题 Word版含解析

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丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（一模）
数 学 2021.03
本试卷满分共150分 考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在复平面内，复数，则对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（3）已知双曲线的离心率是，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）

（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为
（A）2
（B）
（C）
（D）4

（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则
（A）2
（B）4
（C）或
（D）或
（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1）， 是海平面大气压强．已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）
（A）550m
（B）1818m
（C）5500m
（D）8732m
（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为_____．
（12）在的展开式中，常数项为_____．（用数字作答）
（13）在中，，则_____．
（14）设等比数列满足，则的最大值为_____．


（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____．
①三棱锥的体积为；
②三棱锥的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥中，二面角不会是直
二面角；
④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分
别记为，则.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时， .
从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.
①求在区间上的最小值；
②求的单调递增区间；
③若，求的取值范围.
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.



















（17）（本小题14分）
如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．










（18）（本小题14分）
某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.

（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；
（Ⅱ）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）







（19）（本小题15分）
已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.











（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数存在三个零点，分别记为.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．

















（21）（本小题14分）
已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满足；第二组为，满足，记．
（Ⅰ）若数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；
（Ⅱ）若数列，证明：；（其中表示中较大的数）
（Ⅲ）证明：的值与数列的分组方式无关.


































丰台区2021年高三年级第二学期综合练习（一）
数 学 2021.03
本试卷满分共150分 考试时间120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：画数轴，选D.
（2）在复平面内，复数，则对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
解析：，对应点，选A.
（3）已知双曲线的离心率是，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：，，，选B.

（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：，选A.
（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：圆心在直线上，即，解得.选B.

（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为
（A）2
（B）
（C）
（D）4


解析：右后提点，最长的棱长为体对角线，选C.

（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则
（A）2
（B）4
（C）或
（D）或
解析：其中一个P点坐标为，即，解得或，选D.

（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的变化规律是（m-1）， 是海平面大气压强．已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）
（A）550m
（B）1818m
（C）5500m
（D）8732m
解析：，故，选C.

（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
解析：前后都是与共线，选C.
（10）已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：特值排除即可.
当时，符合题意，排除C、D；当时，符合题意，排除A.
选B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为_____．
解析：联立，解得，故函数的定义域为.
（12）在的展开式中，常数项为_____．（用数字作答）
解析：.
（13）在中，，则_____．
解析：由正弦定理，即，解得.
（14）设等比数列满足，则的最大值为_____．
解析：，解得，列出前几项32，16，8，4，2，1，，，
故的最大值为.
（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，所有正确结论的序号是_____．
①三棱锥的体积为；
②三棱锥的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥中，二面角不会是直二面角；
④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分
别记为，则.
解析：
对于①，，①正确；
对于②，三棱锥的每个面三边长都是、、，
，，
，②正确；
对于③，举出反例即可.
以F为坐标原点建系，经计算，平面的法向量可取,平民的法向量可取,当，化简得，
随便代一组符合题意的解即可，如，③错误.
对于④，由③，平面的法向量可取，，
，，
，
同理可推出，，当且仅当时取等.④正确
填①②④.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时， .
从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.
①求在区间上的最小值；
②求的单调递增区间；
③若，求的取值范围.
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.
解：（Ⅰ）当时，.
（Ⅱ）.
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，
所以，解得. 所以.
选①：因为，所以.
当，即时，在区间上有最小值为.
选②：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
选③：因为，所以.
所以.
解得.

（17）（本小题14分）
如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．


（Ⅰ）证明：在菱形中，，为等边三角形．
因为为的中点， 所以．
因为//，所以．
因为底面，平面，所以．
因为，平面， 所以平面．
因为是棱上的点，所以平面．
所以．
（Ⅱ）解： 因为底面，，
建立如图所示空间直角坐标系， 设，则．

因为，，，，，所以．
由，得.
设是平面的法向量，
由，得
令，则，则．
又因为平面的法向量为，
所以.
由题知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
（18）（本小题14分）某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.

（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；
（Ⅱ）从2011年至2020年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）
解：（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是
2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.
记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件，
则.

（Ⅱ）的所有可能取值为0,1,2.
；
；
.
所以的分布列为：

0
1
2




数学期望.
（Ⅲ）.
（看图，科教影片时长的波动最大，方差最大;
再将动画影片、纪录影片时长从小到大排列：
动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430
纪录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380
纪录影片的每个数都比动画影片小50，波动一样，故方差相同）小强数学
（19）（本小题15分）
已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.
常规类型：定值问题+三点共线问题
解：（Ⅰ）由题意，所以.
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设，
因为在椭圆上，所以.
因为直线的斜率为 ，直线的斜率为，
所以直线的方程为.所以点的坐标为.
所以直线的斜率为 .
所以直线的斜率之积为.

（ⅱ）三点共线.
设直线斜率为，易得.
由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为.
联立可得.
解得点的纵坐标为，所以点的坐标为.
所以，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为直线的斜率等于直线的斜率，
所以三点共线.
（20）（本小题15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数存在三个零点，分别记为.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
极值点偏移，暂时北京卷考的概率很小
解：（Ⅰ）当时，，得，
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．…4分
（Ⅱ）因为，
所以令，得，．
，随的变化如下：







+

-

+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极大值为，极小值为．
（ⅰ）若函数存在三个零点，分别记为
则， 所以．
当时，，，
此时，，，故存在三个零点，
所以若函数存在三个零点，的取值范围是．

（ⅱ）证明：因为是函数的零点，
所以.
因为，
所以.
因为，所以．
又因为，且在区间上单调递增，
所以，即．
（另：一元三次方程的韦达定理，，，
得，则要证，即证，即，
又在上单调递增，则，故，即得证.）小强数学



（21）（本小题14分）
已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满足；第二组为，满足，记．
（Ⅰ）若数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；
（Ⅱ）若数列，证明：；（其中表示中较大的数）
（Ⅲ）证明：的值与数列的分组方式无关.

解：第一问，送分问，读题就会做；第二问注意大于等于个数；第三问，
每一组都是大-小，这样可以调节成两个新数列的前项和的差，即后项和-前项和.
（Ⅰ）可将数列分成：；. 此时．

（Ⅱ）因为 ，
所以，
．
所以.
因为共项，
所以.
所以．
（Ⅲ）不妨将数列重新排序得到
数列，满足.
因为 ，
所以，
．
所以.
因为共项，
所以恰为中某一项．
同理恰为中某一项（其中表示中较小的数）.
因为,
所以.
所以的值与数列的分组方式无关.