黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题

数学

2023.04

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ）

A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8

4. 已知向量，，若，则（    ）

A. 3 B. 6 C.  D.

5. 已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

6. 如图，在长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 函数，则方程解的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知事件A，B满足，，则（    ）

A 若，则

B. 若A与B互斥，则

C. 若，则A与B相互独立

D. 若A与B相互独立，则

10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，R为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点P，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点P位于初始点时记为秒，在筒车旋转t秒的过程中，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ）

A. 筒车转动的角速度

B. 当秒时，点P的纵坐标为-2

C. 当秒时，点P和初始点距离为4

D. 当秒时，点P距离x轴的最大值为4

11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（    ）

A. 双曲线的离心率为

B. 双曲线的标准方程为

C. 点M到两条渐近线的距离之积为

D. 若直线与双曲线E另一个交点为P，Q为的中点，则

12. 勒洛四面体是一个非常神奇“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（    ）

A. 平面截勒洛四面体所得截面的面积为

B. 记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为

C. 该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D. 该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线在点处的切线方程为__________.

14. 某校学生参与“保护地球”知识问答活动，满分20分，根据学生的作答成绩绘制的频率分布直方图如图所示，请据此估计学生成绩的第60百分位数为___________．

15. 已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________．

16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果．他发现“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，，Q为抛物线上的动点，点Q在直线上的射影为H，M为圆上的动点，若点P的轨迹是到A，B两点的距离之比为的阿氏圆，则的最小值为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若，的内切圆半径为，求的周长.

18. 已知数列满足．

（1）证明：是一个等差数列；

（2）已知，求数列的前项和．

19. 如图，在三棱柱中，，D是中点，．

（1）证明：；

（2）若，，且三棱柱的体积为，求二面角的余弦值．

20. 天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.

（1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；

（2）记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；

（3）如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？

21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

22. 已知函数，其中，．

（1）若，有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）是否存在，，，使得是的极值点，且满足，若存在，求出所有这样的，；若不存在，请说明理由．

大庆市高三年级第三次教学质量检测试题

数学

2023.04

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】B

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】C

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

【9题答案】

【答案】BD

【10题答案】

【答案】AB

【11题答案】

【答案】ACD

【12题答案】

【答案】AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】14

【15题答案】

【答案】    ①. 3    ②.

【16题答案】

【答案】3

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【17题答案】

【答案】（1）   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【20题答案】

【答案】（1）；   

（2）分布列见解析，数学期望为；   

（3）答案见解析

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）为定值，定值为4，理由见解析

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）不存在，理由见详解