新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 培优点5 隐零点问题（含解析）课件PPT

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在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”.
例　已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x).(1)讨论f(x)极值点的个数；
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，不存在极值点；②当a>0时，令h(x)＝xex－a，h′(x)＝(x＋1)ex>0.显然函数h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又因为当x→0时，h(x)→－a<0，h(a)＝a(ea－1)>0，必存在x0>0，使h(x0)＝0.
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)为增函数.所以，x＝x0是f(x)的极小值点.综上，当a≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极值点.
因为f(x0)>0，所以1－x0－ln x0>0，
g(x)在(0，＋∞)上是减函数，且g(1)＝0，由g(x)>g(1)得x<1，所以x0∈(0,1)，
设φ(x)＝ln x－x＋1，x∈(0,1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，所以φ(x)为增函数，φ(x)<φ(1)＝0，即φ(x)<0，即ln x1－x，所以ln(x＋1)x＋1>0.因为x0∈(0,1)，所以 >x0＋1>0,1－x0－ln x0>1－x0＋1－x0>0，
零点问题求解三步曲(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式.(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.
已知函数f(x)＝－ln x－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e为自然对数的底数).当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值.
解　当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)，即m<(－x＋2)ex－ln x＋x.令h(x)＝(－x＋2)ex－ln x＋x，x∈(0,1]，
当0所以u(x)在(0,1]上单调递增.
因为u(x)在区间(0,1]上的图象是一条不间断的曲线，
当x∈(0，x0)时，u(x)<0，h′(x)<0；当x∈(x0,1)时，u(x)>0，h′(x)>0.所以函数h(x)在(0，x0]上单调递减，在[x0,1)上单调递增，