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2024年高考物理一轮复习（新人教版） 第11章 专题强化20 带电粒子在组合场中的运动
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1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场与磁场组合场、电场与磁场组合场中带电粒子的运动问题.
带电粒子在组合场中的运动
1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现.2.分析思路(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图.(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.
3.常见粒子的运动及解题方法
题型一 磁场与磁场的组合
题型二 电场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同.解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系.
例1 如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下磁场的水平分界线.质量为 m、带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q点与O点的距离为3a.不考虑粒子重力.(1)求粒子射入时的速度大小；
粒子在OF上方的运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知R2－(R－a)2＝(3a)2，则R＝5a，
(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应满足的条件；
当粒子恰好不从AC边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1，由几何关系得r1＋r1cs θ＝3a，
(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界 DE与AC间距离的可能值.
答案 4na(n＝1,2,3，…)
当B＝3B0时，粒子的运动轨迹如图所示，
设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时，粒子的位置为P1 点，
则P点与P1 点的连线一定与OF平行，根据几何关系知PP1＝4a，所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为L＝nPP1＝4na(n＝1,2,3，…).
1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示.
2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示
(2)磁场的磁感应强度大小；
由几何关系得s1＝2R1sin θ1⑧
(3) 第一次离开磁场的位置到原点O的距离.
由牛顿第二定律有qE＝2ma2 ⑪
例3 (2023·河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy中，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°，如图所示.质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由P点进入电场，最后从x轴上的Q点离开电场，已知O、P两点间距离为L，PQ连线平行于y轴.不计粒子重力，求：(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
粒子在磁场中运动时(如图所示)，设轨迹半径为R，
由几何关系有L＝2Rcs 30°
(2)匀强电场的电场强度E的大小.
粒子进入电场时，速度方向与边界OP的夹角为60°，由几何关系可知，速度方向和电场方向垂直.粒子在电场中的位移x＝PQ＝Lsin 30°又xsin 30°＝vt
点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为 R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
例4 (2021·广东卷·14)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能Ek0从圆b上P
考向3 粒子多次进出电场、磁场的运动
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r＝Rtan 22.5°＝0.4R
电子从P到Q在电场中共加速8次，故在Q点出射时的动能为Ek＝8eU
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值.
设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，
例5 如图所示，一对足够长平行栅极板M、N水平放置，极板与可调电源相连.极板外上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场B1和B2，B1和B2的大小未知，但满足B2＝ B1，磁场左边界上距M板距离为2l的A点处的粒子源平行极板向右发射速度为v的带正电粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1次离开M板的位置为C点，已知C点距离磁场左边界距离为l.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力.(1)求磁感应强度B1的大小；
(2)当两板间电势差UMN＝0时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C点再次返回极板上方的磁场，求两板间距d的大小；
又因为dtan θ＝R2cs θ，解得d＝0.8l
(3)当两板间所加的电势差UMN＝ 时，在M板上C点右侧P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从M板上方打入的粒子.问当P点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？
答案 (1＋1.36n)l，n＝0、1、2、3、…
粒子在B1磁场中运动到最左边时，距C点距离xC＝Δx＋R1－l＝0.89l
根据题意可知，粒子从A点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确；
根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，
根据题意可知，粒子从B点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再次到达B点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示.
下列说法正确的是A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为dB.A、C两点之间的距离为3d
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系可得OB＝R，OC＝R，AC＝OA＋OC，粒子从A到B做类斜抛运动，在B点的速度方向与匀强电场垂直，
由逆向思维可知粒子从B到A做类平抛运动，把粒子在A点的速度v0分别沿x轴的正方向和y轴的正方向分解，设粒子在B点的速度为vB，则有v0cs θ＝vB，
粒子从B到A做类平抛运动，沿x轴方向与y轴方向的位移大小分别用OA、OB来表示，由类平抛
运动的规律可得，过A点的速度v0的延长线交于x方向分位移的中点，
3.平面直角坐标系xOy中，第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第三、四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示.一质量为m、带电荷量为q的正粒子从坐标为(－L，L)的P点沿y轴负方向进入电场，初速度大小为v0＝ ，粒子第二次到达x轴的位置为坐标原点.不计粒子的重力.(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
假设粒子从y轴离开电场，运动轨迹如图所示L＝v0t，
4.如图所示，xOy平面内，OP与x轴正方向的夹角为θ＝53°，在xOP范围内(含边界)存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T.第二象限有平行于y轴向下的匀强电场，电场强度大小为E＝ ×105 V/m.一带电微粒以速度 v0＝5×106 m/s从x轴上a(L,0)点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点垂直于OP离开磁场，与y轴交于c点，最后回到x轴
答案 5×107 C/kg
微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得r＝Lsin 53°＝1 m
(2)d点与O点的距离l;
微粒进入电场后做类斜抛运动.由几何关系得
在x轴方向有l ＝ v0tsin 53°解得l＝4 m
答案 Bx≥0.2 T
(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度Bx大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限.
微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP 相切时，恰好能到达第四象限.
解得B1 ＝ 0.2 T，故当磁感应强度Bx≥0.2 T时，微粒能到达第四象限.
5.(2023·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相等，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度
v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的 倍. (1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ中的磁感应强度B2的最小值.
当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长.设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2min，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：
根据几何关系有L＝r2(1＋sin θ)解得B2min＝1.5B1.
6.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形区域内ac、df为互相垂直的竖直和水平两条直径，沿df方向距f点为R的g点处固定一足够长的挡板，挡板与fg方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域以外空间存在竖直向上的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)自c点沿
ca方向以速度v射入磁场，经磁场偏转后从f点沿fg方向射出磁场，之后恰好未打在挡板上，图中已画出粒子在电场中运动的轨迹.(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
粒子运动的轨迹如图甲所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径r1＝R
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
(3)若将原电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小B2＝kB1(0
粒子返回圆形磁场区域边界的位置i到出射点f的距离
1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场与磁场组合场、电场与磁场组合场中带电粒子的运动问题.
带电粒子在组合场中的运动
1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现.2.分析思路(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图.(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键.(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理.
3.常见粒子的运动及解题方法
题型一 磁场与磁场的组合
题型二 电场与磁场的组合
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同.解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系.
例1 如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下磁场的水平分界线.质量为 m、带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q点与O点的距离为3a.不考虑粒子重力.(1)求粒子射入时的速度大小；
粒子在OF上方的运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知R2－(R－a)2＝(3a)2，则R＝5a，
(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应满足的条件；
当粒子恰好不从AC边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1，由几何关系得r1＋r1cs θ＝3a，
(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界 DE与AC间距离的可能值.
答案 4na(n＝1,2,3，…)
当B＝3B0时，粒子的运动轨迹如图所示，
设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时，粒子的位置为P1 点，
则P点与P1 点的连线一定与OF平行，根据几何关系知PP1＝4a，所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为L＝nPP1＝4na(n＝1,2,3，…).
1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示.
2.带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场做匀速圆周运动，如图所示
(2)磁场的磁感应强度大小；
由几何关系得s1＝2R1sin θ1⑧
(3) 第一次离开磁场的位置到原点O的距离.
由牛顿第二定律有qE＝2ma2 ⑪
例3 (2023·河北唐山市模拟)平面直角坐标系xOy中，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°，如图所示.质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由P点进入电场，最后从x轴上的Q点离开电场，已知O、P两点间距离为L，PQ连线平行于y轴.不计粒子重力，求：(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
粒子在磁场中运动时(如图所示)，设轨迹半径为R，
由几何关系有L＝2Rcs 30°
(2)匀强电场的电场强度E的大小.
粒子进入电场时，速度方向与边界OP的夹角为60°，由几何关系可知，速度方向和电场方向垂直.粒子在电场中的位移x＝PQ＝Lsin 30°又xsin 30°＝vt
点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a与圆b之间电势差为U，圆b半径为R，圆c半径为 R，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.
例4 (2021·广东卷·14)图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a、b、c围成的区域，圆a内为无场区，圆a与圆b之间存在辐射状电场，圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外.电子以初动能Ek0从圆b上P
考向3 粒子多次进出电场、磁场的运动
(1)当Ek0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能；
在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r＝Rtan 22.5°＝0.4R
电子从P到Q在电场中共加速8次，故在Q点出射时的动能为Ek＝8eU
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射.当Ek0＝keU时，要保证电子从出射区域出射，求k的最大值.
设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为rm，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，
例5 如图所示，一对足够长平行栅极板M、N水平放置，极板与可调电源相连.极板外上方和下方分别存在方向垂直纸面向外和向内的匀强磁场B1和B2，B1和B2的大小未知，但满足B2＝ B1，磁场左边界上距M板距离为2l的A点处的粒子源平行极板向右发射速度为v的带正电粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q，粒子第1次离开M板的位置为C点，已知C点距离磁场左边界距离为l.忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力.(1)求磁感应强度B1的大小；
(2)当两板间电势差UMN＝0时，粒子经过下方磁场一次偏转后恰能从C点再次返回极板上方的磁场，求两板间距d的大小；
又因为dtan θ＝R2cs θ，解得d＝0.8l
(3)当两板间所加的电势差UMN＝ 时，在M板上C点右侧P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从M板上方打入的粒子.问当P点离磁场左边界多远的地方能接收到粒子？
答案 (1＋1.36n)l，n＝0、1、2、3、…
粒子在B1磁场中运动到最左边时，距C点距离xC＝Δx＋R1－l＝0.89l
根据题意可知，粒子从A点进入磁场时，受到洛伦兹力的作用，根据左手定则可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确；
根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，
根据题意可知，粒子从B点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再次到达B点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示.
下列说法正确的是A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为dB.A、C两点之间的距离为3d
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由几何关系可得OB＝R，OC＝R，AC＝OA＋OC，粒子从A到B做类斜抛运动，在B点的速度方向与匀强电场垂直，
由逆向思维可知粒子从B到A做类平抛运动，把粒子在A点的速度v0分别沿x轴的正方向和y轴的正方向分解，设粒子在B点的速度为vB，则有v0cs θ＝vB，
粒子从B到A做类平抛运动，沿x轴方向与y轴方向的位移大小分别用OA、OB来表示，由类平抛
运动的规律可得，过A点的速度v0的延长线交于x方向分位移的中点，
3.平面直角坐标系xOy中，第二象限存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，第三、四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示.一质量为m、带电荷量为q的正粒子从坐标为(－L，L)的P点沿y轴负方向进入电场，初速度大小为v0＝ ，粒子第二次到达x轴的位置为坐标原点.不计粒子的重力.(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
假设粒子从y轴离开电场，运动轨迹如图所示L＝v0t，
4.如图所示，xOy平面内，OP与x轴正方向的夹角为θ＝53°，在xOP范围内(含边界)存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T.第二象限有平行于y轴向下的匀强电场，电场强度大小为E＝ ×105 V/m.一带电微粒以速度 v0＝5×106 m/s从x轴上a(L,0)点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点垂直于OP离开磁场，与y轴交于c点，最后回到x轴
答案 5×107 C/kg
微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得r＝Lsin 53°＝1 m
(2)d点与O点的距离l;
微粒进入电场后做类斜抛运动.由几何关系得
在x轴方向有l ＝ v0tsin 53°解得l＝4 m
答案 Bx≥0.2 T
(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度Bx大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限.
微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP 相切时，恰好能到达第四象限.
解得B1 ＝ 0.2 T，故当磁感应强度Bx≥0.2 T时，微粒能到达第四象限.
5.(2023·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场，在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合)，宽度相等，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1.一电荷量为＋q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度
v0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB长度是BC长度的 倍. (1)求带电粒子到达B点时的速度大小；
设带电粒子进入磁场时的速度大小为v，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L；
设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1，
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ中的磁感应强度B2的最小值.
当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长.设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2min，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r2，轨迹如图乙所示：
根据几何关系有L＝r2(1＋sin θ)解得B2min＝1.5B1.
6.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形区域内ac、df为互相垂直的竖直和水平两条直径，沿df方向距f点为R的g点处固定一足够长的挡板，挡板与fg方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域以外空间存在竖直向上的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)自c点沿
ca方向以速度v射入磁场，经磁场偏转后从f点沿fg方向射出磁场，之后恰好未打在挡板上，图中已画出粒子在电场中运动的轨迹.(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
粒子运动的轨迹如图甲所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径r1＝R
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
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