2025高考物理一轮总复习第11章磁场专题强化15带电粒子在组合场中的运动提能训练

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题组一 组合场应用实例
1．如图所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场的电场强度大小为E，磁分析器中有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点。不计粒子重力。下列说法不正确的是( C )
A．粒子一定带正电
B．加速电场的电压U＝eq \f(1,2)ER
C．直径PQ＝eq \f(2,B)eq \r(qmER)
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子具有相同的比荷
[解析] 粒子由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点，根据左手定则可得，粒子带正电，A正确；粒子在加速电场中做匀加速运动，则有qU＝eq \f(1,2)mv2，又粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力，则有qE＝eq \f(mv2,R)，解得U＝eq \f(ER,2)，B正确；粒子在磁分析器中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝eq \f(mv2,r)，粒子由P点垂直边界进入磁分析器，最终打在胶片上的Q点，可得PQ＝2r＝eq \f(2,B)eq \r(\f(mER,q))，C错误；若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，说明运动的轨迹半径r＝eq \f(1,B)eq \r(\f(mER,q))相同，由于加速电场、静电分析器与磁分析器都相同，则该群离子具有相同的比荷，D正确。
2．(多选)(2024·青海西宁检测)如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小恒定，且被限制在A、C两板间，虚线中间不需加电场，带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动。对这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是( BD )
A．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸无关
B．带电粒子每运动一周被加速一次
C．P1P2等于P2P3
D．加速电场方向不需要做周期性的变化
[解析] 带电粒子只有经过A、C两板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，则加速电场的方向不需要改变，故B、D正确；由nqU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)和qvnB＝meq \f(v\\al(2,n),rn)得rn＝eq \f(\r(2nmqU),Bq)，则P1P2＝2(r2－r1)＝2(2eq \r(2)－1)eq \f(\r(2mqU),Bq)，P2P3＝2(r3－r2)＝2(eq \r(3)－eq \r(2))eq \f(\r(2mqU),Bq)，所以P1P2≠P2P3，故C错误；当粒子从D形盒中射出时，速度最大，根据r＝eq \f(mv,Bq)知v＝eq \f(Bqr,m)，即加速粒子的最大速度vm与D形盒的半径有关，故A错误。
3．(多选)(2024·山东烟台期末)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( BC )
A．加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B．粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C．若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D．粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \r(5)∶eq \r(6)
[解析] 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(v\\al(2,m),R)，解得vm＝eq \f(qBR,m)，则粒子获得的最大动能Ekm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＝eq \f(q2B2R2,2m)，可知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(q2B2R2,2m)，加速次数n＝eq \f(qB2R2,2mU)，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπm,qB)将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)，解得vn＝eq \r(\f(2nqU,m))，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvnB＝meq \f(v\\al(2,n),rn)，解得rn＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2nmU,q))，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比eq \f(r4,r5)＝eq \f(\r(4),\r(5))，故D错误。
题组二 带电粒子在组合场中的运动
4．(2020·全国Ⅱ卷)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则( D )
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
[解析] 电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故A选项错误；由左手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故C选项错误；对加速过程应用动能定理有eU＝eq \f(1,2)mv2，设电子在磁场中运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evB＝eq \f(mv2,r)，则r＝eq \f(mv,Be)，电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝eq \f(d,r)(其中d为磁场宽度)，联立可得sin θ＝dBeq \r(\f(e,2mU))，可见增大U会使θ减小，电子在靶上的落点P将右移，增大B可使θ增大，电子在靶上的落点P将左移，故B选项错误，D选项正确。
5. (2024·河北邢台摸底考试)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具。如图所示，铅盒A中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S1进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外、半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的F点(图中未画出)接收到该粒子，且GF＝eq \r(3)R。则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( C )
A.eq \f(3U,R2B2) B．eq \f(4U,R2B2)
C.eq \f(6U,R2B2) D．eq \f(2U,R2B2)
[解析] 设粒子被加速后获得的速度为v，由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2，由几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝eq \f(\r(3)R,3)，又Bqv＝meq \f(v2,r)，可求eq \f(q,m)＝eq \f(6U,R2B2)，故C项正确。
6．平面直角坐标系xOy中，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，其上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，下方存在匀强电场，电场强度方向与x轴负方向的夹角为60°，如图所示。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度v从坐标原点沿y轴正方向进入磁场，经磁场偏转后由P点进入电场，最后从x轴上的Q点离开电场，已知O、P两点间距离为L，PQ连线平行于y轴。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)匀强电场的电场强度E的大小。
[答案] (1)eq \f(\r(3)mv,qL) (2)eq \f(8\r(3)mv2,qL)
[解析] (1)粒子在磁场中运动时(如图所示)，设轨迹半径为R，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝eq \f(mv2,R)
由几何关系有L＝2Rcs 30°
联立解得B＝eq \f(\r(3)mv,qL)。
(2)粒子进入电场时，速度方向与边界OP的夹角为60°，由几何关系可知，速度方向和电场方向垂直。粒子在电场中的位移x＝PQ＝Lsin 30°
又xsin 30°＝vt
xcs 30°＝eq \f(1,2)at2
Eq＝ma
联立解得E＝eq \f(8\r(3)mv2,qL)。
题组三 带电粒子在交变电磁场中的运动
7．(2024·山东泰安质检)如图甲所示，质量为m、带电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小不变而方向周期性变化，如图乙所示(垂直于纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同，均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半个圆周运动且每次经过边界mn的时刻均为eq \f(T0,2)的整数倍。
(1)求粒子在Ⅰ区域运动的轨迹半径；
(2)若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过mn)。
[答案] (1)eq \f(mv0,qB0) (2)eq \f(qB0x,2m)或eq \f(qB0x,2m)－2v0
[解析] (1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，
由洛伦兹力提供向心力，有qv0B0＝meq \f(v\\al(2,0),r)，解得r＝eq \f(mv0,qB0)。
(2)带电粒子的运动轨迹有两种可能。
第一种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝eq \f(x,2)，
qv2B0＝meq \f(v\\al(2,2),R)，解得粒子在Ⅲ区域中的速度大小v2＝eq \f(qB0x,2m)；
第二种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝eq \f(x－4r,2)，
粒子在Ⅲ区域中的速度大小v2＝eq \f(qB0x,2m)－2v0。
能力综合练
8．(多选)(2023·海南卷)如图所示，质量为m，带电荷量为＋q的点电荷，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度(E值有多种可能)，可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则( AD )
A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足E＝eq \f(y0mv\\al(2,0),qx\\al(2,0))
B．粒子从NP中点射入磁场时速度为v0eq \r(\f(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0),y\\al(2,0)))
C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为eq \f(mv0,qB)
D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是eq \f(mv0,qB)eq \r(\f(x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0),x\\al(2,0)))
[解析] 若粒子打到PN中点，则x0＝v0t1，eq \f(1,2)y0＝eq \f(1,2)·eq \f(qE,m)teq \\al(2,1)，解得E＝eq \f(mv\\al(2,0)y0,qx\\al(2,0))，选项A正确；粒子从PN中点射出时，则eq \f(y0,2)＝eq \f(vy,2)t1，速度v1＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,y))＝eq \f(v0,x0)eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))，选项B错误；粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,\f(qE,m)·\f(x0,v0))＝eq \f(mv\\al(2,0),qEx0)，粒子从电场中射出时的速度v＝eq \f(v0,sin θ)，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则qvB＝meq \f(v2,r)，则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为d＝rcs θ，解得d＝eq \f(Ex0,Bv0)，选项C错误；当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度vym＝eq \f(2y0,t)，x0＝v0t，出离电场的最大速度vm＝eq \r(v\\al(2,0)＋v\\al(2,ym))＝eq \f(v0,x0)eq \r(x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0))，则由qvB＝meq \f(v2,r)，可得最大半径rm＝eq \f(mvm,qB)＝eq \f(mv0,qB)eq \r(\f(x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0),x\\al(2,0)))，选项D正确。故选AD。
9．如图甲所示，以O为坐标原点建立坐标系，等边△OMN内存在垂直纸面向里的匀强磁场，三角形外侧有沿x轴负方向的匀强电场(图中仅画出一部分)。现有质量m＝1×10－18 kg、电荷量q＝＋1×10－15 C的带电微粒从坐标为(0，－0.5 m)的Q点，以某一初速度v0沿某一方向射出，从x轴上的P点以v＝200 m/s的速度垂直x轴进入三角形区域。若此时将三角形外侧的电场换成垂直纸面向外的匀强磁场(如图乙所示)，两磁场的磁感应强度大小相等。已知三角形的边长L＝4 m，O、P两点间距离d＝1 m，重力不计。
(1)求匀强电场的电场强度大小及带电微粒的初速度大小；
(2)若两磁场的磁感应强度大小B0＝0.2 T，求该微粒在图乙中运动一个周期的时间t；
(3)图乙中若微粒能再次回到P点，则两匀强磁场的磁感应强度大小B应满足什么条件？
[答案] (1)320 V/m 200eq \r(17) m/s (2)6.28×10－2 s (3)B＝(0.4n＋0.2)T(n＝0,1,2,3…)
[解析] (1)在匀强电场中，微粒在电场力作用下，做类平抛运动的逆运动
水平方向上有OP＝eq \f(qE,2m)t2
竖直方向上有OQ＝vt
微粒在Q点时的水平分速度vx＝eq \f(qE,m)t
微粒的初速度v0＝eq \r(v2＋v\\al(2,x))
联立解得E＝320 V/m，v0＝200eq \r(17) m/s。
(2)粒子在两磁场中均做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律知
qvB0＝meq \f(v2,r)，解得r＝eq \f(mv,qB0)＝1 m
T＝eq \f(2πr,v)，解得T≈3.14×10－2 s
粒子的运动轨迹如图所示，
故t＝3×eq \f(T,6)＋3×eq \f(T,2)＝6.28×10－2 s。
(3)由对称性可知，粒子能再次回到P点，则粒子运动的半径应满足
r(2n＋1)＝OP(n＝0,1,2,3，…)且r＝eq \f(mv,qB)，
联立可得B＝(0.4n＋0.2)T(n＝0,1,2,3，…)。
10．(2024·广东河源高三联考)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ是eq \f(1,4)圆弧形均匀辐向电场，半径为R的中心线O′O处的场强大小处处相等，且大小为E1，方向指向圆心O1；在空间坐标系O－xyz中，区域Ⅱ是边长为L的正方体空间，该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知)；区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间，空间内充满平行于xOy平面，与x轴负方向成45°角的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O′沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ，不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。
(1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中，已知P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L，\f(L,2)，0))，求该粒子的比荷eq \f(q0,m0)和区域Ⅱ中电场强度E2的大小；
(2)保持(1)问中E2不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷eq \f(q,m)需要满足的条件。
[答案] (1)eq \f(v\\al(2,0),E1R) eq \f(E1R,L) (2)eq \f(4E1R,B2L2)[解析] (1)某一粒子进入辐向电场的速率为v0，粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，由电场力提供向心力可得q0E1＝m0eq \f(v\\al(2,0),R)
解得该粒子的比荷为eq \f(q0,m0)＝eq \f(v\\al(2,0),E1R)
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿x轴方向有L＝v0t
沿y轴方向有a＝eq \f(q0E2,m0)，eq \f(L,2)＝eq \f(1,2)at2
联立解得区域Ⅱ中电场强度E2的大小为
E2＝eq \f(E1R,L)。
(2)设粒子电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有qE1＝meq \f(v2,R)
解得v＝eq \r(\f(qE1R,m))
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x轴方向有L＝vt
沿y轴方向有a＝eq \f(qE2,m)，y＝eq \f(1,2)at2，vy＝at
联立解得y＝eq \f(L,2)，vy＝eq \r(\f(qE1R,m))
可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P点进入区域Ⅲ中，进入区域Ⅲ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,v)＝1
解得θ＝45°
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为v′＝eq \r(v2＋v\\al(2,y))＝eq \r(\f(2qE1R,m))
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有qv′B＝meq \f(v′2,r)
解得r＝eq \f(mv′,qB)＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mE1R,q))
为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图所示
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足eq \f(1,2)L联立解得粒子的比荷需要满足
eq \f(4E1R,B2L2)