2023年山东省聊城市中考数学试卷（含解析）

2023年山东省聊城市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  月日是全民国家安全教育日某校为了摸清该校名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查这项调查中的样本是(    )

A. 名师生的国家安全知识掌握情况
B.
C. 从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况
D. 从中抽取的名师生

4.  若一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5.  如图，分别过的顶点，作若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且
C. 且 D. 且

8.  如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，先作关于轴成轴对称的，再把平移后得到若，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分若该几何体上、下两个圆的半径分别为和，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  甲乙两地相距千米，小亮：乘慢车从甲地去乙地，分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地两人分别距甲地的距离千米与两人行驶时刻时分的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

11.  已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线下列结论：；若点，均在二次函数图象上，则；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；满足的的取值范围为其中正确结论的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

12.  如图，已知等腰直角，，，点是矩形与的公共顶点，且，；点是延长线上一点，且连接，，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为和，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  若不等式组的解集为，则的取值范围是______ ．

15.  如图，在▱中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，过点作，交的延长线于点，连接若，，则四边形的面积为______ ．

16.  在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，，，的小球，这些小球除数字外其他完全相同从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为______ ．

17.  如图，图中数字是从开始按箭头方向排列的有序数阵从开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律请写出第个数对：______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在四边形中，点是边上一点，且，．
求证：；
若，时，求的面积．

20.  本小题分
某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措为了调查活动开展情况，需要了解全校名学生一周的课外经典阅读时间从本校学生中随机抽取名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为组：；；；；，并将调查结果用如图所示的统计图描述根据以上信息，解答下列问题：
本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______ 组和第______ 组填序号；一周课外经典阅读的平均时间达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为______ ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到小时的学生有______ 人；
若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
若把一周课外经典阅读的平均时间达到小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．

21.  本小题分
今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰某热门景点的门票价格规定见如表：

某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共人甲团人数多于乙团在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省元．
求两个旅游团各有多少人？
一个人数不足人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买种门票比购买种门票节省？

22.  本小题分
东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应如图所示，城门楼在角楼的正东方向处，南关桥在城门楼的正南方向处在明珠大剧院测得角楼在北偏东方向，南关桥在南偏东方向点，，，四点在同一平面内，求明珠大剧院到龙堤的距离结果精确到
参考数据：，，，，，，

 

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，连接当时，若四边形的面积为，求的值．

24.  本小题分
如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点以上的点为圆心，为半径作，恰好过点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点是轴上任意一点．
求抛物线的表达式；
点在抛物线上，若以点，，，为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标；
如图，当点从点出发沿轴向点运动时点与点，不重合，自点分别作，交于点，作，垂足为点当为何值时，面积最大，并求出最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
，据此即可得出答案．
本题考查零指数幂，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：．
根据简单几何体的三视图得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：样本是所抽取的名师生的国家安全知识掌握情况．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．
本题考查了样本的定义，熟练掌握样本的定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数解，
，且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
由平行线的性质可求得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故选：．
连接，，，根据点是的内心，得到平分，根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
原分式方程的解为非负数，
，且
解得：且，
故选：．
解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，关于轴对称的点的坐标为，，，
又，
平移规律为向右平移个单位，向上平移个单位，
点坐标为，即．
故选：．
先根据轴对称的性质求出，，的坐标，根据平移的性质即可求出的坐标．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图示：由题意得：，
∽，
，
，
解得：，
，，
其侧面展开图的面积为：，
故选：．
先根据相似的性质求出小圆锥的高，再根据圆锥的侧面积公式求解．
本题考查了几何体的展开图，掌握相似三角形的性质及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了小时，
小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，
小亮、小莹乘车行驶的速度分别是千米时，千米时，
由题意得：，
，
小时分钟，
小亮与小莹相遇的时刻为：．
故选：．
设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是千米时，千米时，即可得到方程：，求出的值，即可解决问题．
本题考查一元一次方程的应用，关键是由题意列出方程：．
 

11.【答案】 

【解析】解：对称轴为直线．
，
当时，，
，故错误，
抛物线开口向下，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
关于直线对称的点为，
又，
，故正确，
方程的解可看做抛物线与直线的交点，
由图象可知抛物线与直线有两个交点，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故错误，
不等式的解集可看做抛物线的图象在直线上方的部分，
关于直线对称的点为，
的取值范围为，故正确．
故选：．
由对称轴为直线可得，再将代入可判断，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断，方程的解可看做抛物线与直线的交点，找出交点个数可判断，不等式的解集可看做抛物线的图象在直线上方的部分，可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在等腰直角，，，
，
在中，，
即，
如图，当点在线段的延长线时时，有最大值，

，，
，
当点在线段的延长线上时，有最小值，

，，
，
，
故选：．
当点在线段的延长线时时，有最大值，由勾股定理可求此时的长，当点在线段的延长线上时，有最小值，由勾股定理可求此时的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定最长和最短时的位置是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：不等式组，解得，
，
．
故答案为：．
解出不等式，根据不等式解的性质判断的取值范围．
本题以不等式为背景考查了不等式解集的性质，解决问题的关键是明确解出不等式是同大取大的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
由是线段的垂直平分线，
，，
，
．
，
，
在与中，
，
≌，
，




．
故答案为：．
先根据平行四边形的性质得出，再由是线段的垂直平分线得出，，根据勾股定理求出的长，再由可得出，故可得出≌，，利用即可得出结论．
本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根据题意得出是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意列树状图如下：

共有个等可能的结果，两球上的数字之积恰好是有理数有种，
两球上的数字之积恰好是有理数的概率为．
故答案为：．
画树状图，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：每个数对的第一个数分别为，，，，，，
即，，，，，，
则第个数对的第一个数为，
每个数对的第二个数分别为，，，，，，
即，，，，，
则第个数对的第二个数为，
第个数对为．
故答案为：．
根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第个数对的第一个数为，第个数对的第二个数为，于是得到结论．
本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
 

19.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：，，
为等边三角形，
，
过点作于，
，
，
． 

【解析】利用证明≌，即可证明结论；
先证明为等边三角形，可得，过点作于，利用等边三角形的性质可得，再根据勾股定理求得的长，利用三角形的面积公式可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：第组的人数最多，
一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第组；
抽取名进行调查，第名、名学生均在第组，
一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第组；
由题意得：，
一周课外经典阅读的平均时间达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为；
人，
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到小时的学生有人；
故答案为：，，，；
由题意可知，每组的平均阅读时间分别为小时，小时，小时，小时，小时，
小时，
答：估计这名学生一周课外经典阅读的平均时间为小时；
一周课外经典阅读的平均时间达到小时的学生的人数的百分比为，
，
此次开展活动不成功；
建议：学校多举办经典阅读活动；
开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣答案不唯一．
根据众数、中位数的定义以及用样本估计总体的方法求解即可；
先求出每组的平均阅读时间，再由算术平均数的定义列式计算即可；
把一周课外经典阅读的平均时间达到小时的人数的百分比与进行比较即可得出结论，再提出合理化的建议．
本题考查了频数分布直方图、众数、中位数以及用样本估计总体等知识，从统计图获取有用信息是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲旅游团有人，乙旅游团有人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有人，乙旅游团有人；
设游客人数为人，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：当游客人数最低为人时，购买种门票比购买种门票节省． 

【解析】设甲旅游团有人，乙旅游团有人，根据“甲、乙两个旅游团共人甲团人数多于乙团，在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设游客人数为人，根据购买种门票比购买种门票节省，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：过作于，过作于，
则四边形是矩形，
，
设，
在中，，
，
，
，，
在中，，
解得，
，
，
答：明珠大剧院到龙堤的距离约为． 

【解析】过作于，过作于，根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，
 

23.【答案】解：反比例函数的图象过，两点，
，
，，
反比例函数为，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为；
，，，，，
四边形是平行四边形，
点向左平移个单位，向下平移个单位得到，
点向左平移个单位，向下平移个单位得到，
点在上，
，
解得． 

【解析】根据反比例函数过，，求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
证得四边形是平行四边形，根据平移的思想得到点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
解：过作，
平分，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，由题意得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到，根据，得到，于是得到结论；
过作，根据角平分线的小知道的，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
，
，
；
如图，

抛物线的对称轴为：直线，
由对称性可得，
当时，
，
，
，，
综上所述：或或；
设的面积为，
由题意得：，，，，．
，
，
，
，
，
∽，，
，
，
，
，
当时，最大，
当时，的面积最大值为：． 

【解析】可将抛物线的表达式设为交点式，代入点坐标，进一步求得结果；
点的纵坐标为，代入求得其横坐标，进而求得结果；
根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出和，进而表示出的面积的函数表达式，进一步求得结果．
本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数及其图象的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．