高考数学模拟试卷五套-(文科)

这是一份高考数学模拟试卷五套-(文科)，共53页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考数学模拟试卷1（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
2．复数z=的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（　　）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（　　）
A． B． C． D．2
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系 B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（　　）
A．30π B．28π C．26π D．25π
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（　　）
A．15 B．15 C．31 D．31
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．44 B．56 C．68 D．72
12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=_______．
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为_______．

15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为_______．
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．

















18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．















19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．
















20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．

















21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
　



















请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
　

高考数学模拟试卷1（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，则A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】直接根据交集的定义即可求出．
【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x＜3}，
则A∩B={0，1，2}
故选：D．　
2．复数z=的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．3
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】根据复数的运算法则，化简复数z，进而得到数z的虚部．
【解答】解：z===﹣3﹣2i，
则复数z=的虚部为﹣2，
故选：A．
3．命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为（　　）
A．若a2≥b，则a≥或a≤﹣ B．若a2＞b，则a＞或a＜﹣
C．若a≥或a≤﹣，则a2≥b D．若a＞或a＜﹣，则a2＞b
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可．
【解答】解：命题“若a2＜b，则﹣＜a＜”的逆否命题为若a≥或a≤﹣，则a2≥b．
故选：C．　
4．已知sin（π﹣α）=，sin2α＞0，则tanα=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可．
【解答】解：sin（π﹣α）=，可得sinα=，sin2α＞0，
所以cosα＞0，α是第一象限角，
cosα==．
∴tanα==．
故选：B．
5．已知变量x，y之间的线性回归方程为=﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当x=11时，y=2.6
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【考点】线性回归方程．
【分析】求出，代入回归方程解出，列方程解出m．
【解答】解： ==9，∴=﹣0.7×9+10.3=4．
∴，解得m=5．
故选B．　
6．已知a=log20.3，b=log0.32，c=log0.80.4则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性可得：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，即可得出．
【解答】解：a=log20.3＜log20.5=﹣1，b=log0.32∈（﹣1，0），c=log0.80.4＞0，
∴c＞b＞a，
故选：C．
7．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于x=轴对称，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（2x+）
C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=2sin（2x+）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：由题意知： =π，得ω=2，向左平移个单位长度后得f（x）=2sin（2x++φ），
因为，所得图象关于x=轴对称，
所以， ++φ=kπ+，k∈Z，
所以，φ=kπ﹣，k∈Z，
因为，0＜φ＜π，
所以，φ=．
可得f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
故选：B．
8．若不等式组，表示的平面区域为D，则将D绕原点旋转一周所得区域的面积为（　　）
A．30π B．28π C．26π D．25π
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作出可行域D，可得将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求．
【解答】解：由约束条件作出平面区域D如图，

联立，解得B（5，3）；
联立，解得C（3，5）；
又A（0，2），
∴将D绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为，小圆的半径为2．
则圆环的面积为34π﹣4π=30π．
故选：A．
9．若数列{an}为各项都是正数的等比数列，且a2=2﹣，a7=2a3+a5，则数列{an}的前10项和S10=（　　）
A．15 B．15 C．31 D．31
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a7=2a3+a5，∴=2×+a5，化为：q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2，q=．
∵a2=2﹣=a1×，
解得a1=﹣1．
则数列{an}的前10项和S10==25﹣1=31，
故选：D．
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（a2﹣1）＜1，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数的奇偶性不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论．
【解答】解：由于函数y=f（x）的图象关于y轴对称，且在x≥0上为增函数，f（2）=1
∴不等式f（a2﹣1）＜1等价为f（|a2﹣1|）＜f（2）
即|a2﹣1|＜2，由此解得﹣＜a＜，
故选：A．
11．网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．44 B．56 C．68 D．72
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，
且长方体长、宽、高为4、4、6；
三棱柱的底面是直角边分别为4、3的直角三角形，高为4；
三棱柱的底面是直角边分别为2、4的直角三角形，高为3；
∴该几何体的体积V=4×4×6﹣﹣=68，
故选：C．

12．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．
【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，
设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，
可得|F2M|===b，
即有|OM|==a，
由S=16，可得ab=16，
即ab=32，又a2+b2=c2，且=，
解得a=8，b=4，c=4，
即有双曲线的实轴长为16．
故选：C．　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|﹣2|=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件即可求出，且，从而进行数量积的运算便可求出的值，从而便可得出的值．
【解答】解：根据条件：；
∴
=16+16+16
=16×3；
∴．
故答案为：．　
14．运行如图程序框图若输入的n的值为3，则输出的n的值为　1　．

【考点】程序框图．
【分析】计算循环中n与i的值，当i=7时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=0，n=3
执行循环体，满足条件n为奇数，n=10，i=1
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=5，i=2
不满足条件i≥7，执行循环体，满足条件n为奇数，n=16，i=3
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=8，i=4
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=4，i=5
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=2，i=6
不满足条件i≥7，执行循环体，不满足条件n为奇数，n=1，i=7
满足条件i≥7，退出循环，输出n的值为1．
故答案为：1．　
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=8，a3=4．则的最小值为　﹣4　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S8=8，a3=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a1，d，进而得到：an，Sn．代入=+n﹣15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S8=8，a3=4．
∴8a1+d=8，a1+2d=4，
解得a1=8，d=﹣2．
∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，Sn==9n﹣n2．
则==+n﹣15，
令f（x）=﹣15，（x≥1）．
f′（x）=1﹣=，可知：当x=时，f（x）取得最小值，
又f（5）=6+5﹣15=﹣4，f（6）=5+6﹣15=﹣4．
∴f（n）的最小值为﹣4．
故答案为：﹣4．　
16．若函数f（x）=|ex+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）　．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＞0时，，；
∵f（x）在[0，1]上单调递减；
∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；
即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；
y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；
∴a≥e2；
（2）当a=0时，f（x）=ex，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；
∴a≠0；
（3）当a＜0时，在R上单调递增；
令得，；
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；
又f（x）在[0，1]上为减函数；
∴；
∴a≤﹣e2；
∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB﹣c=．
（1）求角A的大小；
（2）若b﹣c=，a=3+，求BC边上的高．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理可解得：，设BC边上的高为h，由，即可解得h的值．
【解答】（本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由及正弦定理可得：，…
因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以，…
因为sinB≠0，所以，…
因为0＜A＜π，所以．…
（Ⅱ）由余弦定理可知：，…
所以：，
解得：． …
设BC边上的高为h，由，…
得：，…
解得：h=1． …　
18．小明和小红进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和小红的各局得分统计如表：
小明
6
6
9
9
小红
7
9
6
10
（1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差，；
（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取1局，并将小明和小红的得分分别记为a，b，求a≥b的概率．
【考点】极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可；
（2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可．
【解答】解：（1）根据题意，平均数x1==7.5，
x2==8；
=×（1.52×4）=2.25，
=×（1×2+4×2）=2.5；…
（2）记小明的4局比赛为A1，A2，A3，A4，
各局的得分分别是6，6，9，9；
小红的4局比赛为B1，B2，B3，B4，
各局的得分分别是7，9，6，10；
则从小明和小红的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，
它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）；…
其中满足条件的有：
（A1，B3），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3）；…
故所求的概率为．…　
19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形．
（1）若E为线段A1C1的中点，证明：BE⊥AC；
（2）若A1B1=2，A1A=4，∠ADC=120°，求三棱锥B﹣AD1C的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）连接BD，B1D1，通过证明AC⊥平面B1D1DB得出AC⊥BE；
（2）利用菱形的性质计算S△ABC，于是=S△ABC•AA1．
【解答】解：（1）连接BD，B1D1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AA1⊥平面ABCD，BB1∥AA1，
∴BB1⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
又BB1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵E是A′C′的中点，四边形A′B′C′D′是菱形，
∴E是B1D1的中点，
∴BE⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥BE．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=A1B1=2，∠ABC=∠ADC=120°，
∴S△ABC===，
∴=S△ABC•AA1==．
　
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且（4，0）在椭圆C上，圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点的横坐标为1．
（1）求椭圆C的方程与圆M的方程；
（2）已知A（m，n）为圆M上的任意一点，过点A作椭圆C的两条切线l1，l2．试探究直线l1，l2的位置关系，并说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（1，8），即可得到圆的方程；
（2）当过点A与椭圆C相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为x=±4，得到直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式等于0能推导出直线l1、l2始终相互垂直．
【解答】解：（1）由题意得b=4，e==，
又a2﹣c2=16，
解得a=7，b=4，c=．
∴椭圆C的方程为+=1；
由题意可得圆M：x2+y2=r2与直线l：y=8x的一个交点为（1，8），
即有r2=65，
则圆M的方程：x2+y2=65；
（2）如图，
①当过点A与椭圆C： +=1相切的一条切线的斜率不存在时，
此时切线方程为x=±4，
∵点A在圆M：x2+y2=65上，则A（±4，±7），
∴直线y=±7恰好为过点A与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直；
②当过点A（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，
设切线方程为y﹣n=k（x﹣m），
由，
得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，
由于直线与椭圆相切，
∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，
整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，
∴k1k2=，
∵P（m，n）在圆x2+y2=65上，∴m2+n2=65，
∴16﹣m2=n2﹣49，
∴k1k2=﹣1，则两直线互相垂直．
综上所述，直线l1、l2始终相互垂直．
　
21．已知函数f（x）=x2﹣2（a2﹣a）lnx，g（x）=2a2lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≤时，若f（x）＞2g（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，求出切点坐标，切线斜率，即可得到所求切线方程．
（2）通过，对∀x＞1恒成立；构造函数，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出a的范围．
【解答】解：（1）依题意，，
故f'（1）=﹣2，因为f（1）=1，…
故所求切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），得y=﹣2x+3；…
（2）依题意，因为x∈（1，+∞），故lnx＞0，
故，对∀x＞1恒成立；…
令，则，令h'（x）=0，得，
当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增…
所以当时，h（x）取得最小值…
∴…
又∵，∴…　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A的直线与圆O相切，且与线段BC的延长线交于点D，E为线段AC延长线上的一点，且ED∥AB．
（1）求证AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的长．

【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）证明△ABD∽△CAD，即可证明AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函数求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD切圆O于点A，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴=，
∴AC•AD=AB•CD；
（2）解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵ED∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，
∴∠CAD=∠CDE，
∵DE=4，DC=5，
∴CE=3，
∴sin∠CAD==sin∠CDE=，
∴AD=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（2，）．
（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点（，1）处的切线l的极坐标方程；
（2）若过点A的直线m与曲线C相切，求直线m的斜率k的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），利用cos2α+sin2α=1，即可得出直角坐标方程，进而得出极坐标方程．点（，1）在曲线C上，故切线的斜率=﹣=﹣，即可得出切线方程，进而化为极坐标方程．
（2）点A的极坐标化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（α为参数），∵cos2α+sin2α=1，∴x2+y2=3．可得极坐标方程为：ρ2=3，即．
∵点（，1）在曲线C上，故切线的斜率k=﹣=﹣，故切线的方程为：y﹣1=（x﹣），可得： x+y=3．即cosθ+ρsinθ=3．
（2）点A的极坐标为（2，），化为直角坐标A，即A（2，2）．设过直线m的斜率为k，y=k（x﹣2）+2，
∵直线与圆相切，∴=，∴k2﹣8k+1=0，解得k=4．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知m，n∈R+，且m＞n
（1）若n＞1，比较m2+n与mn+m的大小关系，并说明理由；
（2）若m+2n=1，求+的最小值．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）作差法比较即可；（2）“乘1法”结合基本不等式的性质求出最小值即可．
【解答】解：（1）由题意得：
m2+n﹣（mn+m）
=m2﹣mn+n﹣m
=（m﹣1）（m﹣n），
∵n＞1，故m＞1，
故（m﹣1）（m﹣n）＞0，
即m2+n＞mn+m；
（2）由题意得：
+=（+）（m+2n）=2+++2≥8，
当且仅当m=2n=时“=”成立．
　





高考数学模拟试卷2（文科）　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i是虚数单位），则z=（　　）
A．3﹣i B．﹣3+i C．﹣3﹣i D．3+i
3．在等差数列{an}中，a3﹣a2=﹣2，a7=﹣2，则a9=（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
5．不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（　　）
A． B．8 C． D．
7．设α、β是两个不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（　　）
A．若α∥β，m⊂α，则 m∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则 m∥n
C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
8．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
9．阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是63，则判断框内n的值可为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5
10．如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则△OBP的面积随时间变化的图象符合（　　）
A． B． C． D．
11．经过双曲线﹣y2=1右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
12．若函数f（x）=﹣lnx﹣（a＞0，b＞0）的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为　　　　　　．
14．已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（﹣m）⊥，则实数m=　　　　　　．
15．已知命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　．
16．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则=　　　　　　．
三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=2sin2x+sin（2x﹣B）（x∈R）的最大值．





















18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到如图2所示的几何体D﹣ABC
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCD；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．















19．在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．

（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；
（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．










20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点．若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l1：y=x+2与椭圆C交于G、H两点．在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．














21．已知函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣2x，F（x）=f（x）﹣g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=﹣1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．
　














请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：
（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）是直线l上位于圆内的动点（含端点），求x+y的最大值和最小值．
　
[选修4-5：不等式选讲]．
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|（m＞0），且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，c＞0且++=，求证：2a+3b+4c≥9．
　
高考数学模拟试卷2（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】交集及其运算．
【分析】列举出A中的元素，求出两集合的交集，即可作出判断．
【解答】解：∵A={x|x=2k﹣1，k∈Z}={…，﹣3，﹣1，1，3，5，…}，B={﹣1，0，1，2，3，4}，
∴A∩B={﹣1，1，3}，
则集合A∩B中元素的个数为3，
故选：C．
　
2．已知复数z满足（z﹣2）i=1+i（i是虚数单位），则z=（　　）
A．3﹣i B．﹣3+i C．﹣3﹣i D．3+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（z﹣2）i=1+i，得
，
∴z=3﹣i．
故选：A．
　
3．在等差数列{an}中，a3﹣a2=﹣2，a7=﹣2，则a9=（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由a3﹣a2=﹣2，即d=﹣2，再根据等差数列的性质即可求出．
【解答】解：由a3﹣a2=﹣2，即d=﹣2，
∴a9=a7+2d=﹣2+2×（﹣2）=﹣6，
故选：D．
　
4．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
【考点】分层抽样方法．
【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．
【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，
解得n=70，
故选：C．
　
5．不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，根据平面区域的形状确定平面区域的面积．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
则对应区域为直角三角形ABC．
则三点坐标分别为A（2，3），B（4，3），C（4，5），
则AB=2，BC=2，
所以三角形的面积为S=×2×2=2．
故选：B．

　
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（　　）
A． B．8 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
由俯视图知，底面是一个等腰三角形，底和底边上高分别是4、2，
∵正视图是正三角形，∴三棱锥的高是，
∴几何体的体积V==，
故选：C．
　
7．设α、β是两个不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（　　）
A．若α∥β，m⊂α，则 m∥β B．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则 m∥n
C．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】若α∥β，m⊂α，根据面面平行的性质，可得m∥β；
若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质，可得m∥n；
若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立；
若m∥α，经过m的平面与α相交于a，则可得m中m∥a，由于m⊥β，所以a⊥β，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β．
【解答】解：若α∥β，m⊂α，根据面面平行的性质，可得m∥β，故A正确；
若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质，可得m∥n，故B正确；
若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立，得C错误；
若m∥α，经过m的平面与α相交于a，则可得m中m∥a，由于m⊥β，所以a⊥β，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故D正确．
故选：C．
　
8．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
故弦心距d==．
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B．
　
9．阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是63，则判断框内n的值可为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，A=1，i=2，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，A=3，i=3，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，A=7，i=4，不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，A=15，i=5，不满足退出循环的条件；
第五次执行循环体后，A=31，i=6，不满足退出循环的条件；
第六次执行循环体后，A=63，i=7，满足退出循环的条件；
故退出循环的条件应为：i＞6，
故选：C
　
10．如图，圆与两坐标轴分别切于A，B两点，圆上一动点P从A开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到A点，则△OBP的面积随时间变化的图象符合（　　）

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】分类讨论，结核函数值的变化情况以及所给的选项，得出结论．
【解答】解：当点P从A运动到B的过程中，△OBP的面积逐渐减小，在点B处，△OBP的面积为零．
当点P从B运动到圆的最高点的过程中，△OBP的面积又逐渐增大，
且当P位于圆的最高点时，△OBP的面积达到最大值．
当点P从最高点运动到A的过程中，△OBP的面积又逐渐减小，
故选：A．
　
11．经过双曲线﹣y2=1右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（　　）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．
【解答】解：由双曲线﹣y2=1，可得a=2，b=1．
若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，
长度为=1，
∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，
长度为2a=4，距离无最大值，
∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；
综合可得，有3条直线符合条件．
故选：B．
　
12．若函数f（x）=﹣lnx﹣（a＞0，b＞0）的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．
【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．
【解答】解：f（x）=﹣lnx﹣的导数为f′（x）=﹣•，
令x=1，可得切线的斜率为f′（1）=﹣，又f（1）=﹣，
则切线方程为y+=﹣（x﹣1），即ax+by+1=0，
∵切线与圆x2+y2=1相切，
∴=1，
∴a2+b2=1，
∵a＞0，b＞0
∴a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，
∴a+b≤=．
∴a+b的最大值是．
故选：D．
　
二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为　﹣2　．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】直接利用分段函数化简求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，
则f（﹣1）=，
f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
14．已知平面向量，满足||=3，||=2，与的夹角为60°，若（﹣m）⊥，则实数m=　3　．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由题意可得=3×2×cos60°=3，（）•=﹣m=9﹣m×3=0，解方程求得实数m的值．
【解答】解：由题意可得=3×2×cos60°=3，（）•=﹣m=9﹣m×3=0，
∴m=3，
故答案为：3．
　
15．已知命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是　a＞1　．
【考点】特称命题；命题的真假判断与应用．
【分析】将条件转化为ax2+2x+1＞0恒成立，检验a=0是否满足条件，当a≠0 时，必须，从而解出实数a的取值范围．
【解答】解：命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，
即“ax2+2x+1＞0“是真命题 ①．
当a=0 时，①不成立，
当a≠0时，要使①成立，必须，解得a＞1，
故实数a的取值范围为a＞1．
故答案为：a＞1．
　
16．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则=　　．
【考点】数列的求和．
【分析】设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．即可得出an=Sn﹣Sn﹣1．进而得到，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．
∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1，当n=1时也成立．
∴=（2×3n﹣1）2=4×9n﹣1．
∴=4（90+91+…+9n﹣1）==．
故答案为：．
　
三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=2sin2x+sin（2x﹣B）（x∈R）的最大值．
【考点】正弦定理；三角函数的最值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函数公式可得cosB，可得角B；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣），易得函数最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（A+C），
∴由正弦定理可得sinBcosA=（2sinC+sinA）（﹣cosB），
∴sinBcosA+cosBsinA=﹣2sinCcosB，
∴sin（A+B）=﹣2sinCcosB，即sinC=﹣2sinCcosB，
约掉sinC可得cosB=﹣，B=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简可得f（x）=2sin2x+sin（2x﹣）
=2sin2x+sin2xcos﹣cos2xsin
=2sin2x﹣sin2x﹣cos2x
=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
∴当2x﹣=2kπ+即x=kπ+，k∈Z时，函数取最大值．
　
18．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到如图2所示的几何体D﹣ABC
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）由题意可得：AC=BC=2，又AB2=AC2+BC2，可得AC⊥CB，由面面垂直的性质定理可得：BC⊥平面ADC，可得BC⊥AD．又AD⊥DC，即可证明结论．
（II）由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．可得CH⊥平面ABD．利用CH=即可得出．
【解答】（I）证明：由题意可得：AC=BC=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB，
又平面ADC⊥平面ABC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD．
又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
（II）解：由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．则CH⊥平面ABD．CH为点C到平面ABD的距离．
∵BC⊥平面ADC，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BC=2，CD=2，∴BD==2．
∴CH===．
∴点C到平面ABD的距离是．

　
19．在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．

（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；
（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）根据题意，求出考生人数，计算考生“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数即可．
（2）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．
【解答】解：（1）“考生中“科目一”科目中D等级学生所占的频率为1﹣0.2﹣0.375﹣0.25﹣0.075=0.1，
因为“科目一”科目中成绩为D的考生有4人，所以该考场共有4÷0.1=40（人）．
所以该考场学生中“科目一”科目成绩等级为A的人数为40×0.075=3人，
所以该考场学生中“科目二”科目成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3（人）．
（2）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，
则P（M）=．
　
20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点．若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l1：y=x+2与椭圆C交于G、H两点．在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），由已知得过A、Q、F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径2c=a， =2c，由此能求出椭圆的方程．
（2）将直线l1：y=x+2代入，得7x2+16x+4=0，由此利用韦达定理能求出GH的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．
【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，
过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点，
过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，
∴过A、Q、F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径2c=a，
又∵该项圆与直线l相切，∴=2c，
解得c=1，∴a2=4，b2=3，
∴所求椭圆的方程为．
（2）将直线l1：y=x+2代入，得7x2+16x+4=0，
设G（x1，y1），H（x2，y2），则，，
∴，
∴GH的中点M（﹣），
∵菱形的对角线互相垂直平分，∴kPA•kPB=﹣1，
∴，解得m=﹣，
∴存在满足题意的点P，且m的值为﹣．

　
21．已知函数f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣2x，F（x）=f（x）﹣g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=﹣1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间．
（II） 先表示出过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数．
【解答】解：（I）函数f（x）=x2﹣mlnx的定义域是（0，+∞）．
∵f′（x）=x﹣==
令f′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）．
由f′（x）＞0得x＞，∴此时f（x）是增函数；
由f′（x）＜0得0＜x＜，∴f（x）是减函数．
∴函数f（x）的增区间是（=，+∞），减区间是（0，）．
（II）设切点为（x1，y1）
当n=﹣1时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+2x，
F′（x）=+2，
切线方程为y﹣5=（+2）（x﹣2），切点在y=F（x）上，即y1=lnx1+2x1，
∴lnx1+2x1﹣5=（+2）（（x1﹣2），
即lnx1+﹣2=0，
令
∴，
由h′（x）=0可得，x=2，
由h′（x）＞0得x＞2，由h′（x）＜0，得x＜2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，
∵h（2）=ln2﹣1＜0，且h（）=2e﹣3＞0，h（e2）=＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；
（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．
【解答】证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，
所以△APD∽△BPE，
所以，
所以AP•PE=PD•PB，
因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，
所以PA2=PB•PC，
所以=，
所以PA•PD=PE•PC；
（2）连接AC，DE，
因为BC为圆O的直径，
所以∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．
因为=，
所以AC∥DE，
所以AB⊥DE，
因为AD⊥BP，BE⊥AP，
所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，
因为AB⊥DE，
所以AD=AE．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）是直线l上位于圆内的动点（含端点），求x+y的最大值和最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．
（II）圆C的标准方程为： =4．设z=x+y．把直线l的参数方程（t为参数）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，由于直线l经过圆心，kd 点P对应的参数满足﹣2≤t≤2即可得出．
【解答】解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），展开可得：ρ2=4，
可得直角坐标方程：x2+y2﹣2x﹣2y=0．
（II）圆C的标准方程为： =4，圆心C，半径r=2．设z=x+y．
把直线l的参数方程（t为参数）代入z=x+y，可得：z=2﹣t，
由于直线l经过圆心，
∴点P对应的参数满足﹣2≤t≤2．
∴﹣2≤﹣t≤2+2．
即x+y的最大值和最小值分别为+2；2﹣2．
　
[选修4-5：不等式选讲]．
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|（m＞0），且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，c＞0且++=，求证：2a+3b+4c≥9．
【考点】绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．
（Ⅱ）由条件得++=1，利用1的代换，结合基本不等式进行证明求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x+2）=m﹣|x|，
由且f（x+2）≥0得m﹣|x|≥0，即|x|≤m，
即﹣m≤x≤m，
∵f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]
∴m=3；
证明：（Ⅱ）∵m=3，
∴++==1，
则2a+3b+4c=（2a+3b+4c）（++）=3++++++≥3+2+2+2=9，
当且仅当=， =， =，即2a=3b=4c，即a=，b=1，c=时，取等号．
即2a+3b+4c≥9成立．
　























高考数学模拟试卷3（文科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（　　）
A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i
2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
4．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3

7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（　　）
A． B． C． D．
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1） ②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）， ④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为　　．
14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为　　．
15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是　　．
16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为　　．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（）的值．（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．


18．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
年龄x（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式： =， =﹣．







19．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥PM；（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．



20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．












21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．　










[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．　


























[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
　
高考数学模拟试卷3（文科）试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设复数z满足=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（　　）
A．﹣i B． +i C．1 D．﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数z满足=|1﹣i|+i=+i，则复数z=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
2．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．
【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．
【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．
①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．
当a=1时，B={1，﹣1}，满足B⊆A．
②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，
当a=﹣1时，B={1，3}，满足B⊆A，
当a=3时，B={1，3}，满足B⊆A．
综上，若B⊆A，则a=±1或a=3．
故选：B．
【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．　
3．已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到==2 •，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，
∴（）•=﹣2 =0，
（）•=﹣2 =0，∴ ==2，设与的夹角为θ，
则由两个向量的夹角公式得 cosθ====，
∴θ=60°，
故选B．
【点评】本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用．　
4．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则=（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【考点】等比数列的性质．
【分析】利用等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，可得d=a1，即可求出．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，
∴a42=a2a8，
∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），
∴d2=a1d，
∵d≠0，
∴d=a1，
∴==3．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
5．设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用两角和公式和倍角公式对a，b，c分别化简，利用诱导公式再转化成单调区间的正弦函数，最后利用正弦函数的单调性求得答案．
【解答】解：a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin（40°+127°）=sin167°=sin13，
b=（sin56°﹣cos56°）=sin56°﹣cos56°=sin（56°﹣45°）=sin11°，
=cos239°﹣sin239°=cos78°=sin12°，
∵sin13°＞sin12°＞sin11°，
∴a＞c＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了两角和公式，二倍角公式，诱导公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，
故选：B．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=（　　）
A．1 B．﹣1 C．2017 D．﹣2017
【考点】数列的应用．
【分析】利用a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．即可得出．
【解答】解：∵a1a3﹣a=1×2﹣12=1，a2a4﹣a=1×3﹣22=﹣1，
a3a5﹣a=2×5﹣32=1，…，a2015a2017﹣a=1．
∴（a1a3﹣a）（a2a4﹣a）（a3a5﹣a）…（a2015a2017﹣a）=11008×（﹣1）1007=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
8．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（　　）

A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2017时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2017，
所以要求的概率，
所以空白框内应填入的表达式是P=．
故选：C．
【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．　
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．
【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．
【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB
∵，
∴
∴
∵
∴
∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，
∴
∴4＞
∴4＞
∵k＞0，∴
故选C．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．　
10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】利用正方体的结构特征求解．
【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，
无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．
三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；
过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；
正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，
则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；
过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．
故选：B．

【点评】本题考查水面在容器中的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
11．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则点A到抛物线的准线的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，即可求得点A到抛物线的准线的距离．
【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，
直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则|OB|=|AF|，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
∴|AM|=6，
∴点A到抛物线的准线的距离为6
故选：A．

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；
②函数f（x）有2个零点；
③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．
其中正确命题的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；
由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；
由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；
分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，
根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．
【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；
对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，
∴f（x）有3个零点，②错误；
对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；
x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；
∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；
对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），得
x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；
∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；
∴f（x）＜f（0）=1；
即﹣e﹣2＜f（x）＜1；
x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；
∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；
x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；
∴f（x）＞f（0）=﹣1；
∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；
∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；
∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；
综上，正确的命题是①③④，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），则它的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件列出关系式求解即可．
【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），
可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，
可得4c2=5a2
e=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．　
14．设a＞0，b＞0．若是3a与32b的等比中项，则+的最小值为　8　．
【考点】基本不等式．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得3a×32b=（）2，变形化简可得a+2b=1，进而有+=（a+2b）（+）=4+（+），结合基本不等式可得+的最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若是3a与32b的等比中项，
则有3a×32b=（）2，即3a+2b=3，
则有a+2b=1；
则+=（a+2b）（+）=4+（+）≥4+2=8；
即+的最小值为8；
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式的运用，涉及等比数列的性质，关键是求出a+2b=1．　
15．已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是　（，1）　．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，取交集即可．
【解答】解：已知p：∀x∈[，]，2x＜m（x2+1），
故m＞，
令g（x）=，则g（x）在[，]递减，
故g（x）≤g（）=，
故p为真时：m＞；
q：函数f（x）=4x+2x+1+m﹣1=（2x+1）2+m﹣2，
令f（x）=0，得2x=﹣1，
若f（x）存在零点，
则﹣1＞0，解得：m＜1，
故q为真时，m＜1；若“p且q”为真命题，
则实数m的取值范围是：（，1），
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题．
　
16．已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），动点P（x，y）满足0≤≤2且0≤•≤2，则点P到点C的距离大于的概率为　1﹣　．
【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：∵A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），
∴动点P（a，b）满足0≤≤2且0≤•≤2，
∴，
z=（a﹣）2+（b）2，
∴作出不等式组对应的平面区域如图：
∵点P到点C的距离大于，
∴|CP|，则对应的部分为阴影部分，
由解得，
即E（，），|OE|==，
∴正方形OEFG的面积为，
则阴影部分的面积为π，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．　
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）（2017•洛阳模拟）已知f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（）的值．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求角B的大小以及f（A）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx
==sin（2ωx﹣）﹣．由最小正周期得ω
（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
cosB、B，再求f（A）的取值范围
【解答】解：（1）f（x）=sin（π+ωx）•sin（π﹣ωx）﹣cos2ωx=sinωx•cosωx﹣cos2ωx
==sin（2ωx﹣）﹣．
∵最小正周期为T=π，∴，⇒ω=1．
∴f（x）=sin（2x﹣）﹣
∴f（）=sin（2×）﹣=．
（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA．
∵sinA＞0，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴．
∴A，2A﹣，∴sin（2A﹣）．
f（A）的取值范围：（﹣1，]．
【点评】本题考查了三角恒等变形，解三角形，属于中档题．
　
18．（12分）（2017•洛阳模拟）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损．
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
年龄x（岁）
20
30
40
50
周均学习成语知识时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
由表中数据，试求线性回归方程=x+，并预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式： =， =﹣．

【考点】线性回归方程；茎叶图．
【分析】（1）求出基本事件的个数，即可求出概率；
（2）求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为50岁观众周均学习成语知识时间．
【解答】解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8，
∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为=；
（2）=35， =3.5， ===， =﹣=．
∴=x+．
x=50时， =4.55小时．
【点评】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．
　
19．（12分）（2017•洛阳模拟）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M为CD的中点，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥PM；
（2）若∠APD=90°，PA=，求点A到平面PBM的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的性质．
【分析】（1）取AD中点E，连接PE，EM，AC，证明：BD⊥平面PEM，即可证明BD⊥PM；
（2）利用等体积方法，求点A到平面PBM的距离．
【解答】（1）证明：取AD中点E，连接PE，EM，AC，
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，M分别是AD，DC的中点，
∴EM∥AC，
∴EM⊥BD．
∵PA=AD，
∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BD，
∵EM∩PE=E，
∴BD⊥平面PEM，
∵PM⊂平面PEM，
∴BD⊥PM．
（2）解：∵PA=PD=，∠APD=90°，∠DAB=60°，
∴AD=AB=BD=2，PE=1，EM==，
∴PM=PB==2．
等边三角形DBC中，BM=，∴S△PBM=，S△ABM==．
设三棱锥A﹣PBM的高为h，则由等体积可得，
∴h=，
∴点A到平面PBM的距离为．

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查等体积方法的运用，属于中档题．
　
20．（12分）（2017•洛阳模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，﹣）是椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；
（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|•|QM|为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），2a=|AF1|+|AF2|=+=8，即可求方程、离心率．
（2）写出直线TN\TM的方程，得P（，得Q（0，），即|PN|=|4+|=||，|MQ|=|2+|=|||PN|•|QM|==．
【解答】解：（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），
∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8
∴a=4，∴b2=a2﹣c2=4，e=
椭圆C的标准方程：．e=．
（2）T（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），则．
M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：，
令y=0，得P（，
直线TN的方程：，
令x=0，得Q（0，）
则|PN|=|4+|=||
则|MQ|=|2+|=||
|PN|•|QM|==
∴|PN|•|QM|为定值16
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
　
21．（12分）（2017•洛阳模拟）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．
（1）若a=2，F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出F（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设切点（m，lnm﹣），求出f（x）的导数，由题意可得a=+，lnm﹣=ma+b，即可得到a+b=lnm﹣+﹣1，令=t＞0换元，可得a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，利用导数求其最小值即可得到a+b的最小值．
【解答】解：（1）a=2时，F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣﹣2x﹣b，
F′（x）=+﹣2，（x＞0），
F′（x）=，
令F′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令F′（x）＜0，解得：x＞1，
故F（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（2）：设切点（m，lnm﹣），函数f（x）=lnx﹣的导数为f′（x）=+，
即有切线的斜率为+，
若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，
则a=+，lnm﹣=ma+b，
即有b=lnm﹣﹣1，
a+b=lnm﹣+﹣1，
令=t＞0，则a+b=﹣lnt﹣t+t2﹣1，
令a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，
则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，
当t∈（0，1）时，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；
当t∈（1，+∞）时，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增．
即有t=1时，φ（t）取得极小值，也为最小值．
则a+b=φ（t）≥φ（1）=﹣1，
故a+b的最小值为﹣1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和求极值、最值，主要考查构造函数，通过导数判断单调区间求得极值也为最值，属于中档题．　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•洛阳模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半周为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设P（cosα， sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，利用三角函数知识即可求解．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a为参数），普通方程为=1，
曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=3，即ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，直角坐标方程为x+y﹣6=0；
（2）设P（cosα， sinα），则|PQ|的最小值为P到x+y﹣6=0距离，
即=|sin（α+）﹣3|，
当且仅当α=2kπ+（k∈Z）时，|PQ|取得最小值2，此时P（，）．
【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•洛阳模拟）已知关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R．
（1）求m的最大值；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+3|+|x+m|≥2m的解集为R，求出m的范围，即可得出结论；
（2）利用柯西不等式，可得2a2+3b2+4c2的最小值及此时a，b，c的值．
【解答】解：（1）因为|x+3|+|x+m|≥|（x+3）﹣（x+m）|=|m﹣3|．
当﹣3≤x≤﹣m或﹣m≤x≤﹣3时取等号，
令|m﹣3|≥2m所以m﹣3≥2m或m﹣3≤﹣2m．
解得m≤﹣3或m≤1
∴m的最大值为1．
（2）∵a+b+c=1．
由柯西不等式，≥（a+b+c）2=1，
∴，等号当且仅当2a=3b=4c，且a+b+c=1时成立．
即当且仅当，，时，2a2+3b2+4c2的最小值为．
【点评】本题给出等式a+b+c=1，求式子2a2+3b2+4c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．








































































高考数学模拟试卷4（文科）　
一、选择题
1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁UM）∩N=（　　）
A．{2} B．{﹣1} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1，1}
2．已知复数z=，则（　　）
A．z的实部为 B．z的虚部为﹣I C．|z|= D．z的共轭复数为+i
3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（　　）
A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线
4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
6
8
10
10
根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2， =﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（　　）
A．16个 B．20个 C．24个 D．28个
6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）
A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）

A．34 B．55 C．78 D．89
8．设Sn是公差d=﹣1的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则an=（　　）
A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n
9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）
A．100cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3
10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．y=g（x）是奇函数 B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．y=g（x）的图象关于直线x=对称 D．y=g（x）的周期为π
11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知sin（α+）=，且，则cosα=　　　　　　．
14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　　　　　　．
15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为　　　　　　．
16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为　　　　　　．
三、解答题
17．设数列{an}的前n项之和为Sn，且满足Sn=1﹣an，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．






















18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是
正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；（Ⅱ）求该几何体的体积．













19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：
编号
分组
频数
1
[0，2）
12
2
[2，4）
16
3
[4，6）
34
4
[6，8）
44
5
[8，10）
50
6
[10，12）
24
7
[12，14）
12
8
[14，16）
4
9
[16，18）
4
合计
200
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．







20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．
（1）求椭圆的方程；（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．


















21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣ax（a＞0，a≠1）．
（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．
　






















[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．
（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠PAB=35°，求证： =．

　














[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．
　




















[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a2+b2+c2．
　
高考数学模拟试卷4（文科）试题解析
一、选择题
1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}，则（∁UM）∩N=（　　）
A．{2} B．{﹣1} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1，1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】直接由全集U，集合M求出∁UM，则N∩（∁UM）的答案可求．
【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，
∴∁UM={﹣2，2}．
则N∩（∁UM）={﹣1，2}∩{﹣2，2}={2}．
故选：A．
　
2．已知复数z=，则（　　）
A．z的实部为 B．z的虚部为﹣i
C．|z|= D．z的共轭复数为+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算性质求出z，分别判断各个选项即可．
【解答】解：∵z===﹣﹣i，
故|z|=，
故选：C．
　
3．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（　　）
A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线
【考点】曲线与方程．
【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．
【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；
当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；
当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；
对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．
故选：B．
　
4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．
【解答】解： =（1，2），=（﹣2，4），
可得•=﹣2+8=6，||==2，
由k+与垂直，可得（k+）•=0，
k•+2=0，即有6k+20=0，
解得k=﹣．
故选B．
　
5．某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：
x
11
10.5
10
9.5
9
y
5
6
8
10
10
根据上表得回归直线方程=x+，其中=﹣3.2， =﹣，据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为（　　）
A．16个 B．20个 C．24个 D．28个
【考点】线性回归方程．
【分析】求出样本中心代入回归方程得出，从而得出回归方程解析式，令x=5，计算即可．
【解答】解： =， =．
∴7.8=﹣3.2×10+，解得=39.8．
∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8．
当x=5时， =﹣3.2×5+39.8=23.8≈24．
故选C．
　
6．不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立的必要不充分条件是（　　）
A．m＞2 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞1
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立，△＜0，可解得m的范围，然后看m＞1与选项中的m范围，即可得出答案．
【解答】解：当不等式x2﹣2x+m＞0在R上恒成立时，
△=4﹣4m＜0，
解得m＞1；
所以m＞1是不等式恒成立的充要条件；
m＞2是不等式成立的充分不必要条件；
0＜m＜1是不等式成立的既不充分也不必要条件；
m＞0是不等式成立的必要不充分条件．
故选：C．
　
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）

A．34 B．55 C．78 D．89
【考点】程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选B
　
8．设Sn是公差d=﹣1的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则an=（　　）
A．﹣﹣n B．﹣n C． +n D．﹣+n
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由S1，S2，S4成等比数列，得到S22=S1•S4，即 （2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），求出a1，即可求出通项公式．
【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，
再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得S22=S1•S4，即 （2a1﹣1）2=a1•（4a1﹣6），
解得 a1=﹣，
∴an=﹣+1﹣n=﹣n，
故选：B．
9．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）

A．100cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣
=100cm3．
故选：A．
　
10．已知ω＞0，|φ|＜，若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．y=g（x）是奇函数
B．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称
C．y=g（x）的图象关于直线x=对称
D．y=g（x）的周期为π
【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出ω=1，然后根据三角函数的图象关系求出g（x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：∵若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的极值点，
∴若x=和x=是函数f（x）=cos（ωx+φ）的两个相邻的对称轴，
则函数的周期T=2×（﹣）=2π，即=2π，则ω=1，
即f（x）=cos（x+φ），
①若x=时，函数取得极大值，则f（）=cos（+φ）=1，
则+φ=2kπ，即φ=2kπ﹣，当k=0时，φ=﹣，此时f（x）=cos（x﹣），
将y=f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，
即g（x）=）=cos[（x+）﹣]=cosx，
此时函数g（x）是偶函数不是奇函数，故A错误，
g（﹣）=cos（﹣）=0，即函数y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故B正确，
g（）=cos（）=0，即函数y=g（x）的图象关于关于直线x=不对称，故C错误，
y=g（x）的周期为2π，故D错误，
②若x=时，函数取得极小值，则f（）=cos（+φ）=cos（+φ）=﹣1，
则+φ=2kπ﹣π，即φ=2kπ﹣，当k=1时，φ=，
∵|φ|＜，∴此时φ不存在．
综上故选：B．
11．已知点，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）处取得最小值．
【解答】解：约束条件的可行域如下图示：
画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，
三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），
因为圆c：x2+y2=14的半径r=，得三个交点都在圆内，
故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，
就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度
．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），
可用圆d：x2+y2=10与直线x=y的交点为（，）验证，
过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，
国灰r2=14，故|AB|=2=4，
所以线段AB的最小值为4．
故选：D

　
12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由PF1⊥PF2，得•=0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．
【解答】解：依题意，作图如下：
由A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
可得直线AB的方程为： +=1，整理得：bx﹣ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，
x=y﹣a，
由PF1⊥PF2，
∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（y﹣a）2+y2﹣c2，
令f（y）=（y﹣a）2+y2﹣c2，
则f′（y）=2（y﹣a）•+2y，
由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，
∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，
整理得： =c2，又b2=a2﹣c2，e2=，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e2==（）2，
可得e=，
故选：D．
　
二、填空题
13．已知sin（α+）=，且，则cosα=　﹣　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由，可得： ＜π， =﹣．利用cosα=，展开即可得出．
【解答】解：∵，∴＜π，
∴=﹣=﹣．
∴cosα==+
=+
=．
故答案为：﹣．
14．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　180　．
【考点】二项式定理．
【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．
【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．
∵展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴n=10
∴展开式的通项为=
令=0，可得r=2
∴展开式中的常数项等于=180
故答案为：180
15．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为　　．
【考点】球内接多面体．
【分析】过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，求出球的半径，可得球心到截面的距离．
【解答】解：过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为AD=2，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，
∴球的半径为=，
∴球心到截面的距离为=，
故答案为：．
16．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+a在[，e]上有两个零点，则实数a的取值范围为　（1，2+）　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】求出f（x）的导数f′（x），分析f′（x）的零点和区间[，e]的位置关系，判断f（x）的单调性为在[，1]上单调递增，在（1，e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出a的取值范围．
【解答】解：f（x）=2lnx﹣x2+a，
f′（x）=，
∵x∈[，e]，故f′（x）=0，解得x=1，
当＜x＜1，f′（x）＞0；
当1＜x＜e，f′（x）＜0，
故f（x）在x=1有唯一的极值点，f（1）=a﹣1，
f（）=a﹣2﹣，
f（e）=a+2﹣e2，
则f（e）＜f（），
f（x）在[，e]上有两个零点的条件，
，解得1＜a＜2+，
故实数a的取值范围（1，2+]．
故答案为：（1，2+]．　
三、解答题
17．设数列{an}的前n项之和为Sn，且满足Sn=1﹣an，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）通过Sn=1﹣an与Sn﹣1=1﹣an﹣1作差可知an=an﹣1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知bn=（n+1），进而利用错位相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）∵Sn=1﹣an，Sn﹣1=1﹣an﹣1，
∴an=an﹣1﹣an，即an=an﹣1，
又∵S1=1﹣a1，即a1=，
∴数列{an}是首项、公比均为的等比数列，
∴其通项公式an=；
（2）由（1）可知bn=（n+1）an=（n+1），
∴Tn=2•+3•+4•+…+（n+1），
Tn=2•+3•+…+n•+（n+1），
两式相减得： Tn=2•+++…+﹣（n+1）
=+﹣（n+1）
=﹣，
∴Tn=3﹣．
18．如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，△A1BC是
正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（Ⅰ）由已知得，从而A1A⊥AC，由此能证明面A1AC⊥面ABC．
（Ⅱ）依题意得：而，，由此能求出该几何体的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，
△A1BC是正三角形，B1C1∥BC，B1C1=BC，
∴，
∴，
∴A1A⊥AC，
又A1A⊥AB，∴A1A⊥平面ABC，
∴面A1AC⊥面ABC．
（Ⅱ）解：依题意得：
而，
，
故：．
19．从某校随机抽取200名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：
编号
分组
频数
1
[0，2）
12
2
[2，4）
16
3
[4，6）
34
4
[6，8）
44
5
[8，10）
50
6
[10，12）
24
7
[12，14）
12
8
[14，16）
4
9
[16，18）
4
合计
200
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．

【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；
（2）根据小矩形的高=，求a、b的值；
（3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．
【解答】解：（1）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10，
∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9；
（2）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为34，∴频率为0.17，∴a=0.085；
数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；
（3）数据的平均数为（12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4）=7.68（小时），
∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F2作直线与椭圆交于B、C两点，求△COB面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得=2，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，代入椭圆方程x2+2y2=32，可得y的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|，化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值．
【解答】解：（1）由A（4，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，
可得c=4，令x=4，代入椭圆方程可得y=±b=±，
即有=2，又a2﹣b2=16，
解得a=4，b=4，
则椭圆方程为+=1；
（2）点F2（4，0），可设直线BC：x=ty+4，
代入椭圆方程x2+2y2=32，可得（2+t2）y2+8ty﹣16=0，
设B（x1，y1），C（x2，y2），可得△=64t2+64（2+t2）＞0
y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
|y1﹣y2|===，
S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•
=16•≤16•=8，
当且仅当=，即t=0时，△COB面积的最大值为8．
21．设函数f（x）=xlna﹣x2﹣ax（a＞0，a≠1）．
（1）当a=e时，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求得a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣ex的导数，可得f（x）在（0，f（0））处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（2）由题意可得f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最小值是f（1）或f（﹣1），最大值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=xlne﹣x2﹣ex的导数为f′（x）=1﹣2x﹣ex，
可得函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线斜率为1﹣0﹣1=0，
切点为（0，﹣1），即有切线的方程为y=﹣1；
（2）由存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，
而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，
则只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，
f（x）=xlna﹣x2﹣ax的导数为f′（x）=lna﹣2x﹣axlna，
又x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
增函数
极大值
减函数
所以f（x）在[﹣1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值f（x）max=f（0）=﹣1，
f（x）的最小值f（x）min为f（﹣1）和f（1）中的最小值．
因为f（1）﹣f（﹣1）=（lna﹣1﹣a）﹣（﹣lna﹣1﹣）=2lna﹣a+，
令g（a）=2lna﹣a+，由g′（a）=﹣1﹣=﹣＜0，
所以g（a）在a∈（0，+∞）上是减函数．
而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）；
当0＜a＜1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1），
所以，当a＞1时，f（0）﹣f（1）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，
而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣，
可得函数y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；
当0＜a＜1时，f（0）﹣f（﹣1）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，
函数y=+lna的导数为y′=﹣=，
可得函数y在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．
综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．
（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；
（2）若∠PAB=35°，求证： =．

【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．
【分析】（1）由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°，从而∠ABC=65°，由此利用四边形ABCD内接于⊙O，能求出∠D．
（2）由∠DAE=25°，∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，从而△ADC∽△PBA，由此能证明DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=35°，
又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=55°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=112°．
（2）证明：∵∠DAE=35°，
∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△ABP，
∴=，∠DBA=∠BDA，
∴DA=BA，∴DA2=DC•BP，AP2=PC•BP，
∴=．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为，消去t可得直线l的普通方程．曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程．
（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d=2．可得cos=，进而得出答案．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），
化为，
消去t可得直线l的普通方程： x+y﹣4=0．
曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0），
解得ρ=4．
可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16．
（2）⊙Cd的圆心（0，0）到直线l的距离d==2．
∴cos==，
∵，
∴∠AOB=，
可得∠AOB=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a2+b2+c2．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）通过作差法证明即可．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，
当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，
故a+b+c=1；
（2）3（a2+b2+c2）﹣12
=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2
=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，
∴a2+b2+c2．
　












高考数学模拟试卷5（文科）　
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.
1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}
2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（　　）
A． B． C． D．
3．已知，命题p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否命题为（　　）
A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2 B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2
C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2 D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2
4．已知向量，|，则＜等于（　　）
A． B． C． D．
5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（　　）

A． B． C． D．
7．已知变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（　　）
A．2 B．10 C．1 D．12
8．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（　　）

A．9 B． C．8 D．4
9．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若xC是xB与xF的等比中项，则双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．
10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或 2
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．函数f（x）=的定义域为_______．
12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=_______．
13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为_______．

14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=_______．
15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：
①||=2； ②=0（1≤i，j≤n）． 若，记bn=|，
则数列{bn}的前n项和Sn为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．
（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．









17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已知土豆收购按质量标准可分为四个等级，某代收点对等级的统计结果如下表所示：
等级
特级
一级
二级
三级
频率
0.30
2m
m
0.10
现从该代售点随机抽取了n袋土豆，其中二级品为恰有40袋．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．
















18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．
（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．















19．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{bn}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn是an、bn的等比中项，求数列{cn2}的前n项和Tn．



















20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；
（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．




















21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且kOM•kON=﹣．
（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；
（ⅱ）求的最值．
　
高考数学模拟试卷5（文科）试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（　　）
A．{1，2} B．{2，4，8} C．{1，2，4} D．{1，2，4，8}
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合B，再由交集的定义求A∩B．
【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，
∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，
∴A∩B={1，2，4}．
故选：C．　
2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（2﹣i）=1+i，
得，
∴．
故选：D．　
3．已知，命题p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否命题为（　　）
A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2
B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2
C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2
D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】由否命题的定义直接写出结果盆选项即可．
【解答】解：命题p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，
则其否命题为：已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2
故选：D．　
4．已知向量，|，则＜等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】求出，代入向量的夹角公式计算．
【解答】解：||=， =2，
∵（）（）=1，∴
∴=﹣1．
∴cos＜=．
∴＜=．
故选D．
　
5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由条件判断函数为偶函数，且在（0，1）上单调递增，从而得出结论．
【解答】解：由函数f（x）=cosx•log2|x|为偶函数，可得它的图象关于y轴对称，
故排除A、D．
在区间（0，1）上，f（x）=cosx•log2x，f′（x）=﹣sinx•log2x+＞0，
故函数f（x）在（0，1）上单调递增，
故排除C，
故选：B．
　
6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体为长方体和两个半球的组合体．
【解答】解：由三视图可知几何体为长方体和两个半球的组合体，
长方体的棱长分别为2，2，1，半球的半径为1．
∴几何体的体积V=2×2×1+=4+．
故选：C．
　
7．已知变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（　　）
A．2 B．10 C．1 D．12
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z
作出不等式组，对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=2x﹣z
由图象可知当直线y=2x﹣z过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，
由，解得，即A（4，﹣2）．
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×4+2=10，
∴目标函数z=2x﹣y的最大值是10．
故选：B．

　
8．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（　　）

A．9 B． C．8 D．4
【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．
【分析】根据平均数的定义求出a+b=2，再利用基本不等式求出的最小值即可．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为
=（a+11+13+20+b）=11.5，
∴a+b=2；
∴=+=2+++≥2+=，
当且仅当a=2b，即a=，b=时取“=”；
∴+的最小值为．
故选：B．
　
9．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若xC是xB与xF的等比中项，则双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，通过解方程组得出xC，xB，根据等比中项的性质列方程化简得出a，b的关系．代入离心率公式计算．
【解答】解：抛物线的焦点为F（a，0），
∴直线方程为y=﹣x+a．
∵双曲线=1的渐近线为y=±，
∴直线y=﹣x+a与渐近线的交点横坐标分别为，．
∵xC是xB与xF的等比中项，
∴（）2=a•或（）2=a，
∴3ab+b2=0（舍）或3ab﹣b2=0，∴b=3a．
∴c==，
∴双曲线的离心率e==．
故选：D．
　
10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或 2
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】令m（x）=x2f（x），根据当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），求出m（x）的单调性，令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，求出h（x）的单调性，从而求出函数的零点的个数．
【解答】解：∵满足当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），
∴2f（x）+xf′（x）＜0，
令m（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
∴当x＞0时，g′（x）＜0；当x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，在（﹣∞，0）递增，
令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，
则h′（x）=m′（x），
∴当x＞0时，函数h（x）单调递减；当x＜0时，函数h（x）单调递增，
∴h（x）的最大值是h（0）=0，
显然g（x）的定义域是x≠0，
∴关于x的函数g（x）=f（x）﹣的零点个数是0个．
故选：A．
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）=，
∴，
解得，
∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．
故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．
　
12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=．
【考点】正弦定理．
【分析】a=b，利用正弦定理可得：sinA=sinB．由A=2B，利用倍角公式可得：sinA=sin2B=2sinBcosB，化为cosB=，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵a=b，∴sinA=sinB，
∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴sinB=2sinBcosB，
∴cosB=，
∵B∈（0，π），∴sinB==．
故答案为：．
　
13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为．

【考点】程序框图．
【分析】由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于30得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于30的概率．
【解答】解：设实数x∈（﹣1，4），
经过第一次循环得到x=2x+2，n=3，
经过第二循环得到x=2（2x+2）+2，n=5，
经过第三循环得到x=2[2（2x+2）+2]+2，n=7，
此时输出x，
输出的值为8x+14，
令8x+14≥30，得x≥2，
由几何概型得到输出的x不小于30的概率为P==．
故答案为：．
　
14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=2±．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，利用△ABC的面积S=2，可得圆心C到直线AB的距离d=，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0可化为（x﹣2）2+（y+2）2=4
∴圆心C（2，﹣2），半径r=2，
∵△ABC的面积S=2
∴AC⊥BC，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d==，
解得a=2±，
故答案为：2±．
　
15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：
①||=2；
②=0（1≤i，j≤n）．
若，记bn=|，
则数列{bn}的前n项和Sn为Sn=2n2+2n（n=1，2）．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量两两垂直可知平面向量组只有两个向量，代入计算即可．
【解答】解：∵=0，∴，，
∵，∴．
∴=﹣，与矛盾．
∴n最大值为2．
∴=，．
∴b1=，b2=||2==8．
∴S1=4，S2=12．
∴Sn=2n2+2n．
故答案为2n2+2n．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．
（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；
（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）﹣，由函数图象和周期公式可得ω=1，易得最大值；
（Ⅱ）可得＜A＜π，由三角函数最终可得sin（2A﹣）﹣的最小值，由恒成立可得．
【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx
=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣，
∵函数f（x）图象两条对称轴之间的最小距离为，
∴周期T==2×，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最大值为1﹣=；
（Ⅱ）∵△ABC中，cosA＜0，∴＜A＜π，
∴＜2A﹣＜，∴﹣1≤sin（2A﹣）＜，
∴﹣≤sin（2A﹣）﹣＜0，
要使f（A）≥m恒成立，则m≤f（A）=sin（2A﹣）﹣的最小值，
故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]
　
17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已知土豆收购按质量标准可分为四个等级，某代收点对等级的统计结果如下表所示：
等级
特级
一级
二级
三级
频率
0.30
2m
m
0.10
现从该代售点随机抽取了n袋土豆，其中二级品为恰有40袋．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．
【分析】（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，由此能求出m，n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的两袋都是一等品的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，
解得m=0.20，
∴n===200．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，
一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，
记一等品的四袋分别为A、B、C、D，二等品的两袋为a，b，三等品的一袋为c，
则从中抽取两袋，不同的结果为：n==21，
抽取的两袋都是一等品包含的基本事件个数m==6，
∴抽取的两袋都是一等品的概率p==．
　
18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．
（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；
（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．

【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．
（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，
∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点，
∴EN∥CD，MN∥AC，
∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，
EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，
∴平面EMN∥平面ACDF，
∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．
（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，
∴AC⊥平面BCDE，
∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，
∵BD⊥AD，AC∩AD=A，
∴BD⊥平面ACDF．

　
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{bn}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn是an、bn的等比中项，求数列{cn2}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）点Pn（n，Sn）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，可得Sn=n2﹣n，利用递推关系即可得出an．设等比数列{bn}的公比为q，由b1b2b3=8，b1+b2+b3=．可得=8， +b2q=，解出即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（I）点Pn（n，Sn）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，∴Sn=n2﹣n，
∴当n=1时，a1=0；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．
当n=1时上式也成立，∴an=2n﹣2．
设等比数列{bn}的公比为q，∵b1b2b3=8，b1+b2+b3=．
∴=8， +b2q=，
解得b2=2，q=或3，
∵数列{bn}单调递减，
∴q=，
∴bn==2×．
（II）∵cn是an、bn的等比中项，
∴=anbn=（2n﹣2）×=．
∴数列{cn2}的前n项和Tn=+…+，
=4+…+，
∴==4=4，
解得Tn=9﹣．
　
20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；
（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得h′（x）≤0恒成立．即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，求得右边函数的最小值即可；
（Ⅱ）（i）令函数y=1+lnx﹣x，求出导数，判断单调性，即可得证；
（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函数y=（1+）（2+lnx），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f′（x）=，
h（x）=f（x）•g（x）=（a+lnx）•，
h′（x）=﹣（a+lnx）•，
由题意可得h′（x）≤0恒成立．
即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，由lnx≥0，
则1﹣a≤0，即为a≥1；
（Ⅱ（i）证明：令函数y=1+lnx﹣x，
y′=﹣1=，
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数y递增．
即有x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，
则1+lnx﹣x≤0，
则f（x）≤x；
（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为
t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．
令函数y=（1+）（2+lnx），则y′=，
由x≥1时，x﹣1≥lnx成立，可得y′≥0，函数y递增．
则函数y的最小值为4．
则t≤4．
　
21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且kOM•kON=﹣．
（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；
（ⅱ）求的最值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）椭圆C的离心率为，在椭圆C上．可得， =1，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（II））（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由kOM•kON=﹣，可得=﹣，联立解得即可得出．
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，可得1+4k2＞m2．利用根与系数的关系可得|MN|=．由kOM•kON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，把根与系数的关系代入可得：2m2=1+4k2．把m2=代入|MN|，可得|MN|=，原点O到直线l的距离d=．即可得出．S△MON=|MN|d=1为定值．
（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得： =．当l与x轴不垂直时，可得： =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=．把m2=代入，化简整理即可得出．
【解答】解：（I）∵椭圆C的离心率为，在椭圆C上．∴， =1，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．
（II）（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由kOM•kON=﹣，可得=﹣，联立解得：，，∴S△MON==1．
当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△＞0，可得1+4k2＞m2．
∴x1+x2=，x1x2=，
则|MN|===．
由kOM•kON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，即（1+4k2）x1x2+4mk（x1+x2）+4m2=0，
∴﹣+4m2=0，化为：2m2=1+4k2．
把m2=代入|MN|，可得|MN|=，
原点O到直线l的距离d=．

∴S△MON=|MN|d=×|m|==1．
综上可得S△MON=1为定值．
（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得： ==．
当l与x轴不垂直时，可得： =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2
=﹣+m2=．
把m2=代入可得： ==﹣．
由△＞0，可得1+4k2＞恒成立，∴k∈R．∴∈．
综上可得：∈．
∴的最小值为，最大值为．