高考数学模拟试卷5套-(文科)

这是一份高考数学模拟试卷5套-(文科)，共53页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考数学模拟试卷一（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|y=}，集合N={y|y=sinx}，则M∩N=（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．∅
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（　　）
A．15 B．10 C．9 D．7
3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．已知向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），函数f（x）=（+）•（﹣），则f（x）的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
5．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）
A．﹣1或1 B．或 C． D．
6．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（﹣α）=（　　）
A．﹣ B．﹣7 C． D．7
7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=63，则输入a的值可以是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
10．已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
11．已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（　　）
A． B．64π C．100π D．
12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（　　）
A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x+2y的取值范围是______．
14．若关于x的方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是______．
15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线C的右支上存在一点P满足|PF1|=3|PF2|，且•=﹣a2，则双曲线C的离心率为______．
16．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2•a6=a3•a7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．















18．某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，如表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A户型
0.7
1.3
1.1
1.4
1.1
0.9
0.8
0.8
1.3
0.9
B户型
1.2
1.6
2.3
1.8
1.4
2.1
1.4
1.2
1.7
1.3
（Ⅰ）根据如表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）．















19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是线段PC的中点， =．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离．







20．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），动点M满足|AM|=4，线段MB的垂直平分线与线段AM相交于点N，设点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与曲线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ（其中O为坐标原点），试问：是否存在定圆x2+y2=r2（r＞0），使得该圆恒与直线l相切？说明理由．














21．已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．
　






















请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
　
高考数学模拟试卷一（文科）试题解析　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|y=}，集合N={y|y=sinx}，则M∩N=（　　）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，1] C．[0，1] D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中y=，得到x﹣x2≥0，即x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即M=[0，1]，
由N中y=sinx，得到﹣1≤y≤1，即N=[﹣1，1]，
则M∩N=[0，1]，
故选：C．
　
2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随即编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为5，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的32人中，做问卷C的人数为（　　）
A．15 B．10 C．9 D．7
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=5+（n﹣1）30=30n﹣25，由751≤30n﹣25≤981求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：∵960÷32=30，
∴由题意可得抽到的号码构成以5为首项、以30为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为an=5+（n﹣1）30=30n﹣25．
落人区间[751，960]的人做问卷C，
由 751≤30n﹣25≤960，
即776≤30n≤985
解得25≤n≤32．
再由n为正整数可得26≤n≤32，
∴做问卷C的人数为32﹣26+1=7，
故选：D．
　
3．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，
底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、2，高为3，
∴几何体的体积V==2，
故选：A．
　
4．已知向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），函数f（x）=（+）•（﹣），则f（x）的最小正周期是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和化简，再根据周期的定义即可求出．
【解答】解：∵向量=（sin（x+φ），2），=（1，cos（x+φ）），
∴f（x）=（+）•（﹣）=﹣=sin2（x+φ）+4﹣1﹣cos2（x+φ）=3﹣cos2（x+φ），
∴T==π，
故选：C．
　
5．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）
A．﹣1或1 B．或 C． D．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得： =2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．
【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1=a+=a+=a+1+i对应的点位于第二象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．
命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，∴=2，解得a=±．
若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．
故选：D．
　
6．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（﹣α）=（　　）
A．﹣ B．﹣7 C． D．7
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（﹣α）的值．
【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（，π），∴sinα==，∴tanα==﹣，
则tan（﹣α）==﹣7，
故选：B．
　
7．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出所取的3个球中有2个红球的概率，再用1减去它，即得所取的3个球中至多有1个红球的概率．
【解答】解：由题意可得所有的取法共有C53=10种，
而所取的3个球中有2个红球的种数为C31C22=3种，
∴故则所取的3个球中至多有1个红球的概率是1﹣=
故选：C
　
8．已知直线l：x﹣y=1与圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆Γ上运动，且位于直线l的两侧，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．
【解答】解：把圆Γ：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0化为标准方程：（x﹣1）2+（y+1）2=3，圆心（1，﹣1），半径r=．
直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d==，
由勾股定理的半弦长==，所以弦长|AB|=2×=．
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，
四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，
当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），
两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=×|AB|×|CE|+×|AB|×|DE|===．
故选：A．

　
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S=63，则输入a的值可以是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．
【解答】解：当m=1，n=0，S=﹣1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=1，s=0，m=3；
当m=3，n=1，S=0时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=2，s=3，m=5；
当n=2，s=3，m=5时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=3，s=8，m=7；
当n=3，s=8，m=7时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=4，s=15，m=9；
当n=4，s=15，m=9时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=5，s=24，m=11；
当n=5，s=24，m=11时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=6，s=35，m=13；
当n=6，s=35，m=13时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=7，s=48，m=15；
当n=7，s=48，m=15时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，n=8，s=63，m=17；
若输出的S=63，则n≤7，故a=7，
故选：B．
　
10．已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意可得曲线和直线均过原点，判断f（x）为奇函数且在R上递增，当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），求得切线的斜率为2，讨论k的变化，即可得到符合题意的k的最大值．
【解答】解：由曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx均过原点（0，0），
由f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
且f′（x）=ex+e﹣x＞0，f（x）在R上递增，
由题意可得f（x）与直线y=kx有且仅有交点为（0，0），
当直线y=kx与曲线相切，切点为（0，0），
切线的斜率为k=e0+e0=2，
当k＜0时，显然只有一个交点（0，0），
当0≤k≤2时，显然只有一个交点（0，0），
当k＞2时，有3个交点．
则符合条件的k的最大值为2．
故选：D．

　
11．已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（　　）
A． B．64π C．100π D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为+3=R，由勾股定理可得R2=32+2x2，由此求出R，即可求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，AB=2x，则球心到平面A1B1C1D1的距离为3
S到平面ABCD的距离为+3=R，
由勾股定理可得R2=32+2x2，
∴R=5，x=2
∴球的表面积为4πR2=100π．
故选：C．

　
12．已知函数f（x）=，若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|=（　　）
A．3﹣ln2 B．3ln2 C．2 D．3
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】换底公式得到，然后令f（x）=0，从而得出，，然后画出直线y=x﹣3，y=x，y=x+3以及函数和的图象，由图象可看出|x1﹣x2|为A，B两点距离的一半，从而求出|x1﹣x2|的值．
【解答】解：；

∴令f（x）=0得：
；
∴直线y=x﹣3和曲线的交点C横坐标为x1，直线y=x+3和曲线的交点D横坐标为x2；
如图，两曲线关于y=x对称，直线y=x﹣3和y=x+3关于y=x对称；
∴CD⊥AD，CD⊥CB；
∴．
故选：D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知实数x，y满足，则目标函数z=x+2y的取值范围是　[﹣1，3]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+2y为y=﹣x+，
由图可知，当直线y=﹣x+，
过O（0，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；
当直线y=﹣x+，
过A时，直线在y轴上的截距最大，
由，解得A（﹣1，2）z有最大值为3．
故答案为：[﹣1，3]．

　
14．若关于x的方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围是　[2，3]　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用数形结合，得到函数在区间上有解的两种情况，由判别式和对称轴以及两个端点处的函数值，得到未知量m的范围．
【解答】解：∵方程x2﹣mx+2=0在区间[1，2]上有解
∴函数f（x）=x2﹣mx+2在区间[1，2]上与x轴相交
①有1个交点时，满足
或
∴m=3或m=2
②有2个交点时，满足，
∴2＜m≤3．
综上所述，得m的取值范围是．
　
15．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线C的右支上存在一点P满足|PF1|=3|PF2|，且•=﹣a2，则双曲线C的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设|PF2|=t，则|PF1|=3t，利用双曲线的定义，可得t=a，利用余弦定理可得cos∠F1PF2，再利用数量积公式，即可求出双曲线C的离心率为．
【解答】解：设|PF2|=t，则|PF1|=3t，∴3t﹣t=2a，
∴t=a，
由余弦定理可得cos∠F1PF2==，
∵•=﹣a2，
∴3a•a•=﹣a2，
∴c=a，
∴e=．
故答案为：．
　
16．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B的值．
【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得： sin2A﹣cos2A=1，
∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得： sin（2A﹣）=1，
∴解得：sin（2A﹣）=，
∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），
∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），
∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），
∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，
∴解得：B=kπ+，k∈Z，
∵B∈（0，π），
∴B=．
故答案为：．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为S，且S3=42，16a2•a6=a3•a7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由已知列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列{an}的通项公式代入bn=，由Tn≥T1证明不等式左边，再由裂项相消法证明右边．
【解答】（1）解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由S3=42，16a2•a6=a3•a7，得
，解得．
∴；
（2）证明：bn=
===，
∵数列{}的各项均为正数，
∴Tn≥；
Tn=b1+b2+…+bn==．
∴≤Tn＜．
　
18．某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，如表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A户型
0.7
1.3
1.1
1.4
1.1
0.9
0.8
0.8
1.3
0.9
B户型
1.2
1.6
2.3
1.8
1.4
2.1
1.4
1.2
1.7
1.3
（Ⅰ）根据如表数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；
（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）．

【考点】茎叶图．
【分析】（Ⅰ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数．
（Ⅱ）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大，从而求出平均单价．
【解答】解：（Ⅰ）如图示：
…
A户型住宅每平方米销售价格的中位数为； …
B户型住宅每平方米销售价格的中位数为．…
（II）若选择A户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，
因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是； …
若选择B户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元，
因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率是，…
因为，所以选择A种户型抽签，能使购房成功的概率更大．…
此次购房每平方米的平均单价为万元． …
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是线段PC的中点， =．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求点F到平面ADE的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）证明：DC⊥面EFH，即可证明：EF⊥CD；
（Ⅱ）根据点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，即可求点F到平面ADE的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）在侧面PCD中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC中点，
∴DE=1，
过E作EH⊥DC于H，连结FH，
∵底面ABCD是正方形，，
即，
∴AFHD是矩形，
∴FH⊥DC，…
又EH⊥DC，EH∩FH=H，
∴DC⊥面EFH，…
又∵EF⊂面EFH，
∴DC⊥EF． …
解：（II）由（I）知，FH∥平面ADE，
∴点F到平面ADE的距离等于点H到平面ADE的距离，…
∵底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，
∴AD⊥侧面PDC，
即AD⊥侧面DEH，
∴AD⊥DE，
，
在三棱锥H﹣ADE中，设点H到平面ADE的距离为d，则，…
由于VH﹣ADE=VA﹣DEH，
∴=，
∴DH•EH•AD=AD•DE•d，
∴=2•1•d，…
∴，
即点F到平面ADE的距离为． …


　
20．已知两定点A（﹣1，0），B（1，0），动点M满足|AM|=4，线段MB的垂直平分线与线段AM相交于点N，设点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与曲线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ（其中O为坐标原点），试问：是否存在定圆x2+y2=r2（r＞0），使得该圆恒与直线l相切？说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（ II）当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），由于OP⊥OQ，可得，即x1x2+y1y2=0，直线方程与椭圆方程联立可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，由x1x2+y1y2=0，利用根与系数的关系可得：，代入△＞0成立，原点O到直线l的距离可得：d=，直线y=kx+m与圆相切． 当直线l垂直于x轴时也成立．
【解答】解：（Ⅰ）∵点N在线段MB的垂直平分线上，∴|NB|=|NM|，
∴|NA|+|NB|=|NA|+|NM|=|AM|=4＞|AB|，
∴点N的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．
设此椭圆方程为，则，解得，
∴曲线C的方程为．
（ II）当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵OP⊥OQ，∴，即x1x2+y1y2=0，
由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，…（*）
，．
则=，
解得，代入可知不等式（*）成立，
∴原点O到直线l的距离为，
∴直线y=kx+m与圆相切．
当直线l垂直于x轴时，不妨设点P在x轴上方，
根据椭圆的对称性，易得直线OP的方程为y=±x，
由，解得，
∴原点O到直线l距离为，因此直线l与圆相切．
综上所述：存在定圆，使得该圆恒与直线l相切．
　
21．已知函数f（x）=mlnx+（其中m为常数），且x=1是f（x）的极值点．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求证：f（x）＞4f′（x）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）设曲线y=f（x）在（，f（））处的切线为l，求出切线l的方程，可得l与坐标轴的交点，即可求l与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）证明（f（x））min=f极小值（x）=f（1）=1，（4f'（x））max=4f'（2）=1，故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）与4f'（x）不同时取得最值，即可证明：f（x）＞4f′（x）．
【解答】（Ⅰ）解：由已知可得，
则f'（1）=0⇒m=0或m=1，
而当m=0与条件不符（舍去），∴m=1． …
所以，，
从而，，
故切线l的方程为：，…
l与坐标轴的交点分别为，B（0，2e﹣2），
所以切线l与坐标轴所围成的三角形的面积为=． …
（Ⅱ）证明：对于，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x=1时，f'（x）=0，当x＞1时，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，
故（f（x））min=f极小值（x）=f（1）=1． …
又，令，
则，
从而，即（4f'（x））max=4f'（2）=1． …
故f（x）≥1≥4f'（x），但f（x）与4f'（x）不同时取得最值，
所以上式等号不同时成立，即f（x）＞4f'（x）成立． …
　
请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．
【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
【解答】解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
∴62=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16，
∴AD=12
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有或或，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．
【解答】解：（ I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，
上述不等式可化为或或
解得或或…
∴或或，
∴原不等式的解集为．…
（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含，
∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…
即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在上恒成立，
∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，
即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，
∴x﹣2≤a≤x+2在上恒成立，…
∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴，
所以实数a的取值范围是． …












































福建省高考数学模拟试卷二（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（　　）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{0，1} D．{﹣2，0，1，2}
2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（　　）
A．f（x+）是奇函数 B．f（x+）是偶函数
C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣）是偶函数
5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s甲，s乙，则（　　）

A．＜，s甲＞s乙 B．＜，s甲＜s乙 C．＞，s甲＞s乙 D．＞，s甲＜s乙
6．函数f（x）= 的零点个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（　　）
A．1 B． C． D．2
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=4，则数列{log2an}的前10项和等于（　　）
A．20 B．10 C．5 D．2+log25
9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（　　）

A．8 B．21 C．34 D．55
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．10 B．20 C．40 D．60
11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．5
12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（　　）
A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 B．g（x）在（1，+∞）上有最小值
C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 D．g（x）在（1，+∞）上为增函数
　
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=_______．
14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于_______．
15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为_______．
16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为_______
　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+Sn．






18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：
（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
_______
_______
_______
女性观众
_______
_______
_______
总计
_______
_______
60
（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．
附：
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．
























19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．


































20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．
（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．



















21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣a（x+1）的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．
　



















四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．
　
高考数学模拟试卷二（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（　　）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{0，1} D．{﹣2，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算即可．
【解答】解：集合A={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，
由集合B中的不等式x2﹣4＜0，
因式分解得：（x+2）（x﹣2）＜0，
解得：﹣2＜x＜2，
所以集合B=（﹣2，2）；
则集合A∩B={0，1}．
故选：C．
　
2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【分析】由题意可得 z=，再由|z|= 求出结果．
【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=1+i，
∴z=，
∴|z|===1，
故选B．
　
3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】分别化简命题p，q，￢p，即可判断出关系．
【解答】解：条件p：x≤0，可得：￢p：x＞0．
条件q：＞0，可得x＞0．
则￢p是q成立的充要条件．
故选：C．
　
4．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（　　）
A．f（x+）是奇函数 B．f（x+）是偶函数
C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣）是偶函数
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由f（）=fmin（x）可知直线x=是f（x）的一条对称轴．故将f（x）图象向左平移个单位后关于y轴对称．
【解答】解：∵f（x）在x=处取得最小值，
∴直线x=是f（x）的一条对称轴．
∴将f（x）的函数图象向左平移个单位后关于y轴对称，
∴f（x+）是偶函数．
故选B．
　
5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s甲，s乙，则（　　）

A．＜，s甲＞s乙 B．＜，s甲＜s乙
C．＞，s甲＞s乙 D．＞，s甲＜s乙
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据茎叶图，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中，甲的成绩比较整齐，结合方差的意义即可得出S甲，S乙的大小关系．
【解答】解：由茎叶图可知，分别为＜，且甲的极差大于乙的极差，
甲的数据波动比乙大，
所以s甲＞s乙，
故选：A．
　
6．函数f（x）= 的零点个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】按分段函数分类讨论，从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=2x﹣1+x，
易知f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且连续，
而f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=＞0；
故f（x）在（﹣∞，0]上有且只有一个零点；
当x＞0时，f（x）=﹣1+lnx=0，
则x=e；
综上所述，
函数f（x）= 有两个零点，
故选B．
　
7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件即可得出点M为边AB的中点，且BC⊥AC，从而有，再由AC=2，进行向量数量积的运算即可求出的值．
【解答】解：∵，∴M为边AB的中点，如图所示：
∴；
∵∠ACB=90°；
∴BC⊥AC；
∴；
∴=
=
=2+0
=2．
故选：D．

　
8．在各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6=4，则数列{log2an}的前10项和等于（　　）
A．20 B．10 C．5 D．2+log25
【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．
【分析】由等比数列{an}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：由等比数列{an}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，
则数列{log2an}的前10项和=log2（a1a2…a10）===10，
故选：B．
　
9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（　　）

A．8 B．21 C．34 D．55
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n=4，s=1，t=1，i=1
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4
不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．
故选：B．
　
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．10 B．20 C．40 D．60
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，

故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，
故选：B
　
11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．5
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，
过左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|，
可得△AOF为等腰三角形，
即有F关于渐近线的对称点为A（m，n），
即有=﹣，
且•n=•，
解得m=，n=﹣，
将A（，﹣），即（，﹣），
代入双曲线的方程可得﹣=1，
化简可得﹣4=1，即有e2=5，
解得e=．
故选：C．
　
12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（　　）
A．g（x）在（1，+∞）上有最大值 B．g（x）在（1，+∞）上有最小值
C．g（x）在（1，+∞）上为减函数 D．g（x）在（1，+∞）上为增函数
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）=x2﹣2ax+a．对称轴为：x=a，
导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，
令x2﹣2ax+a=0，可得方程在（﹣∞，1）有两个根，可得，解得：a＜0
函数g（x）==x+﹣2a．
g′（x）=1﹣，
x∈（1，+∞），，
1﹣，∴g′（x）＞0，
g（x）在在（1，+∞）上为增函数．
故选：D．
　
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程，列出方程求解即可．
【解答】解：抛物线y2=mx的准线方程为：x=﹣，
∵点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，
∴﹣m2=，
解得m=．
故答案为：．
　
14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于﹣1．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣1，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=﹣2+1=﹣1．即z=2x﹣y的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．

　
15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为9π．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为2，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．
【解答】解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，
∴两个正四棱锥的高的比也为．
设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R
则X+2X=3X=2R
即R=
球心到那个公共底面距离是，
又∵底面边长为2
∴R2=（）2=（）2+（）2，
解得X=1
∴R=
该球的表面积S=4πR2=9π
故答案为：9π．
　
16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为2＜l≤2+
【考点】正弦定理的应用．
【分析】由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=2sinA+，结合正弦函数的性质可求．
【解答】解：∵AD=AB，B=60°，
∴A＞60°．
∵B=，AC=，
∴A+C=120°即A=120°﹣C
由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA
∴CD=2sinA﹣2sinC
周长l=AD+AC+DC=2sinA+，
∵60°＜A＜120°
∴＜sinA≤1
∴2＜l≤2+．
故答案为：2＜l≤2+．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+Sn．
【考点】数列的求和．
【分析】（I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；
（II）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．
【解答】证明：（Ⅰ）∵Sn2﹣anSn+an=0（n≥2）．
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，
可得：﹣（Sn﹣Sn﹣1）Sn+Sn﹣Sn﹣1=0，
化为：Sn﹣1Sn+Sn﹣Sn﹣1=0，
∴﹣=1， =2．
∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： =2+（n﹣1）=n+1，
∴Sn=．
∴=．
∴S1+S2+S3+…+Sn=++…+
=1﹣
=．
　
18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：
（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．
附：
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．

【考点】独立性检验；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）由题意和条形图易得列联表，计算可得则K2的观测值k≈5.934＞3.841，可得有关；
（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为1，记为1，列举可得总的方法种数，找出符合题意的方法种数，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：

喜欢节目A
不喜欢节目A
总计
男性观众
24
6
30
女性观众
15
15
30
总计
39
21
60
计算可得则K2的观测值k==≈5.934＞3.841
∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关；
（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为24×=4，
记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为6×=1，记为1．
则从5名中任选2人的所有可能的结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）
（b，c）（b，d）（b，1）（c，d）（c，1）（d，1）共有10种．
其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有：（a，1）（b，1）（c，1）（d，1）共4种．
∴所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是： =
　
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥AB；
（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．

【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，推出CE∥DF，利用AB⊥平面PAD，证明CE⊥AB．
（Ⅱ）设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，证明△ADP为正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=，证明AO⊥平面PCD．然后求出三棱锥A﹣PCD的高．
【解答】（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．
因为点E是PB中点，
所以EF∥AB且EF=．
又因为AB∥CD且CD=，
所以EF∥CD且EF=CD，
所以四边形EFDC为平行四边形，
所以CE∥DF，
因为AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，
所以AB⊥DF．
所以CE⊥AB．
（Ⅱ）解：设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，
因为BC=，AB=4，
由（Ⅰ）知，DF=，
又因为AB=4，所以PD=AD=2，
所以AP=2AF=2=2=2，
所以△ADP为正三角形，
所以AD⊥PD，且AD=．
因为AB⊥平面PAD，AB∥CD，
所以CD⊥平面PAD．
因为AD⊂平面PAD，
所以CD⊥AO，
又因为PD∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．
所以三棱锥A﹣PCD的高为．
　
20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；点与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题意可知，2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，写出椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2，并代入直线方程求得y1•y2，表示出和，利用向量数量积的坐标表示求得•＞0，因此点A在⊙M外．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，2c=2，2a=4，即c=，a=，
∴b2=a2﹣c2=1，
所以E的方程为．
（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，
所以，△=（﹣8k2）2﹣4（1+4k2）（4k2﹣4）=48k2+16＞0，
所以x1+x2=，x1•x2=．
因为=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），
所以•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1•y2，
=（1+k2）x1•x2﹣（2+k2）（x1+x2）+4+k2，
=﹣+4+k2，
=．
因为k≠0，
所以•＞0．
∴cos∠PAQ＞0，
∴∠PAQ为锐角，
所以点A在⊙M外．
　
21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣a（x+1）的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）构造g（x）=f（x）﹣mx2，求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣a，依题意，设切点为（b，0），
则即，
解得
所以f′（x）=ex﹣1，
所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
所以，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣mx2，
则g′（x）=ex﹣2mx﹣1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex﹣2m，
（ⅰ）若m≤，
因为当x＞0时，ex＞1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上单调递增．
又因为g′（0）=0，所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，
从而g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx2成立．
（ⅱ）若m＞，
令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，
当x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上单调递减，
又因为g′（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（0，ln（2m））上单调递减，
而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m）），时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx2不成立．
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，]．
　
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．

【考点】圆周角定理；平行截割定理．
【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．
【解答】（本题满分为10分）．
解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，
则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因为AF平分∠BAC，
所以，
所以∠FBE=∠BAE，
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圆的切线…
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，
所以DF是圆O的直径，
因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．
因为AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以=，
所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，
因为∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，
所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；
（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，
即C1：x2+y2﹣4x=0，
将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，
所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，
所以C3的方程为x2+y2=1．
C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．
又|OA|=4cos=2，
所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．
【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到关于t的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，
或，
解得x＞2，
依题意m=2．
（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t|+，
当且仅当（x﹣t）（x+）≥0时取等号，
因为关于x的方程|x﹣t|+|x+|=2有实数根，
所以|t|+≤2，另一方面|t|+≥2，
所以|=|t|+=2，
所以t=1或t=﹣1．
　


















高考数学模拟试卷三（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．下列表示旅客搭乘动车的流程中，正确的是（　　）
A．买票→候车厅候车→上车→候车检票口检票 B．候车厅候车→买票→上车→候车检票口检票
C．买票→候车厅候车→候车检票口检票→上车 D．候车厅候车→上车→候车检票口检票→买票
2．复数1﹣i在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（　　）
A．r越大，两变量的线性相关性越强 B．R2越大，两变量的线性相关性越强
C．r的取值范围为（﹣∞，+∞） D．R2的取值范围为[0，+∞）
4．若，则=（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
5．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（　　）

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
7．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x1，x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）成立．则f（x）可能为（　　）
A． B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x
8．复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2+3i、3+2i、﹣2﹣3i，则D点对应的复数是（　　）
A．﹣2+3i B．﹣3﹣2i C．2﹣3i D．3﹣2i
9．下表给出的是两个具有线性相关关系的变量x，y的一组样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a﹣5.4
﹣0.5
0.5
b﹣0.6
得到的回归方程为y=bx+a．若已知上述样本数据的中心为（5，0.9），则当x每增加1个单位时，y就（　　）
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
10．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（　　）

A．6 B．21 C．156 D．231
11．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）
①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”
类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b=c+d⇐a=c，b=d”；
其中类比结论正确的情况是（　　）
A．①②全错 B．①对②错 C．①错②对 D．①②全对
12．如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．若，则P，Q中较大的数是　　．
14．若复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则z的虚部是　　．
15．已知命题P：若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积．试根据命题P的启发，仿P写出关于四面体的一个命题Q：　　．
16．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为　　．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）实数m取什么数值时，复数z=（m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i分别是：
（Ⅰ）实数？（Ⅱ）虚数？（Ⅲ）纯虚数？




18．（12分）用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B是锐角．









19．（12分）2017年4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如表：

混凝土耐久性达标
混凝土耐久性不达标
总计
使用淡化海砂
25
t
30
使用未经淡化海砂
s


总计
40

60
（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值；
（Ⅱ）利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
参考数据：
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式：，其中n=a+b+c+d．





20．（12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．































21．（12分）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
（参考公式：，．）














22．（12分）已知数列{an}满足a1=a，．
（Ⅰ）请写出a2，a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，不必证明；
（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{an}的前120项和．
　






















高考数学模拟试卷三（文科）解析　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1．下列表示旅客搭乘动车的流程中，正确的是（　　）
A．买票→候车厅候车→上车→候车检票口检票
B．候车厅候车→买票→上车→候车检票口检票
C．买票→候车厅候车→候车检票口检票→上车
D．候车厅候车→上车→候车检票口检票→买票
【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．
【分析】旅客搭乘动车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．
【解答】解：旅客搭乘动车，应买票→候车→检票→上车，故选C．
【点评】本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．　
2．复数1﹣i在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】先求出复数1﹣i的在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），得到复数1﹣i的在复平面内对应的点位于第四象限．
【解答】解：复数1﹣i的在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），
因为﹣1＜0，1＞0，
所以（1，﹣1）在第四象限，
所以复数1﹣i的在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查复数z=a+bi（a，b∈R）与复平面的点（a，b）一一对应，属于基础题．　
3．关于衡量两个变量y与x之间线性相关关系的相关系数r与相关指数R2中，下列说法中正确的是（　　）
A．r越大，两变量的线性相关性越强
B．R2越大，两变量的线性相关性越强
C．r的取值范围为（﹣∞，+∞）
D．R2的取值范围为[0，+∞）
【考点】BS：相关系数．
【分析】根据题意，由两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个选项：
对于A、相关系数的绝对值|r|越大，越具有强大相关性，故A错误；
对于B、个变量y与x之间的R2越大，两变量的线性相关性越强，B正确；
对于C、r的取值范围为（﹣1，1），故C错误；
对于D、R2的取值范围为[0，1]，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查两个变量的相关系数r与相关指数R2的意义，注意区分相关系数r与相关指数R2的不同．　
4．若，则=（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
【考点】A8：复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解： ===i，
则=1．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
5．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
【考点】F5：演绎推理的意义．
【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．
【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；
小前提是：已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α；
结论是：a∥b；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选：A．
【点评】本题通过演绎推理的三段论叙述，考查了空间中线面垂直的性质定理的应用问题，是基础题．
6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（　　）

A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
【考点】BB：众数、中位数、平均数．
【分析】根据散点图中的点的分布，可以判断两个变化是否具有相关关系，根据点的单调性可以判断是正相关还是负相关，以及中位数．
【解答】解：由散点图可知点的分布都集中在一条直线附近，所以由此可以判断两个变量具有相关关系，而且是正相关，
再由散点图中点的个数得到中位数为最中间两数的平均数，则且脂肪含量的中位数小于20%，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用散点图的判断变量相关关系已经线性相关性，比较基础．　
7．若函数f（x）满足f（4）=2，且对于任意正数x1，x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）成立．则f（x）可能为（　　）
A． B． C．f（x）=log2x D．f（x）=2x
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】对A、B、C、D中的四种基本初等函数的运算性质逐一分析即可得到答案．
【解答】解：对于A，∵，∴f（x1•x2）=≠+，故A错误；
对于B，，同理可得f（x1•x2）≠f（x1）+f（x2），故B错误；
对于C，∵f（x）=log2x，∴f（x1•x2）=log2（x1•x2）=log2（x1）+log2（x2）=f（x1）+f（x2）成立．故C正确；
对于D，∵f（x）=2x，∴f（4）=24=16≠2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查基本初等函数的运算性质，属于中档题．
　
8．复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2+3i、3+2i、﹣2﹣3i，则D点对应的复数是（　　）
A．﹣2+3i B．﹣3﹣2i C．2﹣3i D．3﹣2i
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】根据复数的几何意义以及矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：根据复数的几何意义可得A（2，3），B（3，2），C（﹣2，﹣3），
设D（x，y），，
即（x﹣2，y﹣3）=（﹣5，﹣5），
则，解得x=﹣3，y=﹣2，
即D点对应的复数是﹣3﹣2i，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用矩形的对边平行且相等是解决本题的关键．　
9．下表给出的是两个具有线性相关关系的变量x，y的一组样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a﹣5.4
﹣0.5
0.5
b﹣0.6
得到的回归方程为y=bx+a．若已知上述样本数据的中心为（5，0.9），则当x每增加1个单位时，y就（　　）
A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】求出a，b的关系，将样本数据的中心代入回归方程求出a，b的值，从而求出回归方程，求出答案即可．
【解答】解： =（4+a﹣5.4﹣0.5+0.5+b﹣0.6）=（a+b﹣2）=0.9，
故a+b﹣2=4.5，解得：a=6.5﹣b，
将（5，0.9）代入方程得：
0.9=5b+6.5﹣b，解得：b=﹣1.4，a=7.9，
故y=﹣1.4x+7.9，
故当x每增加1个单位时，y减少1.4个单位，
故选：B．
【点评】本题考查了求回归方程问题，考查样本数据的中心，是一道基础题．　
10．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（　　）

A．6 B．21 C．156 D．231
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．
【解答】解：∵x=3，
∴=6，
∵6＜100，
∴当x=6时， =21＜100，
∴当x=21时， =231＞100，停止循环
则最后输出的结果是 231，
故选D．
【点评】此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．　
11．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）
①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”
②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c，b=d”
类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b=c+d⇐a=c，b=d”；
其中类比结论正确的情况是（　　）
A．①②全错 B．①对②错 C．①错②对 D．①②全对
【考点】F3：类比推理．
【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对2个结论逐一进行分析，不难解答．
【解答】解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；
②在有理数集Q中，若a+b=c+d，则（a﹣c）+（b﹣d）=0，易得：a=c，b=d．故②正确；
故选：D．
【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．　
12．如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】根据复数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，
∴z的几何意义是以A（0，3），B（0，﹣3）为端点的线段AB，
则|z+1+i|=|z﹣（﹣1﹣i）|的几何意义为AB上的点到C（﹣1，﹣1）的距离，
则由图象知C到线段AB的距离的最小值为1，
故选：A．

【点评】本题主要考查点到直线的距离的求解，根据复数的几何意义进行求解是解决本题的关键．　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．若，则P，Q中较大的数是　P＞Q　．
【考点】72：不等式比较大小．
【分析】作差利用幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：P﹣Q==＞0，
∴P＞Q．
故答案为：P＞Q．
【点评】本题考查了作差法、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　
14．若复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则z的虚部是　3　．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由i（z+1）=﹣3+2i，得
，
∴复数z的虚部是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．　
15．已知命题P：若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积．试根据命题P的启发，仿P写出关于四面体的一个命题Q：　若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积　．
【考点】F3：类比推理．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积．
故答案为若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
16．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为　10　．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．
【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，
91是从3开始的第45个奇数
当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个
当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．
故m=10．
故答案为：10
【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．　
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）（2017•泉州模拟）实数m取什么数值时，复数z=（m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i分别是：
（Ⅰ）实数？
（Ⅱ）虚数？
（Ⅲ）纯虚数？
【考点】A2：复数的基本概念．
【分析】（Ⅰ）直接由虚部为0求解一元二次不等式得m的值；
（Ⅱ）直接由虚部不为0求解一元二次不等式得m的值；
（Ⅲ）由实部为0且虚部不为0列式求解得答案．
【解答】解：（Ⅰ）当m2﹣5m﹣6=0，即m=6或m=﹣1时，复数z是实数；
（Ⅱ）当m2﹣5m﹣6≠0，即m≠6且m≠﹣1时，复数z是虚数；
（Ⅲ）当m﹣4=0，且m2﹣5m﹣6≠0，即m=4时，复数z是纯虚数．
【点评】本小题主要考查复数、虚数、纯虚数的概念等基础知识，考查解一元二次方程的运算求解能力，是基础题．　
18．（12分）（2017•泉州模拟）用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B是锐角．
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】利用反证法的证明步骤，即可证明．
【解答】证明：假设在△ABC中∠B不是锐角，…（3分）
则∠B是直角或钝角．…
因为在△ABC中，∠C是直角，所以∠B+∠C≥1800．…（8分）
由三角形内角和为1800，可知∠A≤00，…（10分）
这与在△ABC中∠A∈（00，1800）相矛盾，…（11分）
所以假设不成立，
故∠B不是锐角，即命题成立．…（12分）
【点评】本小题主要考查反证法、三角形内角和等基础知识，考查推理论证能力，考查分析问题、解决问题能力．　
19．（12分）（2017•泉州模拟）2017年4月14日，某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如表：

混凝土耐久性达标
混凝土耐久性不达标
总计
使用淡化海砂
25
t
30
使用未经淡化海砂
s


总计
40

60
（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值；
（Ⅱ）利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
参考数据：
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）根据列联表中数据的关系求出s，t的值即可；
（Ⅱ）通过计算k2的值，判断结论即可．
【解答】解：（Ⅰ） s=40﹣25=15，t=30﹣25=5．…（4分）
（Ⅱ）由已知数据可求得列联表的其它未知数据（如下表）：

混凝土耐久性达标
混凝土耐久性不达标
总计
使用淡化海砂
25
5
30
使用未经淡化海砂
15
15
30
总计
40
20
60
根据公式，得：，计算1分） …（8分）
因为7.5＞6.635，…（10分）
因此，通过查找临界值表，可知，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，
认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关． …（12分）
【点评】本小题主要考查列联表、卡方公式、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力和数据处理能力．
20．（12分）（2017•泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得证．
【解答】解：∵a，b，c全不相等，
∴全不相等
∴＞2，＞2，＞2
三式相加得，＞6
∴＞3
即＞3
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．　
21．（12分）（2017•泉州模拟）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；
（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
（参考公式：，．）

【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）根据所给数据，画出散点图即可；
（Ⅱ）根据散点图求出和规范性方程中的系数，从而求出回归方程即可；
（Ⅲ）解关于x的不等式，求出满足条件的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）所作散点图如图：

…（2）
（Ⅱ）根据散点图可判断y=ax+b适宜作为每小时生产有缺点的零件数y关于转速x的拟合模型．
…（3分）
相关数据处理如下表：
xi
16
14
12
8

yi
11
9
8
5


256
196
144
64

xiyi
176
126
96
40

…（6分）
所以
=0.73．…（8分）
此时， =8.25﹣0.73×12.5=﹣0.875．…（9分）
于是得到y关于x的回归方程为：．…（10分）
（Ⅲ）由题意可得：，解得x≤14.9，
所以机器的运转速度不能超过14.9转/秒．…（12分）
【点评】本小题主要考查散点图、线性与非线回归方程判定、线性回归方程等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力与应用意识，考查化归与转化思想、数形结合思想等．　
22．（12分）（2017•泉州模拟）已知数列{an}满足a1=a，．
（Ⅰ）请写出a2，a3，a4，a5的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，不必证明；
（Ⅲ）请利用（Ⅱ）中猜想的结论，求数列{an}的前120项和．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（Ⅰ）利用递推关系可求得a2，a3，a4，a5．
（Ⅱ）an=（其中k∈N*）．
（Ⅲ）由（II）利用分组求和方法即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）可求得a2=a+2，a3=﹣a+2，a4=﹣a+8，a5=a．
（Ⅱ）an=（其中k∈N*）．
（Ⅲ）s120=30a+（30a+2+10+…+234）+（﹣30a+2×30）+（﹣30a+8+16+…+240）…（10分）
=（2+10+…+234）+（2×30）+（8+16+…+240）
=+60+=10860．
【点评】本小题主要考查不完全周期数列的通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，属于中档题．























高考数学模拟试卷四（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|x2≤1}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，0，1} B．{0，1} C．{﹣2，0} D．∅
2．设数列{an}满足，i是虚数单位，n∈N*，则数列{an}的前2015项和为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．设向量=（2，﹣4），=（6，x），若||=||，则x=（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
4．一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为2、圆心角为的扇形．该几何体的表面积是（　　）

A．3π+12 B．5π C．5π+12 D．8π+12
5．实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）

A．9 B．121 C．130 D．17021
7．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx，ω＞0是常数，x∈R，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则下列说法正确的是（　　）
A．ω=1 B．曲线y=f（x）关于点（π，0）对称
C．曲线y=f（x）与直线对称 D．函数f（x）在区间单调递增
8．若a，b都是不等于1的正数，则“loga2＞logb2”是“2a＞2b”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
9．已知（a＞0，b＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，则有（　　）
A．最小值9 B．最大值9 C．最小值4 D．最大值4
10．已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长PF交抛物线于点Q，若|PF|=5，则|QF|=（　　）
A． B． C． D．2
11．某商店经营一批进价为每千克3.5元的商品，调查发现，此商品的销售单价x（元/千克）与日销量y（千克）之间有如下关系：
x
5
6
7
8
y
20
17
15
12
若x与y具有线性相关关系y=x+，且=﹣2.6为使日销售利润最大，则销售单价应定为（结果保留一位小数）（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8.1 D．8.4
12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，满足f（x+3）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且前n项和Sn满足，则f（a5）+f（a6）=（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率P=_______．
14．若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：相切，且圆C的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为_______．
15．已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=1，PB=AC=2，则球O的表面积S=_______．
16．若数列{an}满足a1=1，且（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn=_______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量与共线．
（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求a的大小．

















18．环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质，检测单位体积河水中重金属含量x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量x
的关系式为，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过500元的概率．











19．如图，在直三棱柱ABA1﹣DCD1中，，DD1=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．（Ⅰ）证明：AF⊥ED1；（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离．











20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）若直线l经过M（0，1），与Σ交于A、B两点，，求l的方程．






















21．已知函数f（x）=（x2+2ax）e﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）当时，试证明f′（x）≤1；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，3）上的单调性．
　

















请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的直角坐标．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（Ⅰ）解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
　
高考数学模拟试卷四（文科）解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M={x|x2≤1}，N={﹣2，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，0，1} B．{0，1} C．{﹣2，0} D．∅
【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．
【解答】解：由M中不等式x2≤1，解得：﹣1≤x≤1，即M={x|﹣1≤x≤1}，
∵N={﹣2，0，1}，
∴M∩N={0，1}，
故选：B．
　
2．设数列{an}满足，i是虚数单位，n∈N*，则数列{an}的前2015项和为（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数的周期性、运算法则即可得出．
【解答】解：，i是虚数单位，n∈N*，
∴a1=i，a2=﹣1，a3=﹣i，a4=1，
2015÷4=503×4+3，
∴数列{an}的前2015项和为i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1，
故选：D．
　
3．设向量=（2，﹣4），=（6，x），若||=||，则x=（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】对||=||两边平方，得出，列出方程解出x．
【解答】解：∵||=||，
∴=，
∴，
∴12﹣4x=0，解得x=3．
故选：A．
　
4．一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为2、圆心角为的扇形．该几何体的表面积是（　　）

A．3π+12 B．5π C．5π+12 D．8π+12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是四分之一圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆的面积公式、圆柱的侧面积公式求出该几何体的表面积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是四分之一圆柱，
且底面圆的半径是2，母线长为3，
∴该几何体的表面积S=
=5π+12，
故选：C．
　
5．实数x，y满足，则|x|+|y|的最大值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=|x|+|y|，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：设z=|x|+|y|，即|y|=﹣|x|+z，
即y=﹣|x|+z或y=|x|﹣z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移y=﹣|x|+z，当曲线y=﹣|x|+z经过点A时，y=﹣|x|+z对应的截距最大，此时z最大，
由，得，即A（﹣2，8），此时z=|﹣2|+|8|=2+8=10，
平移y=|x|﹣z，当曲线y=|x|﹣z经过点C时，y=|x|﹣z对应的截距最小，此时z最大，
由，得，即C（4，2），此时z=|4|+|2|=2+4=6，
综上|x|+|y|的最大值为10，
故选：C．

　
6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（　　）

A．9 B．121 C．130 D．17021
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=1，b=2，c=3
满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11
满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130
满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021
不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．
故选：B．
　
7．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx，ω＞0是常数，x∈R，且图象上相邻两个最高点的距离为π，则下列说法正确的是（　　）
A．ω=1 B．曲线y=f（x）关于点（π，0）对称
C．曲线y=f（x）与直线对称 D．函数f（x）在区间单调递增
【考点】正弦函数的图象．
【分析】化简可得f（x）=sin（ωx﹣），分别由三角函数的周期性、对称性和单调性，逐个选项验证可得．
【解答】解：化简可得f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），
∵函数f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴周期T==π，解得ω=2，故A错误；
函数解析式为f（x）=sin（2x﹣），
显然图象不过（π，0），故B错误；
当x=时，函数值取不到±，故C错误；
解2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+可得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，
故函数的一个单调递增区间为（﹣，），故D正确．
故选：D．
　
8．若a，b都是不等于1的正数，则“loga2＞logb2”是“2a＞2b”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由loga2＜logb2和2a＞2b分别求出a，b的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案．
【解答】解：由loga2＞logb2，得＜，
∴＜，
得0＜a＜b＜1或0＜b＜1＜a或b＞a＞1，
由2a＞2b，得a＞b，
∴loga2＞logb2”是“2a＞2b”的非必要非充分条件．
故选：D．
　
9．已知（a＞0，b＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，则有（　　）
A．最小值9 B．最大值9 C．最小值4 D．最大值4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简可得4a+b=1，由=（4a+b）（），化简整理，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：（a＞0，b＞0）的导数为f′（x）=2ax﹣，
可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a﹣b，
切点为（1，a+b），
可得2a﹣b=，
化为4a+b=1，
则有=（4a+b）（）=5++≥5+2=9，
当且仅当b=2a=时，取得最小值9．
故选：A．
　
10．已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上一点，延长PF交抛物线于点Q，若|PF|=5，则|QF|=（　　）
A． B． C． D．2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的性质得出P点坐标（4，4），根据点共线得出Q点坐标，从而得出|QF|．
【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣1，交点F（1，0）．
设P（，a），∵|PF|=5，∴+1=5，解得a=4，即P（4，4）．
设Q（，b），∵P，F，Q三点共线，∴kPF=kQF．
即，解得b=﹣1．即Q（，﹣1）．
∴|QF|==．
故选：B．
　
11．某商店经营一批进价为每千克3.5元的商品，调查发现，此商品的销售单价x（元/千克）与日销量y（千克）之间有如下关系：
x
5
6
7
8
y
20
17
15
12
若x与y具有线性相关关系y=x+，且=﹣2.6为使日销售利润最大，则销售单价应定为（结果保留一位小数）（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8.1 D．8.4
【考点】线性回归方程．
【分析】利用、求出线性相关关系y=x+，写出日销售利润函数z，再根据二次函数的图象与性质求出x取何值时函数有最大值．
【解答】解：计算=（5+6+7+8）=6.5，
=（20+17+15+12）=16，
代人线性相关关系y=x+中，且=﹣2.6，
即16=﹣2.6×6.5+，
解得=32.9，
所以y=﹣2.6x+32.9，
则日销售利润z=y•（x﹣3.5）
=（﹣2.6x+32.9）（x﹣3.5）
=﹣2.6x2+42x﹣32.9×3.5，
所以当x=﹣≈8.1时，
即销售单价应定为8.1（元/千克）时，日销售利润最大．　
故选：C．
　
12．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，满足f（x+3）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且前n项和Sn满足，则f（a5）+f（a6）=（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．6
【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
【分析】可由得到Sn=2an+n，从而可得出an=2an﹣1﹣1，这样即可求出a5=﹣31，a6=﹣63，而由f（x+3）=f（x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）=f（2）+f（0），而由条件可以得出f（2）=3，f（0）=0，从而便可得出f（a5）+f（a6）的值．
【解答】解：由得，Sn=2an+n；
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣2an﹣1﹣n+1；
∴an=2an﹣1﹣1，又a1=﹣1；
∴a2=﹣3，a3=﹣7，a4=﹣15，a5=﹣31，a6=﹣63；
由f（x+3）=f（x）知，f（x）的周期为3，且f（﹣2）=﹣3，f（0）=0，f（x）为R上的奇函数；
∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f[2+3×（﹣11）]+f[0+3×（﹣21）]=f（2）+f（0）=3．
故选：A．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率P=．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】利用列举法求出基本事件总数和所组成的两位数是奇数，包含的基本事件个数，由此能求出所组成的两位数是奇数的概率．
【解答】解：从2，0，1，6四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，
基本事件有10，20，21，60，61，62，
所组成的两位数是奇数，包含的基本事件有21，61，
∴所组成的两位数是奇数的概率p==．
　
14．若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与圆C：相切，且圆C的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得圆C的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简可得a=b，由c=1，可得a，进而得到实轴长2a．
【解答】解：圆C：的圆心为（1，0），半径为r=，
双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
由直线和圆相切的条件：d=r，
可得=，
化简为a=b，
由题意可得c=1，
由c2=a2+b2，可得a=b=，
即有双曲线的实轴长为2a=．
故答案为：．
　
15．已知四面体P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=1，PB=AC=2，则球O的表面积S=9π．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据条件，根据四面体P﹣ABC构造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径．
【解答】解：∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=1，PB=AC=2，
∴构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的，
则长方体的体对角线等于球的直径2R，
则2R==3，
∴R=，
则球O的表面积为4πR2=4=9π，
故答案为：9π．

　
16．若数列{an}满足a1=1，且（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn=．
【考点】数列的求和．
【分析】由（n∈N*），利用累加法可得an==2（﹣），从而利用裂项求和法求和．
【解答】解：∵（n∈N*），
∴﹣=2，
﹣=3，
…，
﹣=n，
累加可得，
﹣=2+3+4+5+…+n，
∴=1+2+3+4+5+…+n=，
∴an==2（﹣），
∴Sn=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）
=2（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=2（1﹣）=，
故答案为：．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量与共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求a的大小．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（Ⅰ）由向量共线的坐标表示列式，结合正弦定理化为sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，进一步得到，由此求得角C的大小；
（Ⅱ）由，结合（Ⅰ）中求得的C的值可得B，得到△ABC是直角三角形，故，，代入即可求得a值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量与共线，
∴c•cosB=（2a﹣b）•cosC，
由正弦定理得，sinCcosB=（2sinA﹣sinB）•cosC，
即sin（B+C）=sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
又B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA，
得，又0＜C＜π，则；
（Ⅱ）由，得cos2B+cos2C=1，
∵，∴，
则或，
又，则，
∴△ABC是直角三角形，故，，
由，得（2a﹣b）2+c2=4，
代入得，，解得．
　
18．环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质，检测单位体积河水中重金属含量x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量x
的关系式为，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过500元的概率．

【考点】频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图求出a，
（Ⅱ）由题意可得4x﹣400≤500，或5x﹣600≤500，即可求出
【解答】解：（Ⅰ）依题意，a×50+2×0.004×50+0.005×50+0.006×50=1，
解得a=0.001，
（Ⅱ）解4x﹣400≤500，得x≤225，
解5x﹣600≤500，得x≤220，
所求概率为2×0.004×50+0.005×50+0.006×50+0.001×=0.97．
　
19．如图，在直三棱柱ABA1﹣DCD1中，，DD1=DA=DC=a，点E、F分别是BC、DC的中点．
（Ⅰ）证明：AF⊥ED1；
（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离．

【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】法一：（I）由已知得，DD1⊥DC．利用线面垂直的判定定理可得DD1⊥平面ABCD．于是DD1⊥AF．由已知可得△ADF≌△CDE，得到AF⊥DE．即可证明AF⊥平面D1DE，AF⊥ED1．
（Ⅱ）设三棱锥D1﹣AEF的体积为V，点E到平面AFD1的距离为h，利用=即可得出．
法二：（I）由已知得，可得DD1⊥DC．如图所示，建立空间直角坐标系．计算•=0，即可证明⊥．
（II）设平面AD1F的法向量为=（x，y，z），可得，解得，可得点E到平面AFD1的距离d=．
【解答】法一：（I）证明：由已知得，DD1⊥DC．
连接DE，由已知得AD⊥DD1，又DD1⊥DC，AD∩DC=D，∴DD1⊥平面ABCD．
又AF⊂平面ABCD，∴DD1⊥AF．
DA=DC=a，，∠ADF=∠DCE=90°，△ADF≌△CDE，∠DAF=∠CDE，AF⊥DE．
又DD1∩DE=D，∴AF⊥平面D1DE，AF⊥ED1．
（Ⅱ）设三棱锥D1﹣AEF的体积为V，点E到平面AFD1的距离为h，，
，，
过F作FG⊥AD1于G，则，△AD1F的面积，
∴，解得．）
法二：（I）证明：由已知得，∴DD1⊥DC．
如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），E（，a，0），F（0，，0），
D1（0，0，a）．
=， =．
∵•=﹣++0=0，∴⊥．
∴AF⊥ED1．
（II）解： =（﹣a，0，a），=．
设平面AD1F的法向量为=（x，y，z），则，∴，
取=（1，2，1），
∴点E到平面AFD1的距离d===．


　
20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）若直线l经过M（0，1），与Σ交于A、B两点，，求l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=6，即a=3，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论若l与x轴垂直，求出A，B的坐标，检验不成立；若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得k的方程，解得k，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=+=6，
即有a=3，则b2=a2﹣c2=5，
则椭圆Σ的方程为；
（Ⅱ）若l与x轴垂直，则l的方程为x=0，
A、B为椭圆短轴上两点，不符合题意；
若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，
由得，（9k2+5）x2+18kx﹣36=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
由得，，
即有，代入韦达定理，可得
，，即有，
解得，直线l的方程为．
　
21．已知函数f（x）=（x2+2ax）e﹣x（a∈R）．
（Ⅰ）当时，试证明f′（x）≤1；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（1，3）上的单调性．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】（Ⅰ）求导，根据导数和函数的最值得关系即可判断；
（Ⅱ）先求导，再求f′（x）=0的值，分类讨论即可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ），f′（x）=（﹣x2+x+1）e﹣x…
设g（x）=f′（x），则g′（x）=（x2﹣3x）e﹣x…
解g′（x）=（x2﹣3x）e﹣x=0得，x=0或x=3…
x
（﹣∞，0）
0
（0，3）
3
（3，+∞）
g′（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
g（0）=1，g（3）=﹣5e﹣3，且x→+∞时，g（x）=（﹣x2+x+1）e﹣x→0，
所以g（x）的最大值为g（0）=1，
g（x）=f′（x）≤1…
（Ⅱ）f′（x）=﹣[x2+2（a﹣1）x﹣2a]e﹣x…
解f′（x）=0得，或…
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
…
∵f′（1）=e﹣1＞0（即1∈（x1，x2）），解得…
当时，，f（x）在区间（1，3）上的单调递增…
当时，，f（x）在区间上的单调递增，在区间上的单调减…
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AC平分∠DAB；
（Ⅱ）若AB=9，AC=6，求CD．

【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接BC，利用弦切角定理得出△ADC∽△ACB，故而∠BAC=∠DAC；
（2）根据相似三角形列出比例式计算AD，从而得出CD．
【解答】证明：（Ⅰ）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，则∠ACB=∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CBA．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB．
（Ⅱ）∵△ADC∽△ACB，∴，
∴，解得AD=4，∴．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．对于曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），由x=sinα+cosα得，x2=1+sin2α，代入可得普通方程．又，可得．
（II）联立，．解出即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ=2，可得直角坐标方程：y﹣x=2．
对于曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，2π）），
由x=sinα+cosα得，x2=1+sin2α，∴x2=y．
又，
∴，与参数方程等价的普通方程是x2=y，．
（II）联立，．解得，
因此交点为（﹣1，1）．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（Ⅰ）解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何运用解不等式|3﹣2x|＞5；
（Ⅱ）问题转化为（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由|3﹣2x|＞5得|2x﹣3|＞5，
所以2x﹣3＞5或2x﹣3＜﹣5…
解得x＞4或x＜﹣1…，
原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}…
（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2…
∴（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，
a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立…
a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3…
a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1…
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）…
　



























































高考数学模拟试卷五（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}
2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（　　）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（　　）
A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1
4．已知等差数列{an}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（　　）
A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20
5．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（　）

A． B． C． D．
6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．3
7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣5 B． C．0 D．2
8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）

A．﹣2 B． C．﹣1 D．2
9．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（　　）
A． B． C． D．
10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（　　）
A．4 B．2 C． D．
11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C．±1 D．
12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为_______．
14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于_______．
15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是_______．
16．数列{an}满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列的前10项和为_______．
三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．
（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．



18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
居民生活用水量（万吨）
236
246
257
276
286
（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．
参考公式：．



















19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．



20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF与△OBC的面积相等，求直线l的方程．


























21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
　













四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．
（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．

　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C1和C2的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．
（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．
　
高考数学模拟试卷五（文科）试题解析　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，
∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B={0，1，2}，
故选：D．
　
2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（　　）
A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：zi=i﹣1，∴﹣izi=﹣i（i﹣1），化为：z=1+i，
则复数z在复平面上所对应的点（1，1）位于第一象限．
故选：C．
　
3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（　　）
A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：
∀x＞0，sinx≤1，
故选：D．
　
4．已知等差数列{an}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（　　）
A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出2a7﹣a8的值．
【解答】解：∵等差数列{an}中，
a3+3a6+a9=120，
∴5（a1+5d）=120，
∴a1+5d=24，
∴2a7﹣a8=a1+5d=24．
故选：A．
　
5．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（　　）

A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据函数f（x）的部分图象知f（0）=，分别验证A、B、C、D选项是否满足条件即可．
【解答】解：根据函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象知，
f（0）=，
对于A，cos（π+）=cos=cos=，满足题意；
对于B，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；
对于C，cos（π+）=cos2π=1，不满足题意；
对于D，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；
故选：A．
　
6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C． D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2a，由a，b，c的关系和点到直线的距离公式，可得c=a，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（c，0），渐近线方程为y=x，
由题意可得d==b=2a，
可得c==a，
即有离心率e==．
故选：C．
　
7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（　　）
A．﹣5 B． C．0 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，
由，解得，即A（3，4）．
代入目标函数z=x﹣2y，
得z=3﹣8=﹣5，
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．
故选：A．

　
8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）

A．﹣2 B． C．﹣1 D．2
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
i=0，A=2
执行循环体，i=1，A=，
不满足条件i＞2016，执行循环体，i=2，A=﹣1；
不满足条件i＞2016，执行循环体，i=3，A=2；
不满足条件i＞2016，执行循环体，i=4，A=，
…
循环下去，而20116=3×672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=．
故选：B．
　
9．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用两点的斜率公式，解方程，即可得到b的值．
【解答】解：函数g（x）=x3++3lnx+b的导数为g′（x）=3x2+5x+，
可得g（x）在x=1处的切线斜率为k=11，切点为（1， +b），
由两点的斜率公式可得11=，
解得b=．
故选：B．
　
10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、线面的位置关系，由线面垂直的定义判断几何体四个面中的直角三角形，由勾股定理和三角形面积公式求出直角三角形的面积和．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，
底面是的等腰三角形，底BC=2，BC边上的高为2，
∵PB⊥平面ABC，
∴PB⊥BC、PB⊥AB，即△PBC、△PAB是直角三角形，
∵AB=，
∴直角三角形的面积和S==2+
故选：D．

　
11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（　　）
A． B． C．±1 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立化为：x2﹣x+=0，利用根与系数的关系及其抛物线的定义可得：|AB|=x1+x2+p=2p+．利用|AB|=2|CD|，即可得出．
【解答】解：由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．
设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：x2﹣x+=0，
∴x1+x2=p+．
∴|AB|=x1+x2+p=2p+．
由|AB|=2|CD|，∴2p+=4p．，可得k2=1，解得k=±1．
故选：C．
　
12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【分析】由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围．
【解答】解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．
∴函数f（x）的周期是4，
∵在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，
即函数f（x）与函数h（x）=mx﹣m在区间[﹣5，3]上有三个不同的交点，
在同一直角坐标系上画出两个函数的图象：

得到≤m＜
即﹣≤m＜﹣，
故选B．
　
二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为　　．
【考点】几何概型．
【分析】设AC=x，根据圆的面积小于π，得到0＜x＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：设AC=x，
若以线段AC为半径的圆面积小于π，
则πx2＜π，则0＜x＜1，
则对应的概率P=，
故答案为：．
　
14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于　5　．
【考点】向量的模；向量的加法及其几何意义．
【分析】根据向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3）三个条件得到的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题．
【解答】解：∵向量=（x，y），=（﹣1，2 ），
∴=（x﹣1，y+2）
∵+=（1，3），
∴（x﹣1，y+2））=（1，3）
∴x﹣1=1，y+2=3，
∴x=2，y=1，
∴=（2，1）
∴||=，||=， =0，
∴|﹣2|===5，
故答案为：5
　
15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是　6　．
【考点】基本不等式．
【分析】求出xy的最大值，问题转化为m﹣2≤4，求出m的最大值即可．
【解答】解：由x＞0，y＞0，xy=x+y≥2，
得：xy≥4，
于是由m﹣2≤xy恒成立，
得：m﹣2≤4，
解得：m≤6，
故答案为：6．
　
16．数列{an}满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列的前10项和为　　．
【考点】数列的求和．
【分析】由a1=2，且an+1﹣an=2n，利用“累加求和”方法可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=2，且an+1﹣an=2n，
∴n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n，当n=1时也成立，
∴an=2n．
∴=．
∴数列的前10项和==．
故答案为：．
　
三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）由S△ABC=得出tanB=，故而B=；
（II）在△ABD中使用正弦定理求出AD，在△ACD中使用余弦定理计算AC．
【解答】解：（I）在△ABC中，∵S△ABC=，
∴tanB=．
∴B=．
（II）∵cos∠ADB=﹣，∴sin∠ADB=，cos∠ADC=．
在△ABD中，由正弦定理得，即，
解得AD=7．
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC=49+4﹣4=49，
∴AC=7．即b=7．
　
18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
居民生活用水量（万吨）
236
246
257
276
286
（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．
参考公式：．
【考点】线性回归方程．
【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（II）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值．
【解答】解：（I）=2013， ==260.2，
=（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．
=4+1+0+1+4=10．
∴b==13，
∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．
（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．
答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．
（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．
【解答】证明：（1）取AB中点E，
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形
∴CE⊥AB，PE⊥AB，
∵CE∩PE=E，
∴∵PC⊂平面PEC
∴AB⊥PC
解：（2）∵，
∴角形PEC为正三角形，
过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，
过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，
连AH，则∠DAH为所求角
，，．
20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF与△OBC的面积相等，求直线l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+，解得a，由b=，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+，
解得a=，b==1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），
联立，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8+8k2＞0成立，
x1+x2=，
由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|，
即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，
AB的中点的横坐标为，
CF的中点的横坐标为，
即有=，
解得k=±．
则所求直线的方程为y=±（x﹣1），即为x±y﹣1=0．
21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x）max＜g（x）max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1+=（x＞0），
①a≤0时，由于x＞0，故x﹣a＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减，
②a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，
在区间（0，a）上，f′（x）＞0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，
a＞0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；
（Ⅱ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，
g（x）max=2a，
由（Ⅰ）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，值域是R，不合题意，
a=0时，f（x）=﹣x＜0=g（x）max，符合题意，
a＞0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，
故f（x）的极大值即为最大值，
f（a）=﹣a+alna，故2a＞﹣a+alna，解得：0＜a＜e3．
综上，a的范围是[0，e3]．
四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．
（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．
【分析】（Ⅰ）连接BE，由切线的性质和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE，即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，结合条件可得CE=2，运用直角三角形的勾股定理可得OB=1，由勾股定理可得AD，再由切割线定理可得BD2=DE•DA，即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，由BC为圆O的切线，
可得∠ABC=90°，∠CBE=∠A，
由OA=OE，可得∠A=∠AEO，
由∠AEO=∠CED，可得∠CED=∠CBE，
又∠C=∠C，可得△CED∽△CBE，
即有=，
可得CE2=CB•CD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，
D为BC的中点，且BC=2，
可得CE2=2×=4，即CE=2，
又OB2+BC2=OC2=（OE+EC）2=（OB+CE）2，
OB2+8=OB2+4OB+4，
解得OB=1，AB=2OB=2，
又AD===，
由切割线定理可得BD2=DE•DA，
则DE===．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C1和C2的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．
（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．
【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），
转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4
即：x2+y2﹣4x=0
转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ
即：ρ=4cosθ
圆C2（φ为参数），
转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1
即：x2+y2﹣2y=0
转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ
（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q
则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）
则：|OP|==，
|OQ|==
则：|OP||OQ|=
=
设sinα+cosα=t（）
则：
则关系式转化为：
4=
由于：
所以：（|OP||OQ|）max=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．
（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，
x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，
﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，
x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，
综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤﹣或a≥，
∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，
故=3，解得：m=，
∴实数m的集合是{m|m=}．