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高考数学模拟试卷(文科)
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这是一份高考数学模拟试卷(文科)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题
1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（ ）
A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
2． =（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．25π B．50π C．100π D．200π
4．AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．21
5．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（ ）
A．6 B．3 C．2 D．3
6．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． +1 D．
8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（ ）
A．1 B． C． D．2
9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（ ）
A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72
10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（ ）
A． B．6π C．8π D．16π
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为 ．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 ．
16．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．
20．已知动点M（x，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值．
21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程为x+y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．
高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（ ）
A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，
∴A∩B={2，3，4，5}，
故选：D
2． =（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =，
故选：A．
3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．25π B．50π C．100π D．200π
【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．
【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积．
【解答】解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，
∴球的半径为，
∴这个球的表面积为=50π，
故选：B．
4．AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．21
【考点】BA：茎叶图．
【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可．
【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，
即空气优的概率是p==，
故30天中有×30=12天是优，
故选：C．
5．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（ ）
A．6 B．3 C．2 D．3
【考点】9V：向量在几何中的应用；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．
【解答】解：非零向量，满足•=0，可知两个向量垂直，||=3，且与+的夹角为，
说明以向量，为邻边， +为对角线的平行四边形是正方形，所以则||=3．
故选：D．
6．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：sin2θ+cos2θ====﹣，
故选：D．
7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． +1 D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可．
【解答】解：F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
点P在C的渐近线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，
可得：，即：b=2a，可得c2﹣a2=4a2，
即e2=5，e＞1，
解得e=，
则C的离心率为．
故选：A．
8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算．
【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可．
【解答】解：在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，
可得cos∠BAC=﹣=﹣，sin∠BAC=．
由余弦定理可得：BC===3，
设BC边上的高为h，
三角形面积为： =BC•h，
h==1．
故选：A．
9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（ ）
A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
ɛ=0.01，e=1，n=1
执行循环体，e=2，n=2
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5+，n=4
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5++，n=5
由于≈0.008＜ɛ=0.01，满足条件＜ɛ，退出循环，输出e的值为2.5++=2.71．
故选：C．
10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（ ）
A． B．6π C．8π D．16π
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】由题意，4x=π•22，求出x=π，再求出长方体的一半的体积即可．
【解答】解：由题意，4x=π•22，∴x=π，
∴旋转体D的体积是=8π，
故选C．
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．
【解答】解：∵方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴x＞1时，y′=，
设切点为（x0，y0），k=，
∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，
∴直线l1的斜率为，
又∵直线l2与y=x+1平行，
∴直线l2的斜率为，
∴实数a的取值范围是[，）
故选：B．
12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A（x0，y0），根据题意可求出A（1，2），继而求出答案．
【解答】解：F为抛物线C：y2=8x的焦点，则F（2，0），其准线方程为x=﹣2，
设A（x0，y0）
∵y=，
∴k=x0y0=2x0
∴y′=﹣，
∴直线AF的斜率为﹣=﹣
∵kAF==，
∴﹣=，
解得x0=1，
∴A（1，2），
∴AC=1+2=3，FD=4，
∴==，
∴=，
∴AB=3，
∴=，
故选：B．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
A（0，3），
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，可得函数的解析式，即可求出f（1）．
【解答】解：由题意可得=2，∴ω=，
∴函数f（x）=sin（x+），
∴f（1）=，
故答案为：．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 （﹣∞，10] ．
【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】先根据an=4n得到数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2，原不等式转化为λ≤2（n+）+2，根据基本不等式即可求出答案．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，
当n=1时，a1=4，
∵an﹣an﹣1=4n﹣4（n﹣1）=4，
∴数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，
∴Sn==2n+2n2，
∵不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
即λ≤2（n+）+2，
∵n+≥2=4，当且仅当n=2时取等号，
∴λ≤2×4+2=10，
故实数λ的取值范围为（﹣∞，10]，
故答案为：（﹣∞，10]．
16．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= 4 ．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】画出函数f（x）=x2﹣3x+4的图象，可知f（x）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；
有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．
【解答】解：画出函数f（x）=x2﹣3x+4=（x﹣2）2+1的图象，
可得f（x）min=f（2）=1，
由图象可知：若a＞1，则不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立；
又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，
由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；
当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；
∴b=4，此时a=0；
∴b﹣a=4．
故答案为：4．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式可得数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可．
【解答】解：（1）∵a1=2，an+1=2an+2n+1，
∴﹣=﹣=+1﹣=1，
∵=1，
∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n，
∴=2n，
∴数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{}的前n项和Sn==2n+1﹣2
18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值；
（Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；
（Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，
因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5，
所以2≤m＜2.5，
由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m=2.06；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有=21种，抽取的两人恰好都在一组，有=9种，故所求概率为．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P﹣ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F分别是PB，PC的中点，
∴N为EF的中点，也是PM的中点，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM为△ABC的中位线，则DM==1，∴PD=1．
∵BC⊥AC，则．
∴三棱锥P﹣ABC的体积
20．已知动点M（x，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值．
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；J3：轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）由已知，可得动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由=λ1，，点P在曲线E上可得…①，同理可得：…②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，λ1+λ2为定值﹣4．
【解答】解：（Ⅰ）由+=2，可得点M（x，y）到定点A（﹣1，0），B（1，0）的距离等于之和等于2．
且AB，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲线E的方程为：；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），
由=λ1，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，
∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴，
∴…①
同理可得：…②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，
∴λ1+λ2为定值﹣4．
21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1）=0，得x=e．x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．即可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．可得函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）即f（x）≥0恒成立，b≥e2a+ea．即b﹣a≥e2a+ea﹣a，构造函数g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．可得g（t）min=g（）=．即可得b﹣a的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=ea．
x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）
∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea．
∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，
设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．
当t∈（0，）时，g′（t）＜0，当t时，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，）上递减，在（，+∞）递增．
∴g（t）min=g（）=．
f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程为x+y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；H9：余弦函数的定义域和值域．
【分析】（Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，利用三角函数知识，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；
直线l的方程为x+y﹣12=0，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣12=0；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，
∴==+sin（2θ+），
∵θ∈（0，），∴2θ+∈（，π），
∴sin（2θ+）∈（﹣1]，
∴的最大值为，此时．
23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．
【考点】R6：不等式的证明．
【分析】利用柯西不等式，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2，
∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，
∴1≥（am+bn+cp）2，
∴|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）由柯西不等式，可得++=（++）（a2+b2+c2）≥（m2+n2+p2）2=1，
∴++≥1．
高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题
1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（ ）
A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
2． =（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．25π B．50π C．100π D．200π
4．AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．21
5．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（ ）
A．6 B．3 C．2 D．3
6．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． +1 D．
8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（ ）
A．1 B． C． D．2
9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（ ）
A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72
10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（ ）
A． B．6π C．8π D．16π
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为 ．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 ．
16．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= ．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．
20．已知动点M（x，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值．
21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程为x+y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．
高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则A∩B=（ ）
A．{x|2≤x＜6} B．{x|0≤x＜6} C．{0，1，2，3，4，5} D．{2，3，4，5}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，
∴A∩B={2，3，4，5}，
故选：D
2． =（ ）
A．﹣i B．i C．1 D．﹣1
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解： =，
故选：A．
3．一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．25π B．50π C．100π D．200π
【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．
【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积．
【解答】解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，
∴球的半径为，
∴这个球的表面积为=50π，
故选：B．
4．AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度．AQI共分六级，从一级优（0～50），二级良（51～100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于300）．下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数（按这个月共30天计算）为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．21
【考点】BA：茎叶图．
【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可．
【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，
即空气优的概率是p==，
故30天中有×30=12天是优，
故选：C．
5．已知非零向量，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=（ ）
A．6 B．3 C．2 D．3
【考点】9V：向量在几何中的应用；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．
【解答】解：非零向量，满足•=0，可知两个向量垂直，||=3，且与+的夹角为，
说明以向量，为邻边， +为对角线的平行四边形是正方形，所以则||=3．
故选：D．
6．若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：sin2θ+cos2θ====﹣，
故选：D．
7．已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． +1 D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可．
【解答】解：F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
点P在C的渐近线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，
可得：，即：b=2a，可得c2﹣a2=4a2，
即e2=5，e＞1，
解得e=，
则C的离心率为．
故选：A．
8．在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算．
【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可．
【解答】解：在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，
可得cos∠BAC=﹣=﹣，sin∠BAC=．
由余弦定理可得：BC===3，
设BC边上的高为h，
三角形面积为： =BC•h，
h==1．
故选：A．
9．定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为（ ）
A．2.69 B．2.70 C．2.71 D．2.72
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
ɛ=0.01，e=1，n=1
执行循环体，e=2，n=2
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5+，n=4
不满足条件＜ɛ，执行循环体，e=2.5++，n=5
由于≈0.008＜ɛ=0.01，满足条件＜ɛ，退出循环，输出e的值为2.5++=2.71．
故选：C．
10．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2（x≥0），直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图2所示）则旋转体D的体积是（ ）
A． B．6π C．8π D．16π
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】由题意，4x=π•22，求出x=π，再求出长方体的一半的体积即可．
【解答】解：由题意，4x=π•22，∴x=π，
∴旋转体D的体积是=8π，
故选C．
11．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．[，） C．（，] D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．
【解答】解：∵方程f（x）﹣ax=0恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴x＞1时，y′=，
设切点为（x0，y0），k=，
∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，
∴直线l1的斜率为，
又∵直线l2与y=x+1平行，
∴直线l2的斜率为，
∴实数a的取值范围是[，）
故选：B．
12．设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=（k＞0）与C交于点A，直线FA恰与曲线y=（k＞0）相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A（x0，y0），根据题意可求出A（1，2），继而求出答案．
【解答】解：F为抛物线C：y2=8x的焦点，则F（2，0），其准线方程为x=﹣2，
设A（x0，y0）
∵y=，
∴k=x0y0=2x0
∴y′=﹣，
∴直线AF的斜率为﹣=﹣
∵kAF==，
∴﹣=，
解得x0=1，
∴A（1，2），
∴AC=1+2=3，FD=4，
∴==，
∴=，
∴AB=3，
∴=，
故选：B．
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为 3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
A（0，3），
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3．
故答案为：3．
14．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），A、B是函数y=f（x）图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f（1）= ．
【考点】HW：三角函数的最值．
【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2求出ω，可得函数的解析式，即可求出f（1）．
【解答】解：由题意可得=2，∴ω=，
∴函数f（x）=sin（x+），
∴f（1）=，
故答案为：．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 （﹣∞，10] ．
【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】先根据an=4n得到数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2，原不等式转化为λ≤2（n+）+2，根据基本不等式即可求出答案．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，
当n=1时，a1=4，
∵an﹣an﹣1=4n﹣4（n﹣1）=4，
∴数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，
∴Sn==2n+2n2，
∵不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
即λ≤2（n+）+2，
∵n+≥2=4，当且仅当n=2时取等号，
∴λ≤2×4+2=10，
故实数λ的取值范围为（﹣∞，10]，
故答案为：（﹣∞，10]．
16．若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= 4 ．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】画出函数f（x）=x2﹣3x+4的图象，可知f（x）min=1；分类讨论：a＞1时，不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意；
有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．
【解答】解：画出函数f（x）=x2﹣3x+4=（x﹣2）2+1的图象，
可得f（x）min=f（2）=1，
由图象可知：若a＞1，则不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立；
又∵不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得，
由b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b=或b=4；
当b=时，由a2﹣3a+4﹣=0，解得a=或a=，不符合题意，舍去；
∴b=4，此时a=0；
∴b﹣a=4．
故答案为：4．
三、解答题
17．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式可得数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可．
【解答】解：（1）∵a1=2，an+1=2an+2n+1，
∴﹣=﹣=+1﹣=1，
∵=1，
∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n，
∴=2n，
∴数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{}的前n项和Sn==2n+1﹣2
18．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率．
【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值；
（Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；
（Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，
因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5，
所以2≤m＜2.5，
由0.50（m﹣2）=0.5﹣0.47，得m=2.06；
（Ⅲ）在[1，1.5），[1.5，2）这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有=21种，抽取的两人恰好都在一组，有=9种，故所求概率为．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P﹣ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F分别是PB，PC的中点，
∴N为EF的中点，也是PM的中点，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM为△ABC的中位线，则DM==1，∴PD=1．
∵BC⊥AC，则．
∴三棱锥P﹣ABC的体积
20．已知动点M（x，y）满足： +=2，M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值．
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；J3：轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）由已知，可得动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），由=λ1，，点P在曲线E上可得…①，同理可得：…②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，λ1+λ2为定值﹣4．
【解答】解：（Ⅰ）由+=2，可得点M（x，y）到定点A（﹣1，0），B（1，0）的距离等于之和等于2．
且AB，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲线E的方程为：；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），
由=λ1，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，
∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴，
∴…①
同理可得：…②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，
∴λ1+λ2为定值﹣4．
21．已知函数f（x）=（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1）=0，得x=e．x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．即可得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．可得函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）即f（x）≥0恒成立，b≥e2a+ea．即b﹣a≥e2a+ea﹣a，构造函数g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．可得g（t）min=g（）=．即可得b﹣a的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=ea．
x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）
∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea．
∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，
设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．
当t∈（0，）时，g′（t）＜0，当t时，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，）上递减，在（，+∞）递增．
∴g（t）min=g（）=．
f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程为x+y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）在极坐标中，极角为θ（θ∈（0，））的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点（A异于极点O），求的最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；H9：余弦函数的定义域和值域．
【分析】（Ⅰ）利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，利用三角函数知识，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；
直线l的方程为x+y﹣12=0，极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣12=0；
（Ⅱ）由题意|OA|=4cosθ，|OB|=，
∴==+sin（2θ+），
∵θ∈（0，），∴2θ+∈（，π），
∴sin（2θ+）∈（﹣1]，
∴的最大值为，此时．
23．已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1．
（Ⅰ）证明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，证明++≥1．
【考点】R6：不等式的证明．
【分析】利用柯西不等式，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2，
∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，
∴1≥（am+bn+cp）2，
∴|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）由柯西不等式，可得++=（++）（a2+b2+c2）≥（m2+n2+p2）2=1，
∴++≥1．
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