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浙江省台州市高考数学模拟试卷(理科)
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这是一份浙江省台州市高考数学模拟试卷(理科)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省台州市高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（ ）
A． B．1C． D．3
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（ ）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（ ）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（ ）
A．33B．26C．25D．21
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a= ；l1∥l2，则a= ．
10．设f（x）=则f（f（2））的值为 ；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为 ，目标函数4x2+y2的最小值为 ．
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是 ；单调递增区间是 ．
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= ．
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•= ．
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e= ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．
20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
浙江省台州市高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据指数函数的单调性即可得出A=（﹣∞，0），并且B=[0，1]，从而进行补集和交集的运算便可求出（∁RA）∩B．
【解答】解：解3x＜1得，x＜0；
∴A=（﹣∞，0），且B=[0，1]；
∴∁RA=[0，+∞）；
∴（∁RA）∩B=[0，1]．
故选D．
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得＞0，a+3b＞0．反之不成立，例如取f（x）=x﹣．
【解答】解：若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得=+b＞0，∴a+3b＞0．
反之不成立，例如取f（x）=x﹣，满足a+3b=1﹣=＞0，但是＜0．
∴“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的必要不充分条件．
故选：B．
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
【解答】解：由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，
下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
∴该几何体的体积是=×2+π×12×2
=24+2π（cm3）．
故选：A．
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（ ）
A． B．1C． D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用条件，结合抛物线的定义，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设A（x，y），则
∵直线AF的倾斜角为60°，
∴y=（x﹣）①，
∴△ABF的面积为，
∴=②，
∵A是抛物线在第一象限内的点，
∴y2=2px③，
∴由①②③可得p=1，x=，y=．
故选：B．
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（ ）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先确定P⊈Q，排除C，D，再确定Q⊈R，即可得出结论．
【解答】解：集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}表示以（±1，0），（0，±1）为顶点的正方形，
Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆的边界），所以P⊈Q，排除C，D；
x4+y2≤1中，以代替x，可得x2+y2≤1，∴Q⊆R．
x=，由x2+y2≤1，可得﹣≤y≤，由x4+y2≤1可得﹣≤y≤，∴Q⊈R
∴P⊈Q⊈R，
故选：A．
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（ ）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，可得S5=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，由三角函数的知识可得．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列， +=1，
∴可设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，
则S5=5cosθ+（sinθ﹣cosθ）=10sinθ﹣5cosθ
=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，
∴由三角函数可知S5的取值范围是[﹣5，5]，
故选：B．
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（ ）
A．33B．26C．25D．21
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意可得y=，则y（x+8）=，运用换元法，令t=x﹣1（t＞0），转化为t的式子，由基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，
可得y=，
则y（x+8）=，
令t=x﹣1（t＞0），即有x=t+1，
则y（x+8）==t++13≥2+13=12+13=25，
当且仅当t=6，即x=7时，取得最小值25．
故选：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】本题从AD与BC垂直入手，转化为AD与AD′垂直，从何转化为△AED′与△AED铺在一个平面内后，∠D′AD≥90°．
【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．
在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°，∠AD′E=120°，则∠D′EA=15°，
由正弦定理知，，则D′E=．
因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点，
则a＞，
故选：D．
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a= ﹣ ；l1∥l2，则a= 1或﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出a的值即可，对于两直线平行，需要验证是否重合．
【解答】解：∵l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，
当l1⊥l2时，a+2（a+1）=0，解得a=﹣；
当l1∥l2时，a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2；
验证a=1时，两直线分别为x+2y+6=0和x+2y=0，平行；
a=﹣2时，两直线分别为x﹣y﹣3=0和x﹣y+3=0，平行；
所以a=1或﹣2．
故答案为：﹣，1或﹣2．
10．设f（x）=则f（f（2））的值为 2 ；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为 [1，2e） ．
【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．
【解答】解：由分段函数得f（2）=log33=1，f（1）=2e1﹣1=2e0=2，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥2时，函数f（x）=log3（x2﹣1）为增函数，
则f（x）≥f（2）=1，
当x＜2时，f（x）=2ex﹣1，为增函数，
则0＜f（x）＜2e，
∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，
则1≤a＜2e，
故答案为：2，[1，2e）
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为 10 ，目标函数4x2+y2的最小值为 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（，5），
代入目标函数z=2x+y得z=2×+5=5+5=10．
即目标函数z=2x+y的最大值为10．
设4x2+y2=m，则m＞0，
即+=1，表示焦点在y轴的椭圆，
要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y﹣4=0，相切即可，
由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m，得4x2+（﹣2x+4）2=m，
即8x2﹣16x+16﹣m=0，
则判别式△=162﹣4×8（16﹣m）=0，
得8=16﹣m，
则m=8，即目标函数4x2+y2的最小值为8，
故答案为：10，8．
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是 ；单调递增区间是 [﹣+，] ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．
【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x
=1﹣sin22x
=1﹣×
=cos4x+，
∴函数f（x）的最小正周期为T==；
又函数y=cos4x的增区间为2kπ﹣π≤4x≤2kπ，
即﹣+≤x≤，
∴函数f（x）=sin4x+cos4x的单调递增区间是[﹣+，]（k∈Z）．
故答案为：；[﹣+，]（k∈Z）．
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= 4 ．
【考点】数列递推式．
【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．
【解答】解：设a4=k，由an+1=an+an﹣1，得a3=a5﹣a4=1﹣k，
a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，
a6=a5+a4=1+k，
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．
故答案为：4．
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•= 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】用表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案．
【解答】解：∵•=（）=﹣=1，
•=（）=﹣=2，
两式相加得：﹣=3，即（）=3，
∴=3．
故答案为：3．
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e= 5 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF1|•|PF2|=2b2，得到|PF1|+|PF2|=，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．
【解答】解：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①
•=0，可得PF1⊥PF2，
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②
②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，
即有|PF1|+|PF2|=，
由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，
即为2a（+2c）=2b2，
即有c+2a=，两边平方可得
c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，
即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），
即有e==5．
故答案为：5．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得：…
∴…
即．
∵sinC＞0得，∴…
又，∴，∴…
（II）由已知得： +=2，平方得： 2+2+2•=42，…
即c2+a2+2cacos=84，
又a=2，∴c2+2c﹣80=0
解得：c=8或c=﹣2（舍去）…
∴S△ABC=﹣=4．…
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；
（Ⅱ）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量，这样根据便可得出法向量的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD；
∴AC⊥PD；
又AC⊥BD，BD∩PD=D；
∴AC⊥平面PBD，BP⊂平面PBD；
∴AC⊥BP；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则：
O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），P（，0，1）；
∴，，；
设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量；
由得，，取x1=1，则；
同理，由得，；
∴；
∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为．
18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）求出a=时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≥x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=，
当x≥1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣﹣＜0；
当0＜x＜1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=+＞0；
所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≥x得a（x+）﹣|x﹣|≥x，x＞0，
可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，
①当0＜x＜1时，a（x2+1）+（x2﹣1）≥x2，
即有a≥，
由=﹣∈（，1）
可得a≥1；
②当x≥1时，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥x2，
可得a≥
由=﹣∈[，）
可得a≥．
综上所述，a的取值范围是[，+∞）．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，可得c=1，b==．
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），
联立得（4+3m2）y2+24my+36=0，
则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．
又y1+y2=﹣，y1y2=，
直线PQ的方程为y=（x﹣x1）﹣y1
则xT==
==+4=1，
则T（1，0），故|ST|=3
所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|=•=，
令t=＞0，
则S△PQT==≤=，
当且仅当t2=即m2=即m=±时取到“=”，
故所求直线l的方程为x=±y+4．
20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得，结合0＜an＜1，得到an+1﹣an=＜0，即an+1＜an；
（2）由已知数列递推式得，利用累加法得到Sn==an+1+．把已知递推式两边平方可得，利用放缩法得到，即2n，进一步得到，然后利用不等式的可加性证得﹣＜Sn＜﹣2．
【解答】证明：（1）由an+1+=2an+，
得，即，
∴，则，
又0＜an＜1，
∴，即an+1＜an；
（2）由an+1+=2an+，得．
∴Sn=a1+a2+…+an=+…+
=．
又∵an+1+=2an+，
∴，
∴．
由0＜an+1＜an，可知，
即，
∴2n，
∴，，
∵．
∴．
∴﹣＜Sn＜﹣2．
浙江省台州市高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（ ）
A． B．1C． D．3
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（ ）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（ ）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（ ）
A．33B．26C．25D．21
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a= ；l1∥l2，则a= ．
10．设f（x）=则f（f（2））的值为 ；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为 ．
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为 ，目标函数4x2+y2的最小值为 ．
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是 ；单调递增区间是 ．
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= ．
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•= ．
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e= ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．
20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
浙江省台州市高考数学模拟试卷（理科）试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．若集合A={x|3x＜1}，B={x|0≤x≤1}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据指数函数的单调性即可得出A=（﹣∞，0），并且B=[0，1]，从而进行补集和交集的运算便可求出（∁RA）∩B．
【解答】解：解3x＜1得，x＜0；
∴A=（﹣∞，0），且B=[0，1]；
∴∁RA=[0，+∞）；
∴（∁RA）∩B=[0，1]．
故选D．
2．已知函数f（x）=ax+b（x∈[0，1]），则“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得＞0，a+3b＞0．反之不成立，例如取f（x）=x﹣．
【解答】解：若f（x）＞0恒成立，则取x=，可得=+b＞0，∴a+3b＞0．
反之不成立，例如取f（x）=x﹣，满足a+3b=1﹣=＞0，但是＜0．
∴“a+3b＞0”是“f（x）＞0恒成立”的必要不充分条件．
故选：B．
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．（24+2π）cm3B．（24+π）cm3C．（8+6π）cm3D．（（3+）+2π）cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
【解答】解：由三视图可知：上面是一个底面直径与高都为2的圆柱，
下面是一个横放的直棱柱，底面是一个上下底边分别为2，4，高为2的直角梯形，高为2．
∴该几何体的体积是=×2+π×12×2
=24+2π（cm3）．
故选：A．
4．点F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，l是准线，A是抛物线在第一象限内的点，直线AF的倾斜角为60°，AB⊥l于B，△ABF的面积为，则p的值为（ ）
A． B．1C． D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用条件，结合抛物线的定义，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设A（x，y），则
∵直线AF的倾斜角为60°，
∴y=（x﹣）①，
∴△ABF的面积为，
∴=②，
∵A是抛物线在第一象限内的点，
∴y2=2px③，
∴由①②③可得p=1，x=，y=．
故选：B．
5．设集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}，R={（x，y）|x4+y2≤1，x∈R，y∈R}则下列判断正确的是（ ）
A．P⊈Q⊈RB．P⊈R⊈QC．Q⊈P⊈RD．R⊈P⊈Q
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先确定P⊈Q，排除C，D，再确定Q⊈R，即可得出结论．
【解答】解：集合P={（x，y）||x|+|y|≤1，x∈R，y∈R}表示以（±1，0），（0，±1）为顶点的正方形，
Q={（x，y）|x2+y2≤1，x∈R，y∈R}表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆的边界），所以P⊈Q，排除C，D；
x4+y2≤1中，以代替x，可得x2+y2≤1，∴Q⊆R．
x=，由x2+y2≤1，可得﹣≤y≤，由x4+y2≤1可得﹣≤y≤，∴Q⊈R
∴P⊈Q⊈R，
故选：A．
6．已知数列{an}为等差数列， +=1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（ ）
A．[﹣， ]B．[﹣5，5]C．[﹣10，10]D．[﹣5，5]
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，可得S5=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，由三角函数的知识可得．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列， +=1，
∴可设a1=cosθ，a2=sinθ，公差d=sinθ﹣cosθ，
则S5=5cosθ+（sinθ﹣cosθ）=10sinθ﹣5cosθ
=5sin（θ﹣φ），其中tanφ=，
∴由三角函数可知S5的取值范围是[﹣5，5]，
故选：B．
7．已知实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，则y（x+8）的最小值是（ ）
A．33B．26C．25D．21
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意可得y=，则y（x+8）=，运用换元法，令t=x﹣1（t＞0），转化为t的式子，由基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：实数x，y满足xy﹣3=x+y，且x＞1，
可得y=，
则y（x+8）=，
令t=x﹣1（t＞0），即有x=t+1，
则y（x+8）==t++13≥2+13=12+13=25，
当且仅当t=6，即x=7时，取得最小值25．
故选：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（ ）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】本题从AD与BC垂直入手，转化为AD与AD′垂直，从何转化为△AED′与△AED铺在一个平面内后，∠D′AD≥90°．
【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．
在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°，∠AD′E=120°，则∠D′EA=15°，
由正弦定理知，，则D′E=．
因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点，
则a＞，
故选：D．
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，l1⊥l2，则a= ﹣ ；l1∥l2，则a= 1或﹣2 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】直线的一般方程与直线垂直和平行的条件是什么，由此列出方程求出a的值即可，对于两直线平行，需要验证是否重合．
【解答】解：∵l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a+1）y+a2﹣1=0，
当l1⊥l2时，a+2（a+1）=0，解得a=﹣；
当l1∥l2时，a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2；
验证a=1时，两直线分别为x+2y+6=0和x+2y=0，平行；
a=﹣2时，两直线分别为x﹣y﹣3=0和x﹣y+3=0，平行；
所以a=1或﹣2．
故答案为：﹣，1或﹣2．
10．设f（x）=则f（f（2））的值为 2 ；若f（x）=a有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为 [1，2e） ．
【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可得到结论．
【解答】解：由分段函数得f（2）=log33=1，f（1）=2e1﹣1=2e0=2，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥2时，函数f（x）=log3（x2﹣1）为增函数，
则f（x）≥f（2）=1，
当x＜2时，f（x）=2ex﹣1，为增函数，
则0＜f（x）＜2e，
∴要使f（x）=a有两个不等的实数根，
则1≤a＜2e，
故答案为：2，[1，2e）
11．已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为 10 ，目标函数4x2+y2的最小值为 8 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线平移以及构造椭圆，利用直线和椭圆的相切关系即可求最值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（，5），
代入目标函数z=2x+y得z=2×+5=5+5=10．
即目标函数z=2x+y的最大值为10．
设4x2+y2=m，则m＞0，
即+=1，表示焦点在y轴的椭圆，
要使m最小，则只需要椭圆和直线BC：2x+y﹣4=0，相切即可，
由2x+y﹣4=0得y=﹣2x+4代入4x2+y2=m，得4x2+（﹣2x+4）2=m，
即8x2﹣16x+16﹣m=0，
则判别式△=162﹣4×8（16﹣m）=0，
得8=16﹣m，
则m=8，即目标函数4x2+y2的最小值为8，
故答案为：10，8．
12．函数f（x）=sin4x+cos4x的最小正周期是 ；单调递增区间是 [﹣+，] ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】化简函数f（x），根据余弦函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期与单调递增区间．
【解答】解：函数f（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x
=1﹣sin22x
=1﹣×
=cos4x+，
∴函数f（x）的最小正周期为T==；
又函数y=cos4x的增区间为2kπ﹣π≤4x≤2kπ，
即﹣+≤x≤，
∴函数f（x）=sin4x+cos4x的单调递增区间是[﹣+，]（k∈Z）．
故答案为：；[﹣+，]（k∈Z）．
13．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= 4 ．
【考点】数列递推式．
【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．
【解答】解：设a4=k，由an+1=an+an﹣1，得a3=a5﹣a4=1﹣k，
a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，
a6=a5+a4=1+k，
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．
故答案为：4．
14．已知四个点A，B，C，D满足•=1， •=2，则•= 3 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】用表示出各向量，将两式展开后相加即可得出答案．
【解答】解：∵•=（）=﹣=1，
•=（）=﹣=2，
两式相加得：﹣=3，即（）=3，
∴=3．
故答案为：3．
15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且•=0，△F1PF2的内切圆半径r=2a，则双曲线的离心率e= 5 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可设P为第一象限的点，由双曲线的定义和勾股定理，可得|PF1|•|PF2|=2b2，得到|PF1|+|PF2|=，由等积法和离心率公式，化简整理即可得到所求值．
【解答】解：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①
•=0，可得PF1⊥PF2，
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②
②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2，
即有|PF1|+|PF2|=，
由三角形的面积公式可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=|PF1|•|PF2|，
即为2a（+2c）=2b2，
即有c+2a=，两边平方可得
c2+4a2+4ac=c2+b2=c2+c2﹣a2，
即c2﹣4ac﹣5a2=0，解得c=5a（c=﹣a舍去），
即有e==5．
故答案为：5．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得：…
∴…
即．
∵sinC＞0得，∴…
又，∴，∴…
（II）由已知得： +=2，平方得： 2+2+2•=42，…
即c2+a2+2cacos=84，
又a=2，∴c2+2c﹣80=0
解得：c=8或c=﹣2（舍去）…
∴S△ABC=﹣=4．…
17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．
（Ⅰ）证明：AC⊥BP；
（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；
（Ⅱ）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量，这样根据便可得出法向量的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD；
∴AC⊥PD；
又AC⊥BD，BD∩PD=D；
∴AC⊥平面PBD，BP⊂平面PBD；
∴AC⊥BP；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则：
O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），P（，0，1）；
∴，，；
设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量；
由得，，取x1=1，则；
同理，由得，；
∴；
∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为．
18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）求出a=时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≥x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=，
当x≥1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣﹣＜0；
当0＜x＜1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=+＞0；
所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≥x得a（x+）﹣|x﹣|≥x，x＞0，
可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，
①当0＜x＜1时，a（x2+1）+（x2﹣1）≥x2，
即有a≥，
由=﹣∈（，1）
可得a≥1；
②当x≥1时，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥x2，
可得a≥
由=﹣∈[，）
可得a≥．
综上所述，a的取值范围是[，+∞）．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，可得c=1，b==．
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），
联立得（4+3m2）y2+24my+36=0，
则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．
又y1+y2=﹣，y1y2=，
直线PQ的方程为y=（x﹣x1）﹣y1
则xT==
==+4=1，
则T（1，0），故|ST|=3
所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|=•=，
令t=＞0，
则S△PQT==≤=，
当且仅当t2=即m2=即m=±时取到“=”，
故所求直线l的方程为x=±y+4．
20．已知数列{an}满足0＜an＜1，且an+1+=2an+（n∈N*）．
（1）证明：an+1＜an；
（2）若a1=，设数列{an}的前n项和为Sn，证明：﹣＜Sn＜﹣2．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得，结合0＜an＜1，得到an+1﹣an=＜0，即an+1＜an；
（2）由已知数列递推式得，利用累加法得到Sn==an+1+．把已知递推式两边平方可得，利用放缩法得到，即2n，进一步得到，然后利用不等式的可加性证得﹣＜Sn＜﹣2．
【解答】证明：（1）由an+1+=2an+，
得，即，
∴，则，
又0＜an＜1，
∴，即an+1＜an；
（2）由an+1+=2an+，得．
∴Sn=a1+a2+…+an=+…+
=．
又∵an+1+=2an+，
∴，
∴．
由0＜an+1＜an，可知，
即，
∴2n，
∴，，
∵．
∴．
∴﹣＜Sn＜﹣2．
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