2023年天津市河北区中考三模数学试卷（含解析）

2023年天津市河北区中考三模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．计算的结果等于（  ）

A．5 B． C．9 D．

2．的值等于（　　）

A． B． C． D．

3．据年月日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共万人将用科学记数法表示应为（　　）

A． B． C． D．

二、解答题

4．如图可以看作是中心对称图形的是（　　）

A．   B．   C．   D．  

三、单选题

5．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（    ）

A． B． C． D．

6．估计的值在（    ）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

7．计算的结果是（    ）

A．2 B． C．1 D．

8．若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．方程的根为，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

10．如图，的顶点，顶点A，B分别在第一、四象限，且轴，若，则点A的坐标是（　　）

A． B． C． D．

11．如图，有一张矩形纸条，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点上．当点恰好落在边上时，下列结论不一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；②和是关于的方程的两个根，③其中，正确结论的个数是（　　）

A． B． C． D．

四、填空题

13．计算的结果等于_______．

14．计算的结果等于___________．

15．不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_______．

16．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的值可以是_________（写出一个即可）.

17．如图，在边长为的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为______ ．

18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，是小正方形边的中点．

(1)的长等于___________；

(2)是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________．

五、解答题

19．解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得_______________；

（Ⅱ）解不等式②，得_______________；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．

20．某养鸡场有只鸡准备对外出售从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位；），绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：

(1)图①中的值为______ ；图②中鸡的总数为______ ．

(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计这只鸡中，质量为的约有多少只？

21．已知是的直径，是的切线，，交于点，是上一点，延长交于点．

(1)如图（1），求和的大小；

(2)如图（2），当时，求的大小．

22．如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接．测得，，．根据测得的数据，求的长（结果取整数）．

参考数据：，，．

23．已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地，丙地离乙地．一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地．当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，离开甲地的时间记为t（单位：），两艘轮船离甲地的距离y（单位：）关于t的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．货轮比游轮早到达丙地．

根据相关信息，解答下列问题：

(1)填表：

(2)填空：

①游轮在乙地停靠的时长为_______；

②货轮从甲地到丙地所用的时长为_______，行驶的速度为_______/；

③游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为_______．

(3)当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于t的函数解析式．

24．将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．

(1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标：

(2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，

①求证：；

②求的长．

(3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）．

25．已知抛物线交x轴于A，B两点，且点B的坐标为，其对称轴交x轴于点C．

（I）求该抛物线的顶点D的坐标；

（Ⅱ）设P是线段CD上的一个动点（点P不与点C，D重合）．

①过点P作y轴的垂线l交抛物线（对称轴右侧）于点Q，连接QB，OD，求面积的最大值；

②连接PB，求的最小值．

参考答案：

1．C

【详解】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．

详解：（-3）2=9，

故选C．

点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．

2．A

【分析】根据的正弦值是解答即可．

【详解】解：，

故选：．

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记的正弦值是是解题的关键．

3．A

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数．

【详解】解：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

4．A

【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．

【详解】解：A、图形是中心对称图形，故此选项符合题意；

B、图形不是中心对称性，故此选项不符合题意；

C、图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、图形是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

5．B

【分析】找到从前面看所得到的图形即可．

【详解】解：从前面看可得到从左到右第1列有1个正方形，第2列有个1正方形，第3列有个2正方形，

故选B．

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是指从前面看所得到的图形．

6．D

【详解】解：∵25＜33＜36，

∴5＜＜6．

故选D．

【点睛】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

7．A

【分析】根据同分母分式相加减的法则计算即可．

【详解】解：原式=

故选A．

【点睛】此题主要考查了分式的加减法，解决本题的关键是熟记同分母分式相加减的法则．

8．B

【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．

【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：

，解得；

，解得；

，解得；

∵-8<2<4，

∴，

故选： B．

【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．

9．A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出，即可得到答案．

【详解】解：∵，即，，，

∴，，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．

10．D

【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．

【详解】解：设与轴交于点．

，，，

，

由勾股定理得：，

点A的坐标为，

故选：D．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．

11．D

【分析】先根据翻折的性质可得C′N=CN，可判断A正确，∠1=∠2，B′M=BM，B′C′ =BC=2cm，由CD∥AB，可得∠3=∠1，可推得∠2=∠3，可判断B正确，由四边形为矩形，可知∠C=90°，在Rt△B′C′N中，由勾股定理得，可得，可判断C正确，由，可判断D错误．

【详解】解：因为梯形MB′C′N由MBCN折叠得到的，

∴C′N=CN，故A正确，

∴∠1=∠2，B′M=BM，B′C′ =BC=2cm，

∵CD∥AB，

∴∠3=∠1，

∴∠2=∠3，故B正确，

∵四边形为矩形，

∴∠C=90°，

在Rt△B′C′N中，

由勾股定理得B′N2=（B′C′）2+（C′N）2，

∵，

∴，

∴，

∵∠2=∠3，

∴，故C正确，

∵，故D错误．

故选择：D．

【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形折叠性质，等腰三角形的判定，勾股定理是解题关键．

12．B

【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出a、b、c的值，即可判定①；

②把，代入，看左右两边是否相等，可判定②；

③把，，，，代入，求出m、n值，可计算的值，即可判定③．

【详解】解：由表格可知：，，，，，，

分别代入，得

，解得：，

∴，

，

故错误；

把代入方程，

左边，右边，

∴左边=右边

把代入方程，

左边，右边，

∴左边=右边

和是关于的方程的两个根；

故正确；

把，，代入，得

，

把，，代入，得

，

故错误；

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．

13．

【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，

【详解】解：原式=.

故答案为：．

【点睛】本题考查了同底数幂的除法，掌握此法则是关键．

14．18

【分析】根据平方差公式即可求解．

【详解】解：，

故答案为：18．

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．

15．．

【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率．

【详解】解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，

∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

16．-1（答案不唯一）．

【分析】先根据一次函数y=3x+b的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可．

【详解】解：∵次函数y=3x+b的图象经过一、三、四象限，

∴b＜0，

∴b可以等于-1（答案不唯一）．

故答案为-1（答案不唯一）．

【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象在一、三、四象限是解答此题的关键．

17．

【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出，且，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出以及的长．

【详解】解：在边长为的等边中，，分别为，的中点，

是的中位线，

，且，，

于点，，

，，

，

故，

为的中点，

，

．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质和三角形中位线定理，正确得出的长是解题关键．

18．(1)

(2)取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求．

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；

（2）先确定圆心，再作直径CP即可．

【详解】（1）解：，

故答案为：．

（2）由题意可知，，当为直径时，最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点，以、为斜边的两个网格直角三角形全等，可得，为直径，同理，以、为斜边的两个直角三角形相似，可得，为直径，所以，为圆心，此时，最大；

故答案为：取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求．

【点睛】本题考查了作图和勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题关键是熟练运用圆周角定理和相似三角形判定与性质确定圆心．

19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；（Ⅳ）．

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答．

【详解】（Ⅰ）解不等式，得：．

故答案为：；

（Ⅱ）解不等式，得：．

故答案为：；

（Ⅲ）在数轴上表示为：

；

（Ⅳ）原不等式的解集为．

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解答本题的关键．

20．(1)；

(2)，，

(3)200只

【分析】（1）根据各种质量的百分比之和为1可得的值，把各种质量的鸡只数相加即可得出鸡的总数；

（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；

（3）将样本中质量为数量所占比例乘以总数量2500即可．

【详解】（1）解：图①中的值为；

图②中鸡的总数为(只)

（2）解：这组数据的平均数为，

众数为，

中位数为；

（3）解：（只）

答：估计这2500只鸡中，质量为的约有200只．

【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

21．(1)，

(2)

【分析】（1）连接，利用切线的性质得出，从而得出的度数；由是的直径，得，从而得出的度数，进而得出的度数；

（2）连接，利用，得出，利用得出，从而得出．

【详解】（1）如图，连接．

∵是的切线，是的直径，

∴，即．

∵，

∴．

由是的直径，得．

∴．

∵

∴ ．

故答案为：，．

（2）如图，连接．

在中，

，

，

∴，

在中，，

∴，

∴．

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．

22．AB的长约为160m．

【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【详解】解：如图，过点A作，垂足为H．

根据题意，，，．

在中，，

．

在中，，，

，．

又，

．可得．

．

答：AB的长约为160m．

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．

23．(1)260，380，420

(2)①3；②；③110

(3)

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以将表格中的数据补充完整；

（2）①根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮在乙地停靠的时长；②根据题意和图象中的数据，可以计算出货轮从甲地到丙地所用的时长和行驶的速度；③根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程；

（3）根据函数图象中的数据，可以写出游轮离甲地的路程y关于t的函数解析式．

【详解】（1）解：由图象可知当游轮离开甲地13小时游轮离甲地的距离为，

∵游轮全程行驶（小时），

∴游轮在乙地停留的时间为（小时），

∴当游轮离开甲地22小时游轮离甲地的距离为，

由图象可知当游轮离开甲地24小时游轮离甲地的距离为，

填表如下：

故答案为：，，；

（2）解：①游轮在乙地停靠的时长为：，

故答案为：3；

②货轮从甲地到丙地的时间为：，

货轮从甲地到丙地的速度为：，

故答案为：，；

③游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为：，

故答案为：；

（3）解：当时，，

当时，，

当时,设y关于t的函数解析式为，

由题意，得：，

解得，

即当时，y关于t的函数解析式为，

由上可得，y关于t的函数解析式为．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

24．(1)

(2)①见解析；②

(3)

【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论．

（Ⅱ）如图②中，过点作于．首先证明，推出，求出，可得结论．

（Ⅲ）如图③中，当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论．

【详解】（1）解：如图①中，过点作于．

绕点顺时针旋转，

，

，，

，．

（2）解：①证明：如图②中，过点作于．

，

，

，，

；

②解：；

，

在中，，

，，

，

，

，

，

．

（3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．

过点作轴于，过点作于．

，

，

，，

，

，

，，，

．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

25．（Ⅰ）顶点D的坐标为；（Ⅱ）①当时，面积取得最大值为1；②的最小值为8．

【分析】（Ⅰ）把代入，求出c的值，再把二次函数化为顶点式，即可求解；

（Ⅱ）①过点Q作轴，交于点E，设点，则，从而列出，进而即可求解；②过点P作于F，过点A作于H．由三角函数的定义得：，从而得：，进而即可求解．

【详解】（Ⅰ）∵抛物线经过点，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为．

∵，

∴顶点D的坐标为；

（Ⅱ）由题意，点Q在线段下方的抛物线上，设点Q横坐标为t，则．过点Q作轴，交于点E，

由点，可得直线的解析式为．

设点，则．

∴．

∴当时，面积取得最大值为1．

②如图，连接，，过点P作于F，过点A作于H．

∵点P在抛物线对称轴上，点A，B是对称点，

∴．

∴在中，，，，

∴．

在中，，

故．

∵，即，

∴．

∴，即的最小值为8．

【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，掌握二次函数图像上点的坐标特征，利用轴对称的性质，构造相等的线段，是解题的关键．