2023年天津市河北区中考数学三模试卷

2023年天津市河北区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  据年月日天津日报报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共万人将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，的顶点，顶点，分别在第一、四象限，且轴，若，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上当点恰好落在边上时，下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：

且当时，与其对应的函数值，有下列结论：；和是关于的方程的两个根：其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______．

14.  计算的结果等于______．

15.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是          ．

16.  若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的值可以是______写出一个即可
 

17.  如图，在边长为的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，在格点上，是小正方形边的中点．
的长等于______ ；
是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上，且满足当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
某养鸡场有只鸡准备对外出售从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量单位；，绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：

图中的值为______ ；图中鸡的总数为______ ．
Ⅱ求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ根据样本数据，估计这只鸡中，质量为的约有多少只？

21.  本小题分
已知是的直径，是的切线，，交于点，是上一点，延长交于点．
如图，求和的大小；
如图，当时，求的大小．

 

22.  本小题分
如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，测得，，根据测得的数据，求的长结果取整数．
参考数据：，，．

23.  本小题分
已知甲、乙、丙三地依次在同一直线上，乙地离甲地，丙地离乙地一艘游轮从甲地出发，途经乙地前往丙地当游轮到达乙地时，一艘货轮沿着同样的线路从甲地出发前往丙地已知游轮的速度为，离开甲地的时间记为单位：，两艘轮船离甲地的距离单位：关于的图象如图所示游轮在停靠前后的行驶速度不变货轮比游轮早到达丙地根据相关信息，解答下列问题：
填表：

填空：
游轮在乙地停靠的时长为______ ；
货轮从甲地到丙地所用的时长为______ ，行驶的速度为______ ；
游轮从乙地出发时，两艘轮船的距离为______ ．
当时，请直接写出游轮离甲地的距离关于的函数解析式．

24.  本小题分
将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．

Ⅰ当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标：
Ⅱ如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，
求证：≌；
求的长．
Ⅲ当旋转到使得的度数最大时，求的面积直接写出结果即可．

25.  本小题分
已知抛物线交轴于，两点，且点的坐标为，其对称轴交轴于点．
Ⅰ求该抛物线的顶点的坐标；
Ⅱ设是线段上的一个动点点不与点，重合．
过点作轴的垂线交抛物线对称轴右侧于点，连接，，求面积的最大值；
连接，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数的乘方法则求出即可．
本题考查了有理数的乘方法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据的正弦值是解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记的正弦值是是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示应为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：图形是中心对称图形，符合题意；
图形不是中心对称性，不符合题意；
图形不是中心对称图形，不符合题意；
图形是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【解答】
解：从正面看，从左到右，共有列，每列的小正方形的个数从左到右依次为、、．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查估算无理数的大小，属于基础题．
由于，由此即可近似确定的大小． 
【解答】
解：，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】
解：原式
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，．
，
故选：．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程的两个根为，，
，，
则原式．
故选：．
利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点．

，，，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为，
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠知：，，
，
，
，
，都正确，不符合题意，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
C正确，不符号题意，
，，
D错误，符合题意，
故选：．
根据折叠的性质进行逐一判断即可．
本题考查了以矩形为背景的折叠问题，抓住折叠前后图形是全等的，是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
当时，，
，
，
，
错误；
是对称轴，
时，则时，，
和是关于的方程的两个根；
正确；
，，
，
，
当时，，
，
，
错误；
故选：．
当时，，当时，，，错误；
是对称轴，时，则时，，正确；
；当时，，，，错误；
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
根据同底数幂的除法即可求出答案．
本题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了概率公式．用到的知识点为概率所求情况数与总情况数之比．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目二者的比值就是其发生的概率．
【解答】
解：袋子中装有个小球，其中红球有个，
从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是．  

16.【答案】 

【解析】解：一次函数，其中，
图象经过一、三象限；
又图象经过第一、三、四象限，
，
故答案答案不唯一．
根据题中，可知图形经过一、三象限，又由图象还要经过四象限，判断．
本题考查一次函数的图象．掌握一次函数解析式中，对图象的影响是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
在边长为的等边中，，分别为，的中点，
是的中位线，
，且，，
于点，，
，，
，
故EF，
为的中点，
，
．
故答案为：．
直接利用三角形中位线定理进而得出，且，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出以及的长．
此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质和三角形中位线定理，正确得出的长是解题关键．
 

18.【答案】  取格点，连接交的外接圆于点，连接 

【解析】解：的长．
故答案为：．

如图点即为所求作．

由题意，，
，，
当是直径时，的值最大，
取格点构造，连接交的外接圆于点，
故答案为：取格点，连接交的外接圆于点．
利用勾股定理求解即可．
由题意，，推出，，推出当是直径时，的值最大．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：图中的值为，
，
故答案为：；；
Ⅱ这组数据的平均数为，
众数为，中位数为；
Ⅲ估计这只鸡中，质量为的约有只．
根据各种质量的百分比之和为可得的值；
Ⅱ根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
Ⅲ将样本中质量为数量所占比例乘以总数量即可．
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

21.【答案】解：如图，连接，

是切线，是的直径，
，即，
，
，
由是的直径，得，
，
；
如图，连接，

在中，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得，根据三角形内角和得的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得的度数；
如图，连接，根据等边对等角得：，利用同圆的半径相等知：，同理，由此可得结论．
 

22.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
，
，
设，
在中，，，
又，即，
，
解得，，
答：的长约为． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
 

23.【答案】             

【解析】解：由图象可知当游轮离开甲地小时游轮离甲地的距离为，
游轮全程行驶小时，
游轮在乙地停留的时间为小时，
当游轮离开甲地小时游轮离甲地的距离为，
由图象可知当游轮离开甲地小时游轮离甲地的距离为，
填表如下：

故答案为：，，；
游轮在乙地停靠的时长为：，
故答案为：；
货轮从甲地到丙地的时间为：，
货轮从甲地到丙地的速度为：，
故答案为：，；
游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程为：，
故答案为：；
当时，，
当时，，
当时，设关于的函数解析式为，
由题意，得：，
解得，
即当时，关于的函数解析式为，
由上可得，关于的函数解析式为．
根据题意和函数图象中的数据，可以将表格中的数据补充完整；
根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮在乙地停靠的时长；根据题意和图象中的数据，可以计算出货轮从甲地到丙地所用的时长和行驶的速度；根据题意和图象中的数据，可以计算出游轮从乙地出发时，两艘轮船相距的路程；
根据函数图象中的数据，可以写出游轮离甲地的路程关于的函数解析式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】Ⅰ解：如图中，过点作于．

绕点顺时针旋转，
，
，，
．

Ⅱ证明：如图中，过点作于．

，
，
，，
≌；
解：≌；
，
在中，，
，，
，
，
，
，
．

Ⅲ如图中，当时，的值最大，此时，．

过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
≌，
，
，，，
． 

【解析】Ⅰ如图中，过点作于解直角三角形求出，，可得结论．
Ⅱ如图中，过点作于首先证明≌，推出，求出，可得结论．
Ⅲ如图中，当时，的值最大，此时，再证明，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：Ⅰ抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点的坐标是；

Ⅱ过作轴交于，如图：

设直线解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
根据题意知在线段下方，设，其中，则，
，
，
，，
时，最大值为，
答：面积的最大值是；

连接，过作于，过作于，连接，如图：

在抛物线对称轴上，
，
在中，，
，
在中，，
，
由得：
，
，
即的最小值是． 

【解析】Ⅰ用待定系数法可得抛物线的解析式为，即可得抛物线的顶点的坐标是；
Ⅱ过作轴交于，由，可得直线解析式为，设，其中，则，，可得，根据二次函数性质即得面积的最大值是；
连接，过作于，过作于，连接，由在抛物线对称轴上，得，在中可得，在中，，即知，由得，即可得的最小值是．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等，解题的关键是作辅助线，转化为．