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初中数学中考复习 天津市河北区2019年中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份初中数学中考复习 天津市河北区2019年中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年天津市河北区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算12÷（﹣4）的结果等于（ ）
A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．8
2．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．下列图形中既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．据国家统计局统计，2018年全国居民人均可支配收入28228元，比上年名义增长8.7%，扣除价格因素，实际增长6.5%．将28228用科学记数法表示为（ ）
A．28228×105 B．2822.8×102
C．2.8228×104 D．0.28228×105
5．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
8．分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
9．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
10．如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．计算（a+3）（a﹣4）的结果等于 ．
14．分解因式：x3﹣x＝ ．
15．不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣5，﹣1，0，3．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是 ．
16．若关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是 °．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．l1，l2是一条小河平行的两岸．
（Ⅰ）AB的距离等于 ；
（Ⅱ）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN（点M在l1上，点N在l2上，桥的宽度忽略），使AM+MN+NB最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的觯集为 ．
20．（8分）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次调查一共抽取了 名居民；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问答活动，得
10分者设为一等奖，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份一等奖奖品．
21．（10分）已知，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O与C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于C、D、O的一个动点，直线AM交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．
（Ⅰ）如图1，点M在⊙O的内部，求证：PN是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图2，点M在⊙O的外部，且∠AMO＝30°，求OP的长．
22．（10分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？
（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）
23．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部．
（1）求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OA′B′C′．
（Ⅰ）如图1，当点A′首次落在BC上时，求旋转角；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点B′的坐标；
（Ⅲ）如图2，当点B′首次落在x轴上时，直接写出此时点A′的坐标．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
2019年天津市河北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】根据有理数的除法法则，即可解答．
【解答】解：原式＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．
2．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：cos45°＝．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28228＝2.8228×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
5．【分析】左视图是从组合体的左面看到的，应该是两列，个数分别是2，1，据此求解．
【解答】解：从左面看到应该有2列，正方形的个数分别为2，1，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是从左面看到的，难度不大．
6．【分析】根据25＜31＜36，即可得的取值范围．
【解答】解：∵25＜31＜36，
∴5＜＜6，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
7．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
故选：A．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解： ＝1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
9．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°，求出即可．
【解答】解：
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，
∴∠A：∠B＝1：2，
即5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°是解此题的关键．
10．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3．
【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．
11．【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
12．【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】根据多项式与多项式的乘法解答即可．
【解答】解：（a+3）（a﹣4）＝a2﹣4a+3a﹣12＝a2﹣a﹣12，
故答案为：a2﹣a﹣12．
【点评】此题考查多项式与多项式的乘法，关键是根据多项式与多项式的乘法的法则计算．
14．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
15．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．
【解答】解：∵方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
故答案为：k＞﹣．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无解．
17．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．
故答案是：60；
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解可得；
（Ⅱ）取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，
取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；
同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
故答案为：取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；
同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识点．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x≤2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
∴原不等式组的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1，x≤2，x＜﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
20．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的居民数；
（Ⅱ）根据统计图中的数据可以得到平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计图中的数据可以计算出需准备多少份一等奖奖品．
【解答】解：（Ⅰ）4+10+15+11+10＝50，
即本次调查一共抽取了50名居民，
故答案为：50；
（Ⅱ）平均数是＝8.26，
众数是8，中位数是8；
（Ⅲ）800×＝160（份），
答：需准备160份一等奖奖品．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（Ⅰ）根据切线的判定得出∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA进而求出即可；
（Ⅱ）连接ON，由PM＝PN，得出∠PNM＝∠AMO＝30°，易得∠NPO＝60°，继而证得△AON是等边三角形，从而得出△OPN是直角三角形，解直角三角形即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，如图1，
则∠ONA＝∠OAN，
∵PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵∠AMO＝∠PMN，
∴∠PNM＝∠AMO，
∴∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA＝90°，
即PN与⊙O相切．
（Ⅱ）解：连接ON，如图2，
∵∠AMO＝30°，PM＝PN，
∴∠PNM＝∠AMO＝30°，∠OAN＝60°，
∴∠NPO＝60°，
∴OA＝ON，
∴△AON是等边三角形，
∴∠AON＝60°，
∴∠NOP＝30°，
∴∠PNO＝90°，
∴OP＝＝＝．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR＝AR•cos∠ARL求出答案即可；
（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL＝LR•tan∠BRL，再利用AL＝ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，
由cos∠ARL＝，得LR＝AR•cos∠ARL＝6×cos42.4°≈4.44（km）．
答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；
（2）在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，
由tan∠BRL＝，得BL＝LR•tan∠BRL＝4.44×tan45.5°≈4.44×1.02＝4.5288（km），
又∵sin∠ARL＝，得AL＝ARsin∠ARL＝6×sin42.4°≈4.02（km），
∴AB＝BL﹣AL＝4.5288﹣4.02＝0.5088≈0.51（km）．
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
23．【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得：，
解得：≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a＝27，28，29，30，
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．
根据题意，得w＝500a+600（40﹣a）＝﹣100a+24000，
∵﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝27时，能获得最大利润．此时w＝﹣100×27+24000＝21300（元）．
因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．
24．【分析】（Ⅰ）由题意得出OA＝4，OC＝2，由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，由矩形的性质得出∠OCB＝90°，OA∥BC，在Rt△OCA'中，OC＝OA'，求出∠OA'C＝30°，由平行线的性质即可得出结果；
（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，作B'E⊥BC于E，由三角函数求出B′E＝，EA′＝1，A′C＝2，得出CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，即可得出答案；
（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，由勾股定理得出B'O＝2，证明△B'A'O∽△A'FO，得出比例式，求出OF、A'F，即可得出点A′的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，OA∥BC，
在Rt△OCA'中，OC＝OA'，
∴∠OA'C＝30°，
∵OA∥BC，
∴∠AOA'＝∠OA'C＝30°，
即当点A′首次落在BC上时，旋转角为30°；
（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，
作B'E⊥BC于E，如图1所示：
∵BC∥AO，
∴∠OA′C＝∠A′OA＝30°，
∴∠B′A′E＝60°，B′E＝sin∠B′A′E×BB′＝×2＝，EA′＝cos∠B′A′E×BB′＝×2＝1，A′C＝cos∠OA′C×OA′＝×4＝2，
∴CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，B′的纵坐标为：2+，
∴点B′的坐标为：（2﹣1，2+）；
（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，如图2所示：
∵∠B'A'O＝90°，A'F⊥B'O，
∴B'O＝＝2，∠A'FO＝90°，
∵∠A'OF＝∠B'OA'，
∴△B'A'O∽△A'FO，
∴＝＝，即＝＝，
解得：OF＝，A'F＝，
∴点A的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形系数是解题的关键．
25．【分析】（1）求出C（0，﹣5）、点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）分点P在直线BC上方、点P在直线BC上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，即点C（0，﹣5），同理点B（5，0），
将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）令y＝﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5，即点A（1，0），
∵OB＝OC＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
AM＝AB＝2，
以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，
如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ＝45°，
∴PD＝PQ＝4，
设点P（x，﹣x2+6x﹣5），则点D（x，x﹣5），
①当点P在直线BC上方时，
PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝4，
解得：x＝1或4（舍去4）；
②点P在直线BC上方时，
PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝﹣4，
解得：x＝，
故点P的横坐标为1或或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2019年天津市河北区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算12÷（﹣4）的结果等于（ ）
A．﹣8 B．﹣3 C．3 D．8
2．cos45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．下列图形中既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．据国家统计局统计，2018年全国居民人均可支配收入28228元，比上年名义增长8.7%，扣除价格因素，实际增长6.5%．将28228用科学记数法表示为（ ）
A．28228×105 B．2822.8×102
C．2.8228×104 D．0.28228×105
5．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．计算的结果为（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C． D．
8．分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
9．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
10．如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；
②a﹣b+c＜0；
③x（ax+b）≤a+b；
④a＜﹣1．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．计算（a+3）（a﹣4）的结果等于 ．
14．分解因式：x3﹣x＝ ．
15．不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣5，﹣1，0，3．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是 ．
16．若关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
17．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是 °．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．l1，l2是一条小河平行的两岸．
（Ⅰ）AB的距离等于 ；
（Ⅱ）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN（点M在l1上，点N在l2上，桥的宽度忽略），使AM+MN+NB最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的觯集为 ．
20．（8分）为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次调查一共抽取了 名居民；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问答活动，得
10分者设为一等奖，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份一等奖奖品．
21．（10分）已知，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O与C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于C、D、O的一个动点，直线AM交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．
（Ⅰ）如图1，点M在⊙O的内部，求证：PN是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图2，点M在⊙O的外部，且∠AMO＝30°，求OP的长．
22．（10分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？
（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ）
23．（10分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部．
（1）求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中有矩形OABC，A（4，0），C（0，2），将矩形OABC绕原点O逆时针旋转得到矩形OA′B′C′．
（Ⅰ）如图1，当点A′首次落在BC上时，求旋转角；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点B′的坐标；
（Ⅲ）如图2，当点B′首次落在x轴上时，直接写出此时点A′的坐标．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
2019年天津市河北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】根据有理数的除法法则，即可解答．
【解答】解：原式＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．
2．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：cos45°＝．
故选：B．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：28228＝2.8228×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
5．【分析】左视图是从组合体的左面看到的，应该是两列，个数分别是2，1，据此求解．
【解答】解：从左面看到应该有2列，正方形的个数分别为2，1，
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是了解左视图是从左面看到的，难度不大．
6．【分析】根据25＜31＜36，即可得的取值范围．
【解答】解：∵25＜31＜36，
∴5＜＜6，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解决本题的关键．
7．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝x+1，
故选：A．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解： ＝1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
9．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°，求出即可．
【解答】解：
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，
∴∠A：∠B＝1：2，
即5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5∠A＝180°是解此题的关键．
10．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3．
【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．
11．【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
12．【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x＝1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b＝﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．【分析】根据多项式与多项式的乘法解答即可．
【解答】解：（a+3）（a﹣4）＝a2﹣4a+3a﹣12＝a2﹣a﹣12，
故答案为：a2﹣a﹣12．
【点评】此题考查多项式与多项式的乘法，关键是根据多项式与多项式的乘法的法则计算．
14．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
15．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的范围．
【解答】解：∵方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
故答案为：k＞﹣．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无解．
17．【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．
故答案是：60；
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解可得；
（Ⅱ）取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，
取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；
同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
故答案为：取格点C，连接AC，使AC⊥l1，取格点E、F，连接EF，使EF∥l1，与AC交于点A′；
同理，作点B′，连接AB′与l1交于点M，连接A′B与l2交于点N，连接MN即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握勾股定理、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识点．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜﹣1，
解不等式②，得x≤2，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
∴原不等式组的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1，x≤2，x＜﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
20．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得本次调查的居民数；
（Ⅱ）根据统计图中的数据可以得到平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计图中的数据可以计算出需准备多少份一等奖奖品．
【解答】解：（Ⅰ）4+10+15+11+10＝50，
即本次调查一共抽取了50名居民，
故答案为：50；
（Ⅱ）平均数是＝8.26，
众数是8，中位数是8；
（Ⅲ）800×＝160（份），
答：需准备160份一等奖奖品．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（Ⅰ）根据切线的判定得出∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA进而求出即可；
（Ⅱ）连接ON，由PM＝PN，得出∠PNM＝∠AMO＝30°，易得∠NPO＝60°，继而证得△AON是等边三角形，从而得出△OPN是直角三角形，解直角三角形即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，如图1，
则∠ONA＝∠OAN，
∵PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵∠AMO＝∠PMN，
∴∠PNM＝∠AMO，
∴∠PNO＝∠PNM+∠ONA＝∠AMO+∠ONA＝90°，
即PN与⊙O相切．
（Ⅱ）解：连接ON，如图2，
∵∠AMO＝30°，PM＝PN，
∴∠PNM＝∠AMO＝30°，∠OAN＝60°，
∴∠NPO＝60°，
∴OA＝ON，
∴△AON是等边三角形，
∴∠AON＝60°，
∴∠NOP＝30°，
∴∠PNO＝90°，
∴OP＝＝＝．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR＝AR•cos∠ARL求出答案即可；
（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL＝LR•tan∠BRL，再利用AL＝ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，
由cos∠ARL＝，得LR＝AR•cos∠ARL＝6×cos42.4°≈4.44（km）．
答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；
（2）在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，
由tan∠BRL＝，得BL＝LR•tan∠BRL＝4.44×tan45.5°≈4.44×1.02＝4.5288（km），
又∵sin∠ARL＝，得AL＝ARsin∠ARL＝6×sin42.4°≈4.02（km），
∴AB＝BL﹣AL＝4.5288﹣4.02＝0.5088≈0.51（km）．
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．
23．【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；
（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得：，
解得：≤a≤30，
∵a为解集内的正整数，
∴a＝27，28，29，30，
∴有4种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；
方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；
方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；
方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；
②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．
根据题意，得w＝500a+600（40﹣a）＝﹣100a+24000，
∵﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝27时，能获得最大利润．此时w＝﹣100×27+24000＝21300（元）．
因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．
【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．
24．【分析】（Ⅰ）由题意得出OA＝4，OC＝2，由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，由矩形的性质得出∠OCB＝90°，OA∥BC，在Rt△OCA'中，OC＝OA'，求出∠OA'C＝30°，由平行线的性质即可得出结果；
（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，作B'E⊥BC于E，由三角函数求出B′E＝，EA′＝1，A′C＝2，得出CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，即可得出答案；
（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，由勾股定理得出B'O＝2，证明△B'A'O∽△A'FO，得出比例式，求出OF、A'F，即可得出点A′的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
由旋转的性质得：OA'＝OA＝4，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，OA∥BC，
在Rt△OCA'中，OC＝OA'，
∴∠OA'C＝30°，
∵OA∥BC，
∴∠AOA'＝∠OA'C＝30°，
即当点A′首次落在BC上时，旋转角为30°；
（Ⅱ）由矩形和旋转的性质得：OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝OC＝2，
作B'E⊥BC于E，如图1所示：
∵BC∥AO，
∴∠OA′C＝∠A′OA＝30°，
∴∠B′A′E＝60°，B′E＝sin∠B′A′E×BB′＝×2＝，EA′＝cos∠B′A′E×BB′＝×2＝1，A′C＝cos∠OA′C×OA′＝×4＝2，
∴CE＝CA′﹣EA′＝2﹣1，B′的纵坐标为：2+，
∴点B′的坐标为：（2﹣1，2+）；
（Ⅲ）过点A'作A'F⊥x轴于F，如图2所示：
∵∠B'A'O＝90°，A'F⊥B'O，
∴B'O＝＝2，∠A'FO＝90°，
∵∠A'OF＝∠B'OA'，
∴△B'A'O∽△A'FO，
∴＝＝，即＝＝，
解得：OF＝，A'F＝，
∴点A的坐标为（﹣，）．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、旋转的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形系数是解题的关键．
25．【分析】（1）求出C（0，﹣5）、点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）分点P在直线BC上方、点P在直线BC上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，即点C（0，﹣5），同理点B（5，0），
将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）令y＝﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5，即点A（1，0），
∵OB＝OC＝5，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
AM＝AB＝2，
以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ＝AM＝2，PQ⊥BC，
如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ＝45°，
∴PD＝PQ＝4，
设点P（x，﹣x2+6x﹣5），则点D（x，x﹣5），
①当点P在直线BC上方时，
PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝4，
解得：x＝1或4（舍去4）；
②点P在直线BC上方时，
PD＝﹣x2+6x﹣5﹣x+5＝﹣4，
解得：x＝，
故点P的横坐标为1或或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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