2023年江苏省苏州市姑苏区联盟学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年江苏省苏州市姑苏区联盟学校中考三模数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市姑苏区联盟学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在10，，0，这四个数中，绝对值最大的是（    ）
A．10 B． C．0 D．
2．钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米,170000用科学记数法表示为(　　)
A．1.7×103 B．1.7×104 C．17×104 D．1.7×105
3．计算的结果等于（   ）
A．-4 B．4 C．-9 D．9
4．甲、乙两组各有名学生，组长绘制了本组最近网上学习平均一天所需时间的统计图表如下，比较两组网上学习平均一天所需时间的中位数，下列说法正确的是（    ）
甲组名学生网上学习平均一天所需的统计表
平均一天所需时间




学生数




乙组名同学网上学习平均一天所需时间统计图

A．甲组比乙组大 B．乙组比甲组大 C．甲乙两组相同 D．无法判断
5．如图，∠AOD－∠AOC等于(　　)

A．∠AOC B．∠BOC
C．∠BOD D．∠COD
6．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分(阴影)的量角器圆弧(弧AB)对应的中心角(∠AOB)为120°，AO的长为4cm，OC=2cm，则图中阴影部分的面积为(　  　)

A．(＋)cm2 B．(＋)cm2 C．(＋2)cm2 D．(＋2)cm2
7．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，设甲出发x秒可追上乙，则可列方程为（    ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰直角三角形的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点B的坐标为，则线段的长为（    ）

A．4 B．6 C．7 D．7.5

二、填空题
9．已知，那么的值为__________．
10．若实数x满足x2－2x－1＝0，则－2x2＋4x＋2020＝________．
11．计算：____．
12．中，，则中线的取值范围是____________．
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．

14．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点．（如图）
求作：直线的垂线，使它经过点．
作法：如图2
（1）在直线上任取两点，；
（2）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；
（3）作直线．
所以直线就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是_________________________________________．

15．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是．现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是_____．

16．如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________．


三、解答题
17．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．
(1)直接写出的值；
(2)求的值．
18．解方程：
19．（1）若a﹣b＝2，ab＝﹣3，则﹣的值为；
（2）分解因式：（a+4）（a﹣4）﹣4+a
20．如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．
  
(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是________；
(2)若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点F．

(1)如图1，当时：①的度数是 ；②求证：点F为的中点；
(2)当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图）中的情形进行证明；若不成立，请说明理由．
22．某校组织1000名学生参加“展示我美丽祖国 ”庆国庆的自拍照片的评比活动.随机机取一些学生在评比中的成绩制成的统计图表如下：
频数分布表
分数段
频数
百分比
80≤x＜85
a
20%
85≤x＜90
80
b
90≤x＜95
60
30%
95≤x＜100
20
     
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）写出表中a、b的数值：a= ，b= ；
（2）补全频数分布表和频数分布直方图；
（3）如果评比成绩在95分以上（含95 分）的可以获得一等奖，试估计该校参加此次活动获得一等 奖的人数.
23．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(4, 0)，点C的坐标为(0， 6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动一周，设点P移动的时间为t．
（1）写出点B的坐标；
（2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5时，求点P移动的时间；
（3）当三角形OBP的面积为8时，直接写出点P的坐标．

24．在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，把∠B折叠，使点B落在AC上的点B´处，折痕为DE，记∠CDB´=α
（1）当时，tanα= ；
（2）当时，tanα= ；
（3）当时，tanα= ；
（4）猜想：当时，tanα= ；并证明你的结论．

25．2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分、、三个场馆，且购买2张场馆门票和1张场馆门票共需要140元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观．
(1)求场馆和场馆门票的单价．
(2)已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票．
①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案．
26．如图1，已知在矩形中，点P是边的中点，以P为圆心，长为半径画半圆．
  
(1)如图2，连接，若，，求的半径．
(2)如图3，连接，并过P点作，交线段于点Q，连接，
①直接写出，，之间的数量关系______．
②求证为的切线．
③若点Q在直线上，设，当k为何值时，，请直接写出k的值______．
27．在中，，，于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作，交直线BC于点F．

(1)[探究发现]：如图1，若，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由；
(2)[数学思考]：
①如图2，若点E在线段AC上，求证：；
②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)[拓展应用]：若，，，求CE的长．（可结合题意，另行画图）

参考答案：
1．D
【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴ 绝对值最大的数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
2．D
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数,
故170000用科学记数法表示为1．7×105
故选D．
考点：科学记数法—表示较大的数．
3．A
【分析】根据有理数除法法则运算即可.
【详解】原式.
故选：A.
【点睛】此题属于容易题，主要考查有理数的运算.失分的原因是没有掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
4．C
【分析】根据中位数定义分别求解，从而可得答案．
【详解】解：由统计表知甲组的中位数为：（h），
乙组学生网上学习时间8h的人数有：（人），
乙组学生网上学习时间5h的人数有：（人），
乙组学生网上学习时间7h的人数有：（人），
乙组学生网上学习时间6h的人数有：12-2-3-3=4（人），
先按从小到大排序为：  
所以乙组的中位数为 （h），
则甲组和乙组的中位数相等，
故选：C．
【点睛】本题主要考查中位数和扇形统计图，根据扇形图中各项目的圆心角求得其数量是解题的关键．
5．D
【分析】如果一条射线在一个角的内部，那么射线所分成的两个小角之和等于这个大角．
【详解】解：如右图所示，

∵∠AOD =∠AOC+∠COD，
∴∠AOD－∠AOC=∠COD，
故选D．
【点睛】本题考查了角的计算．
6．C
【分析】根据题意，可得阴影部分的面积=扇形的面积+的面积，代入数据计算可得答案.
【详解】，
，
，
，
在中，，，
故阴影部分的面积.
故选：.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解决本题的关键是把阴影部分合理分割为规则图形的面积.
7．A
【分析】根据路程＝速度×时间结合甲出发x秒可追上乙，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：7x−5x＝8．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．C
【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，∠AOB=90°，证明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案．
【详解】解：∵B（5，2），BE⊥x轴，
∴OE=5，BE=2，
∵△ABO为等腰直角三角形，
∴OA=BO，∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠DAO=∠BOE，
在△ADO和△OEB中，
，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴AD=OE=5，OD=BE=2，
∴DE=OD+OE=5+2=7．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得，由此即可得．
【详解】解：，
则，
所以，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
10．2018
【分析】由x2－2x－1＝0可得：，然后整体代入原式即可求出答案．
【详解】解：x2－2x－1＝0，
，
，
故答案为：2018．
【点睛】本题主要是考查了代数式的求值，整体代入法是求解该类问题的关键．
11．1
【分析】据同分母加减，分母不变．分子相加减，求解即可．
【详解】解：，
故答案为：1
【点睛】此题考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
12．
【分析】延长到，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长到，使，

∵是边上的中线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13．35°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
14．到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）
【分析】根据线段垂直平分线的判定及可得解．
【详解】解：由尺规作图过程可知，，

∴点在线段的垂直平分线上，点也在线段的垂直平分线上，
∴，
∴作图依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
连接的依据是两点确定一条直线．
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
【点睛】本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．
15．
【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可．
【详解】解：由图象可知，10s时，P、E重合，cm
根据题意，得
，
∴，
解得AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴AE==8，
由图象可知cm，
∴DE=4cm，
∴AD=12cm，
∴矩形的面积为：12×6=
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
16．
【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值．
【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2
∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值
由题意可得：CD=,AE=
∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和
∴当这三点共线时，AE+CD最小
设该直线的解析式为y=kx+b
解得
∴
当y=0时，x=．
故填．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键．
17．(1)，，；
(2)5或1．

【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可；
（2）把各自的值代入原式计算即可求出值．
【详解】（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴，，；
（2）当时，原式；
当时，原式，
则原式的值为5或1．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．
【分析】两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
19．（1）；（2）（a﹣4）（a+5）
【分析】（1）先将所要求的式子进行化简得到，再将已知代入计算即可；
（2）先将﹣4+a变为+（a-4），然后再提取公因式即可．
【详解】解：（1）﹣=，
∵a﹣b＝2
∴b-a=-2
将b-a=-2，ab＝﹣3代入得﹣==；
（2）（a+4）（a﹣4）﹣4+a＝（a﹣4）（a+4+1）＝（a﹣4）（a+5）．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分解因式，解题的关键是对原式进行变形．
20．(1)
(2)

【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解．
【详解】（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是，
故答案为：．
（2）画出树状图如图，
  
共有16种等可能结果，符合题意的有6种，
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键．
21．(1)①的度数是；②见解析
(2)成立，证明见解析

【分析】（1）①由旋转的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出；
②过点作交的延长线于，则，证明，由全等三角形的性质得出，即可得证；
（2）过点作交的延长线于，则，证出，证明，由全等三角形的性质得出，即可得证．
【详解】（1）解：①∵将绕点B顺时针旋转，得到，，
∴，，
∴，
故答案为：；
②证明：如图，过点A作交的延长线于G，则．

，
，
．
．
，，
，
，
．
由旋转可知，
．
又，，
，
，
∴点F是的中点．
（2）成立．
证明：如图，过点A作交的延长线于G，则，

，，
，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
∴点F为的中点．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．（1）40，40%；（2）见解析；（3）100人.
【分析】（1）首先根据的频数和百分比求得抽取的样本总数，然后用样本容量减去其他小组的人数即可求得a值，用80除以样本容量即可求得b值；
（2）用20除以样本容量即可求得的百分比，依据（1）中结论即可补全统计表及统计图；
（3）用总人数乘以获得一等奖的百分率即可估计获得一等奖的人数．
【详解】解：
（1）∵抽查的学生总数为：（人），
∴；
，
故答案为：40；40%；
（2）成绩在的学生人数所占百分比为：，
故频数分布表为：
分数段
频数
百分比
80≤x＜85
40
20%
85≤x＜90
80
40%
90≤x＜95
60
30%
95≤x＜100
20
10%
频数分布直方图为：

（3）该校参加此次活动获得一等奖的人数为：（人），
答：估计该校参加此次活动获得一等奖的人数是100人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表的有关知识，理解题意，充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是解题关键．
23．（1）；（2）秒或秒；（3）点P的坐标为，或，或，或．
【分析】（1）由矩形的性质可得AB=OC=6，BC=OA=4，可求点B坐标；
（2）由点P到x轴的距离为5得出点P运动的路程，从而得出答案．
（3）分点P在OC上，在BC上，在AB上，在AO上四种情况讨论，由三角形的面积公式可求点P坐标；
【详解】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），
∴OA=4，OC=6，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB=OC=6，BC=OA=4，
∴点B（4，6）；
（2）当点P到x轴的距离为5时，OP=5或OC+CB+BP=11，
∴点P移动的时间为s或s．
（3）如图，

①当点P在OC上时，S△OBP=•OP1×4=8，
∴OP1=4，
∴点P（0，4）；
②当点P在BC上，S△OBP=BP2×6=8，
∴BP2=，
∴CP2=4-=，
∴点P（ ，6）；
③当点P在AB上，S△OBP=BP3×4=8，
∴BP3=4，
∴AP3=2，
∴点P（4，2）；
④当点P在AO上，S△OBP=OP4×6=8，
∴OP4=，
∴点P（，0）．
综上，点P的坐标为（0，4）或（，6）或（4，2）或（，0）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握分类讨论思想和数形结合思想．
24．（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【分析】（1）先根据折叠的性质与三角形的外角性质可得，当时，，设，则，设，则，勾股定理求得，根据正切的定义即可求得的值；
（2）（3）（4）方法同（1）．
【详解】,

折叠




（1）当时，
设，则

设，则



故答案为：；   
（2）当时，
设，则，
设，则



故答案为：；   
（3）当时，
设，则，
设，则



故答案为：；    
（4）；理由如下：
当时，则=，
设，则，
设，
则，
∴，
∴a=，
∴tanα=．
故答案为：
【点睛】本题考查了正切的定义，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
25．(1)场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元
(2)①1210元；②所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张

【分析】（1）设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意得：①2张场馆门票的费用＋1张场馆门票的费用＝140元，②3张场馆门票的费用＋2张场馆门票的费用＝230元，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可；
（2）①若购买场馆门票赠送的场馆门]票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，，又根据题意要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，所以，再结合是正整数，利用一次函数的性质可求解；
②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门]票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元，设购买场馆门票张，购买场馆门]票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得：，整理得：，再结合、都是正整数，可求解．
【详解】（1）解：设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意，得：
，
解方程组，得：．
答：场馆门票的单价为50元，场馆门]票的单价为40元．
（2）已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张场馆门票赠送1张场馆门票，
①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
而要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，
∴，
∴，
∵是正整数，
∴，
∴当时，取得最小值，
最小值为：，
即此次门票所需总金额的最小值为1210元；
②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元，
设购买场馆门票张，购买场馆门票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得：
，
整理得：
，
∵、都是正整数，
∴是5的倍数，
满足条件的、有、，
若、，则，；
若、，则，，．
所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，．购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张．
【点睛】本题主要考查二元一次方程（组）的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识．第（2）问中②小题中，得到不定方程，并根据题干中的信息确定、都是正整数是解题关键．
26．(1)
(2)①；②见解析；③4或1

【分析】（1）利用勾股定理求出即可求解；
（2）①延长，交于点F，利用证明，得出，利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用线段的和差关系即可得出结论；②过点P作于点H，利用等边对等角可得，利用角平分线的性质定理可得，最后利用切线的判定即可证明；③设，则，，，证明，利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出，然后分点Q在线段和线段的延长线上讨论即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴．
在中，，且，，
∴，
∴．
又∵点P是边BC的中点，
∴．
（2）解：①
理由：延长，交于点F，
  
∵在矩形中，，且点P是边的中点，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
又，
∴；
②过点P作于点H，
  ，
∵，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴为的切线．
③设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
当Q在线段上时，
  ，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得，（舍去）；
当点Q在线段的延长线上时，
  
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得，（舍去）；
综上，k的值为1或4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线以及合理分类讨论是解题的关键．
27．(1)DE＝DF，见解析
(2)①见解析；②成立，见解析
(3)或

【分析】（1）根据 得出BC＝AC ，根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，得出∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，根据CD⊥AB，DE⊥DF  ，得出∠CDE＝∠BDF  ，再证△CDE≌△BDF （AAS），得出DE＝DF即可；
（2）①根据∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°，得出∠A＝∠BCD，可证∠ADE＝∠CDF，得出△ADE∽△CDF ， 利用相似三角形性质得出，根据∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ，可证 △ADC∽△CDB ，得出，根据 ， 得出；
②仍然成立，根据∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，得出∠CDE＝∠BDF，再证△ADE∽△CDF ， 得出，根据△ADC∽△CDB，得出， 根据，可证即可；
（3）根据△ADE∽△CDF，得出，可得 ，证出CF＝2AE ，根据DF＝，可得DE＝，连结EF，根据勾股定理EF＝，①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2， 列出方程CE2+ [ 2（CE－）] 2＝40 ，②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（+CE）] 2＝40 ，③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE），根据勾股定理CE2+CF2＝EF2，列出方程CE2+ [ 2（－CE）] 2＝40，解方程即可．
【详解】（1）结论为：DE＝DF
证明：∵
∴BC＝AC ，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠B＝∠ACD＝45°，CD＝BD，
∵CD⊥AB，DE⊥DF  ，
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°
∴∠CDE＝∠BDF  ，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF （AAS），
∴DE＝DF，
（2）①∵∠A+∠ACD＝90°∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠A＝∠BCD，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF ，
∴，
∵∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B ，
∴ △ADC∽△CDB ，
∴，
∵ ，
∴；
②仍然成立，
∵∠CDE+∠BDE＝90°，∠BDF+∠BDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠A＝∠BCD ，
∴△ADE∽△CDF ，
∴，
∵△ADC∽△CDB，  
∴，  
∵，  
∴；
（3）由（2）得△ADE∽△CDF，
∴，  
∴ ，
∴CF＝2AE ，
∵DF＝，  
∴DE＝，
连结EF，
∵∠EDF＝90°，
∴EF＝，
①若点E在线段CA延长线上，CF＝2AE＝2（CE－AC）＝2（CE－），
∵CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+ [ 2（CE－）] 2＝40 ，
∴CE＝或CE＝（舍去），
∴CE＝；

②若点E在线段AC延长线上，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），
∵CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+ [ 2（+CE）] 2＝40 ，
∴CE＝或CE＝－(舍去)，
∴CE＝；

③若点E在线段AC上，CF＝2AE＝2（AC－CE）＝2（－CE），
∵CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+ [ 2（－CE）] 2＝40，
∴CE＝或CE＝－（均不满足题意），

综上所述，CE＝或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，三角形全等判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．