2020-2021学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题（共8题，每题5分）
1．（5分）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示　　
A．甲赢三局 B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次
2．（5分）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．（5分）水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为　　
A． B． C． D．
4．（5分）某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为　　
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
5．（5分）已知复数，则　　
A． B． C． D．
6．（5分）将边长为2的正方形沿对角线折成大小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是　　
A．异面直线与所成的角为
B．是等边三角形
C．面积的最小值为
D．四面体的外接球的体积为
7．（5分）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
8．（5分）已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是　　
A．存在，使得
B．存在，使得
C．的最大值为
D．的最大值为
二、多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分）
9．（5分）下列命题中错误的有　　
A．若复数满足，则是虚数
B．若复数，则其虚部不存在
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若复数、满足，则
10．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有　　

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想：
11．（5分）在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是　　

A．
B．二面角的正切值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍
12．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　
A．函数在时，取得极小值
B．对于，，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）若复数满足，则的最大值为　　．
14．（5分）二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是　　．
15．（5分）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：
（1）球的表面积为　　；
（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是　　．
16．（5分）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是　　
四、解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分）
17．（10分）已知是复数，和都是实数，
（1）求复数；
（2）设关于的方程有实根，求纯虚数．
18．（12分）从，，等6人中选出4人排成一排．
（1）若必须被选中，有多少种排法？
（2）若，，三人不全被选中，有多少种排法？
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求四棱锥的体积．

20．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．
21．（12分）设整数，记，．
（1）若令．求：
①；
②．
（2）若的展开式中与两项的系数相等，求的值．
22．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，对，，
①证明：；
②若恒成立，求实数的范围；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8题，每题5分）
1．（5分）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示　　
A．甲赢三局 B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次
【分析】根据题意，即甲在三局比赛中得了3分，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，即甲在三局比赛中得了3分，
有甲赢一局或甲、乙平局三次两种情况，
故选：．
【点评】本题考查随机变量的定义和应用，涉及随机事件的定义，属于基础题．
2．（5分）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为　　
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【分析】每人至少一本，并且全部分完，需要从4个元素中选出2个元素，和另外2个元素一起全排列即可．
【解答】解：由题意知4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，并且全部分完，
需要从4个元素中选出2个元素，和另外2个元素一起全排列，
共有种方法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，求解本题关键是正确理解每个人至少一本且要全部分完这个条件，本题是一个中档题．
3．（5分）水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以的速度向外扩大，则从水滴接触水面后末时圆面积的变化速率为　　
A． B． C． D．
【分析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，即可求出导数．
【解答】解：水波的半径以的速度向外扩张
水波面积，
水波面积的膨胀率，
当时，，
则两秒末时圆面积的变化速率为．
故选：．
【点评】本题考查变化的快慢与变化率，解决本题的关键是写出水波的面积对于时间的函数关系式，属于基础题．
4．（5分）某种心脏手术成功率为0.7，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率．先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.7，故我们用0、1、2表示手术不成功，3、4、5、6、7、8、9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为　　
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【分析】根据题意，分析10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的数目，由古典概型计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，10组随机数：812、832、569、683、271、989、730、537、925、907，
表示“3例心脏手术全部成功”的有569、683、537、989，共4个，
则“3例心脏手术全部成功”的概率为0.4；
故选：．
【点评】本题考查模拟方法估计概率，注意概率的计算公式，属于基础题．
5．（5分）已知复数，则　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解．
【解答】解：因为，
则．
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
6．（5分）将边长为2的正方形沿对角线折成大小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是　　
A．异面直线与所成的角为
B．是等边三角形
C．面积的最小值为
D．四面体的外接球的体积为
【分析】对于，易知，进而判断错误；对于，易知，，，由此判断不是等边三角形；对于，，而当时，最小，由此可求得最小值，进而判断；对于，外接球的半径，利用球的体积公式计算即可判断．
【解答】解：如图所示，，
对于，，，，，平面，
平面，
又平面，
，故选项错误；
对于，，，
即为二面角的平面角，则，，
为等边三角形，
，
而，由此不是等边三角形，故选项错误；
对于，平面，
，
，
而当时，最小，故，于是，故选项正确；
对于，由于，故是外接球的球心，且半径为，
，故选项错误．
故选：．

【点评】本题考查立体几何的综合运用，涉及了直线与平面位置关系的判定，三角形面积，二面角以及外接球的体积等知识点，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
7．（5分）定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【分析】求出函数的导数，结合新定义，求出函数的零点，然后判断大小即可．
【解答】解：由题意：函数，，
所以为的根，解得，即．
，，为的根，易得，
，，
为的根，即函数的零点，
又因为：（2），（4），；
所以．
故选：．
【点评】本题考查函数的极值的求法，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（5分）已知为自然对数的底数，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是　　
A．存在，使得
B．存在，使得
C．的最大值为
D．的最大值为
【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：函数的定义域为，
则函数的导数，
若函数存在极大值点，
则有解，即有两个不等的正根，
．
由得，，
分析易得的极大值点为，
，，
，
则，
设，，
的极大值恒小于0等价为恒小于0，
，
在上单调递增，
故，
得，即，
故的最大值为是，
故选：．
【点评】本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．
二、多选题（共5题，每题至少两个正确答案，每题5分）
9．（5分）下列命题中错误的有　　
A．若复数满足，则是虚数
B．若复数，则其虚部不存在
C．“”是“”的充分不必要条件
D．若复数、满足，则
【分析】利用复数的运算法则判断；复数的概念判断；充要条件判断；复数的运算法则判断．
【解答】解：复数满足，令，，所以，是虚数，所以正确；
复数，则其虚部为0，所以不正确；
“”等价于，所以可得“”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，所以正确．
复数、满足，则与是共轭复数，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的运算以及性质的应用，是基础题．
10．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有　　

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想：
【分析】由课本知识可判断选项、、，由，，，观察规律可判断选项．
【解答】解：由课本可知、、显然正确，，当系数超过10时，需要向前进一位，故，所以错误．
故选：．
【点评】本题主要考查归纳推理，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系，属于基础题．
11．（5分）在正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是　　

A．
B．二面角的正切值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍
【分析】由，且与不垂直，可判断选项；过点作，则即为二面角的平面角，计算可知；异面直线与所成的角即为直线与所成角，结合余弦定理可判断选项；点到平面的距离与点到平面的距离之比为，求出，可判断选项．
【解答】解：在正方体中，显然，且与不垂直，故与不垂直，选项错误；
过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
不妨设正方体的棱长为2，则，
，选项正确；
取中点，连接，，则，故异面直线与所成的角即为直线与所成角，
而，
故在△中，由余弦定理可得，选项正确；
连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为，
而，故，选项正确．
故选：．

【点评】本题考查立体几何的综合运用，涉及了异面直线所成角，二面角以及点到平面的距离等知识点，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　
A．函数在时，取得极小值
B．对于，，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
【分析】先求导数，确定当，时，单调性，即可确定在处，不是极值点，故错误，也可确定，，，故正确；令，求导，分析单调性，即可分析出答案正确；首先将转换为求函数的最值问题，再利用导数对分，，三种情况讨论即可确定的最大值和的最小值，从而判断说法的正误．
【解答】解：因为，
当，时，，单调递减，
所以函数在处，不是极值点，故错误．
所以对于，，，故正确，
令，，
由上可知，当时，，
所以在上是减函数，
若
所以，
即，故正确，
当时，“”等价于“”，
令，，
当时，对恒成立，
当时，因为对，，
所以在区间上单调递减，
从而，，对恒成立，
当时，存在唯一的使得成立，
若，，在上单调递增，且，
若，，，在，上单调递减，且，在，上恒成立，
必须使恒成立，即，
综上所述，当时，，对任意恒成立，
当时，，对任意恒成立，
所以若，对恒成立，则的最大值为，的最小值为1，
所以正确．
故选：．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间和最值，属于中档题．
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）若复数满足，则的最大值为　　．
【分析】先设出复数的代数形式，然后结合复数的几何意义及圆的性质可求．
【解答】解：设，由，
故所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的几何意义是圆上点到的距离，
根据圆的性质可知，最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．
14．（5分）二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，则展开式中项的系数是　　．
【分析】根据二项式系数规律可求得值，然后可解决此题．
【解答】解：二项式的展开式中，仅有第九项的二项式系数取得最大值，．
通项为：．
由得：，则展开式中项的系数是：．
故答案为：．
【点评】本题考查二项式定理、组合数，考查数学运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则：
（1）球的表面积为　　；
（2）若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是　　．
【分析】（1）一条侧棱垂直于底面的外接球的球心为过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，由勾股定理求出外接球的半径，进而求表面积，（2）过做垂直于的截面最小，既是底面外接圆的半径．
【解答】解：（1）由题意如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，
所以底面外接圆的半径，球心为过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，
即，连接，
设外接球的半径为，所以，
所以外接球的表面积；
（2）若是的中点，过点作球的截面，，重合，
则截面面积的最小时是与垂直的面，既是三角形的外接圆，
而三角形 是外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为；
故答案分别为：，．

【点评】考查算法，即球的表面积公式．属于中档题．
16．（5分）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是　，　
【分析】法一：由题意可得，设，，求出导数和单调区间、极小值点和最小值点，可令最小值为0，解方程可得，，进而得到所求最小值；法二：由于与互为反函数，故图象关于对称，采用极限思想求解．
【解答】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，
即为，
设，，，
令，可得，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得和有且只有一个交点，
设为，当时，，递增；
当时，，递减．
即有在处取得极小值，且为最小值．
即有，令，
可得，．
则当时，不等式恒成立．
则的最小值为
另解：由于与互为反函数，
故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，
此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，
即可得的最小值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．
四、解答题（共6题，第17题10分，其余每题各12分）
17．（10分）已知是复数，和都是实数，
（1）求复数；
（2）设关于的方程有实根，求纯虚数．
【分析】（1）设，根据为实数可求出的值，然后根据复数的除法求出的值，根据为实数可求出的值，从而求出复数；
（2）设纯虚数代入方程，然后根据复数相等的定义可求出纯虚数．
【解答】解：（1）设，，，则
为实数

为实数
则
（2）设纯虚数，，则有实根
即
，
纯虚数为
【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及纯虚数的定义和复数相等的充要条件，属于中档题．
18．（12分）从，，等6人中选出4人排成一排．
（1）若必须被选中，有多少种排法？
（2）若，，三人不全被选中，有多少种排法？
【分析】（1）必须被选中，则从剩下的5人选3人再全排即可；
（2）利用间接法，先求出没有限制的种数，再排除，，三人全选中的种数．
【解答】解：（1）必须被选中，则从剩下的5人选3人即可，故有种；
（2）没有条件的排法有种，，，三人全选中的排法种，
则，，三人不全被选中，有种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求四棱锥的体积．

【分析】（1）取的中点，连接，则，由平面平面，推出平面，知，再由线面垂直的判定定理，得证；
（2）连接，易知即为所求，再在中，由，即可得解；
（3）由平面，知，再由勾股定理求得的长，然后由，得解．
【解答】（1）证明：取的中点，连接，
为等边三角形，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，，、平面，
平面．

（2）解：连接，
由（1）知，平面，
为直线与平面所成角，
在中，，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：平面，平面，
，
，
．
【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，线面角和棱锥体积的求法，熟练掌握线与面垂直的判定定理和性质定理，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出当时的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（2）设点是函数图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点，可得方程有三个不同的实数解，设，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；
（2）设点是函数图象上的切点，
则过点的切线斜率，
所以过点的切线方程为，
因为点在该切线上，
所以，
即，
若过点可作函数图象的三条不同切线，
则方程三个不同的实数根，
令，
则函数的图象与轴有三个不同的交点，
，解得或，
因为，（a），
所以令（a），解得：，
所以实数的取值范围是．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．
21．（12分）设整数，记，．
（1）若令．求：
①；
②．
（2）若的展开式中与两项的系数相等，求的值．
【分析】（1）①当时即可求出；
①两边同乘以，再求导后，再令即可求出；
（2）分别求出项的系数为，项的系数为，解得即可．
【解答】解：（1），，
①：当时，，
②对，两边同乘以得，
，
两边求导可得，
，
当时，．
（2）因为，其中项仅出现在时的展开式中，
其中项的系数为，
而项仅出现时的展开式中，项的系数为，
因此，
注意，化简的，
故只能是为奇数且，解得．
【点评】本题考查了二项式定理及二项式系数，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属中档题．
22．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，对，，
①证明：；
②若恒成立，求实数的范围；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
【分析】（1）①将代入，求导可知在，上为增函数，由此容易得证；②依题意，在，上恒成立，然后分及讨论即可；
（2）问题转化为在上有解，令，求出函数的值域即可．
【解答】解：（1）①证明：当时，，则，，
由于当时，，，故，
在，上为增函数，
又，
当时，，
在，上为增函数，
，即得证；
②依题意，在，上恒成立，
设，则，由①可知，
当时，，此时在，上单调递增，故，符合题意；
当时，由①知，在，上为增函数，则必存在，，使得，
且当，时，，当，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增，
，不符合题意．
综上，实数的取值范围为，；
（2），则依题意有，在上有解，
令，则在上恒成立，
在上单调递减，
又时，，时，，
，，故实数的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 15:57:20；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394