2023年湖南省株洲市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省株洲市中考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

3.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从名男生和名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一技术人员用刻度尺单位：测量某三角形部件的尺寸如图所示，已知，点为边的中点，点、对应的刻度为、，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列哪个点在反比例函数的图象上？(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将关于的分式方程去分母可得(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，在矩形中，，与相交于点，下列说法正确的是(    )

A. 点为矩形的对称中心
B. 点为线段的对称中心
C. 直线为矩形的对称轴
D. 直线为线段的对称轴

9.  如图所示，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是(    )

A. 恒大于 B. ，同号 C. 异号 D. 以上说法都不对

10.  申报某个项目时，某个区域提交的申报表数量的前名的数据统计如图所示，则这个区域提交该项目的申报表数量的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算：______．

12.  因式分解：           ．

13.  关于的不等式的解集为______ ．

14.  如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则 ______ ．

15.  如图所示，点、、是上不同的三点，点在的内部，连接、，并延长线段交线段于点若，，则 ______ 度

16.  血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力收缩压的正常范围是：，舒张压的正常范围是：现五人、、、、的血压测量值统计如下：

则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有______ 个

17.  周礼考工记中记载有：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思是：“直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘”即：宣矩，欘宣其中，矩．
问题：图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 ______ 度

 

18.  已知实数、满足：．
若，则 ______ ；
若、、为正整数，则符合条件的有序实数对有______ 个

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图所示，在中，点、分别为、的中点，点在线段上，连接，点、分别为、的中点．
求证：四边形为平行四边形；
，，，求线段的长度．

22.  本小题分
某花店每天购进支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理该花店记录了天该种花的日需求量为正整数单位：支，统计如下表：

求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；
当时，日利润单位：元关于的函数表达式为：；当时，日利润为元．
当时，问该花店这天的利润为多少元？
求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．

23.  本小题分
如图所示，在某交叉路口，一货车在道路上点处等候“绿灯”，一辆车从被山峰遮挡的道路的点处由南向北行驶已知，，，，线段的延长线交直线于点．
求的大小；
若在点处测得点在北偏西方向上，其中，米问该轿车至少行驶多少米才能发现点处的货车？当该轿车行驶至点处时，正好发现点处的货车

 

24.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点、分别在轴负半轴，轴负半轴上，点在第三象限内，点，点在函数的图象上．
求的值；
连接、，记的面积为，设，求的最大值．

25.  本小题分
如图所示，四边形是半径为的的内接四边形，是的直径，，直线与三条线段、、的延长线分别交于点、、，且满足．
求证：直线直线；
若．
求证：≌；
若，求四边形的周长．

26.  本小题分
已知二次函数．
若，，且该二次函数的图象过点，求的值；
如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，，且，点在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
求证：．
当点在线段上，且的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
由积的乘方公式可得出结论．
本题考查了乘法公式，能灵活应用公式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据有理数的乘法运算即可得出结论．
本题考查了有理数的乘法，能灵活约分是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
从名男生和名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是，
故选：．
根据题意，可以计算出抽到的学号为男生的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，，点为线段的中点，
，
故选：．
根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长．
本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
B.，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
C.，不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意；
D.，在反比例函数的图象上，故选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为进行判断即可．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得：，
整理，得：，
故选：．
方程两边同乘，然后整理即可判断哪个选项符合题意．
本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故选项A正确，符合题意；
线段的中点是为线段的对称中心，故选项B错误，不符合题意；
矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；
过线段的中点的垂线是线段的对称轴，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线为二次函数的图象的对称轴，
对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
，异号，
故选：．
先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分，两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：某个区域提交的申报表数量按照大小顺序排列后，处在中间位置的申报表数量是个，
中位数为．
故选：．
个地区的申报数量按照大小顺序排列后，根据中位数的定义即可得到答案．
本题考查了中位数，一组数据按照大小顺序排列后，处在中间位置的数据或中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用合并同类项的法则运算即可．
本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：原式．
故答案为：  

13.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
系数化，得．
故答案为：．
根据一元一次不等式的解法，即可得出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
故答案为：．
根据圆周角定理求出的读书，再根据三角形外角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图象可知：收缩压在正常范围的有、、、，
舒张压在正常范围的有、、、，
这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有、、，
即个．
故答案为：．
分析折线统计图即可得出结果．
本题考查了折线统计图，熟练识别折线统计图，从中获得准确信息是本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：宣矩，欘宣，矩，矩，欘，
，，
，
故答案为：．
根据题意可知：，，然后根据三角形内角和即可求得的度数．
本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
 

18.【答案】   

【解析】解：把，时，，
解得：；
故答案为：．
当，，为正整数时，
，均为整数，，，，，
而，
或或，
或或，
当时，时，，；时，，，
故为，，共个；
当时，时，，；时，，，时，，，
故为，，，共个；
当时，时，，；时，，，
故为，，共个；
综上所述：共有个．
故答案为：．
把，代入求值即可；
由题意知：，均为整数，，，，，则，再分三种情况讨论即可．
本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】根据算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值即可得出结果．
本题考查了算术平方根的意义，零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
即线段的长度为． 

【解析】由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
答：花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数为天；
当时，，
答：当时，该花店这天的利润为元；
当时，，解得：，
当时，有天，
．
答：该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为． 

【解析】根据表格求解；
把代入求解；
把代入求解．
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
即的大小为；
，
，
在中，，米，
米，
米，
，
米，
米，
即轿车至少行驶米才能发现点处的货车． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
根据平行线的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，正确地求出结果是解题关键．
 

24.【答案】解：点在函数的图象上，
，
，
即的值为；
点在轴负半轴上，
，
四边形为正方形，
，轴，
的面积为，
，
，
抛物线开口向下，
当时，有最大值，的最大值是． 

【解析】根据点在函数的图象上，代入即可得到的值；
根据点在轴负半轴上得到，根据正方形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：在中，，
，
即
，
，
即直线直线；
证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
为的直径，
，
由知，即，
，
在和中，
，
≌；
解：已证≌，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
由勾股定理得，
即，
，
四边形的周长为：． 

【解析】根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知，利用三角形内角和定理求出，即可得到直线直线；
根据圆内接四边形对角互补得到，再根据邻补角的定义得出，从而得到，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合中，可以得到，最后利用证得≌；
由已证≌可以得出，于是有，再根据圆的半径求出直径的长，再证为等腰直角三角形，从而求出的长，即可求出四边形的周长．
本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
 

26.【答案】解：，，
二次函数解析式为，
该二次函数的图象过点，
，
解得：；
证明：，，
∽，
，
，
，
；
解该二次函数的图象与轴交于点，，且，
，，
．
，
的半径长为线段的长度的倍，
，
，
，
，
即，
该二次函数的图象与轴交于点，，
，是方程的两个根，
，
，，
，
即2
代入，即，
即，
整理得，
，
解得：正值舍去，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
． 

【解析】依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图象过点，代入即可求解；
证明∽，根据相似三角形的性质即可求解；
根据题意可得，，由可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．