2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）设复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数　　

A． B． C．2 D．3

2．（5分）的内角，，的对边分别为，，．若，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）的值是　　

A．0 B． C． D．

4．（5分）已知，，向量与的夹角为，则　　

A． B． C．6 D．

5．（5分）的内角，，的对边分别为，，．若，，则　　

A． B．2 C． D．

6．（5分）如图所示，在中，为边上的中线，为的中点，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）现有如下信息：

（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．

（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．

（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形．

由上述信息可求得　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）如图，在平行四边形中，点在线段上，且满足，则下列结论中正确的有　　

A． B． C． D．

10．（5分）的内角，，的对边分别为，，．若，，则结合的值解三角形有两解，则的值可以为　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知，，则正确的有　　

A． 

B．与共线的单位向量是， 

C．与的夹角为 

D．与平行

12．（5分）已知函数，，则下列结论正确的有　　

A． 

B．在区间上只有1个零点 

C．的最小正周期为 

D．若，，，则单调递减区间为，和，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知复数是纯虚数，则实数　　．

14．（5分）的值是　　．

15．（5分）如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边．则四边形的面积最大值为　　．

16．（5分）已知单位向量，满足，则与夹角的大小为　　；的最小值为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知向量，，，．

（1）若向量与共线，求的值；

（2）若，求的值．

18．（12分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求的面积．

问题：已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，_____？

19．（12分）如图，在平面四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，求．

20．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）若，且，求的值．

21．（12分）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形．其中在半径上，记．

（1）当时，求矩形的面积；

（2）求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．

22．（12分）如图，扇形所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，．

（1）若，用，表示，；

（2）求的取值范围．

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．【分析】直接由实部等于虚部得答案．

【解答】解：复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，

，

故选：．

2．【分析】由已知利用余弦定理可求的值，结合范围，可求的值．

【解答】解：因为，

所以，

因为，

所以．

故选：．

3．【分析】利用互为余角的诱导公式可将转化为，再逆用两角和的正弦公式即可．

【解答】解；，

．

故选：．

4．【分析】利用数量积的定义即可求值．

【解答】解：，．

故选：．

5．【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．

【解答】解：因为，，

由正弦定理可得，

所以．

故选：．

6．【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．

【解答】解：如图所示，

在中，为边上的中线，为的中点，

故．

故选：．

7．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用求出结果．

【解答】解：已知，

整理得，

所以，

故；

故选：．

8．【分析】由题意，设为的黄金三角形，根据黄金三角形的性质结合余弦定理即可求出，从而得到的值．

【解答】解：由题意，设为的黄金三角形，

则有，

所以，

所以，

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．【分析】根据向量加法的平行四边形法则以及减法法则，以及平行四边形的性质逐个判断各个选项即可求解．

【解答】解：因为四边形为平行四边形，

所以，故正确，

根据向量加法的平行四边形法则可得：，故正确，

根据向量的减法法则可得：，故错误，

由图知，，故正确，

故选：．

10．【分析】根据正弦定理求出，根据三角形有两解时且，从而得到的取值范围．

【解答】解：由正弦定理得，，

即，

因为三角形有两解，所以且，

所以，

由选项知，或符合条件．

故选：．

11．【分析】利用向量数量积的坐标运算可判断正确，求模公式以及单位向量的定义可判断错误，利用夹角公式可判断正确，利用向量共线的坐标表示可判断错误．

【解答】解：，正确，

，与共线的单位向量为，或，，错误，

，，，，

，，，，，正确，

，与不平行，错误，

故选：．

12．【分析】直接利用三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．

【解答】解：函数，

对于：由于，故，故正确；

对于：令，解得，所以函数在上有两个零点，故错误；

对于：函数的最小正周期为，故正确；

对于：由于，，

令：，

解得，

当和时，单调递减区间为，和，，故正确；

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【分析】先化简复数，然后根据纯虚数的定义即可求解．

【解答】解：由是纯虚数，

则且，

解得，

故答案为：1．

14．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，以及两角和三角公式化简要求的式子，运算可得结果．

【解答】解：，

所以，

所以．

故答案为：．

15．【分析】设，并根据余弦定理，表示出的面积及的面积，进而表示出四边形的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．

【解答】解：四边形的面积的面积的面积，设，

则的面积

的面积，

四边形的面积，

故当，即时，四边形的面积最大值为，

故答案为：．

16．【分析】根据条件可求出的值，进而可得出夹角的大小；可求出，然后配方即可求出的最小值．

【解答】解：，且，

与夹角的大小为；

，

时，取最小值．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】（1）由向量与共线，能求出．

（2）先求出，再由，能求出．

【解答】解：（1），，向量与共线，

（2分）

（4分）

（2），，

（6分）

，

（8分）

，

解得．（10分）

18．【分析】若选①，利用余弦定理可求的值；若选②，利用数量积的定义可求的值，若选③，利用二倍角公式可求，进而利用三角形的面积公式即可求解，

【解答】解：因为，，所以，

选①：因为，所以，

所以，

又因为，所以，

所以的面积．

选②：若，故，

则，，故，

所以的面积．

选③：若，则，

故，解得舍去），

，故．

所以的面积．

19．【分析】（1）由已知结合余弦定理可先求，进而可求；

（2）由已知结合同角平方关系可先求，然后结合诱导公式可求，再由余弦定理即可求解．

【解答】解：（1）中，由余弦定理得，，

，

因为，，，

故，，

（2）由（1）得，

因为，即，

所以，

解得，，

根据余弦定理得，，

所以，

故或（舍，

故．

20．【分析】（1）根据所给的角的正切值和角的范围，写出角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍角公式和同角的三角函数关系，整理出只含有角的正切值的形式，得到结果．

（2）本题需要进行角的变换，把要求的角写成，根据所给的角的范围和同角的三角函数的关系，得到结果．

【解答】解：（1），

．

．

（2），且

，

，

．．

，

又，

．

21．【分析】（1）通过在中求出，在中，求解，然后求出，设矩形的面积为，求解即可．

（2）设矩形的面积为，求出面积的表达式，利用三角函数的最值求解即可．

【解答】解：（1）在中，，．

在中，，

所以，

所以．（2分）

设矩形的面积为，则．（4分）

（2）在中，，．

在中，，

所以，

所以．（6分）

设矩形的面积为，

则

．（8分）

由，得，

所以当，即时．（10分）

．

因此，当时，矩形的面积，最大面积为（12分）

22．【分析】（1）由题意可得，均为等边三角形，四边形为菱形，从而用，可表示，．

（2）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，化简的解析式，再利用二次函数的性质，求得它的范围．

【解答】解：（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形．

所以，

所以，，

（2）设，则，，，

，，

，

，，

当，上式最小值为；当或1时，上式最大值为2，

的取值范围．

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日期：2022/3/11 19:09:44；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367