2023年湖北省省直辖县级行政单位中考数学二模试卷+

2023年湖北省直辖县级行政单位中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将长方形绕着它的一边旋转一周得到的立体图形是(    )

A. 正方体 B. 长方体 C. 棱柱 D. 圆柱

3.  关于一组数据：，，，，，下列说法错误的是(    )

A. 平均数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 方差是

4.  如图，已知，直线分别交，于点，，平分交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过(    )

A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限              D. 第二、三、四象限

8.  已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：乙车的速度是；；点的坐标是；其中说法正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在攻击人类的病毒中，某类新型冠状病毒的直径约为米，它比流感病毒的基因组大两倍用科学记数法表示为______ ．

12.  我国明代数学读本算法统宗有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，则差两银子共有           两
 

13.  如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为____．

 

14.  如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为______．

15.  如图，是的直径，，垂足为点，连接并延长交于点，，连接并延长交于点下列结论：；；点是的中点：若，其中，所有正确结论的序号是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
化简：；
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，、是的弦，是等腰直角三角形，≌，请仅用无刻度直尺作图：
在图中作出圆心；
在图中过点作．

 

18.  本小题分
为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控某校举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试满分分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了名参赛学生的成绩，已知抽查得到的八年级的数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，如下表：

八、九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：分数分以上、不含分为优秀

______ ， ______ ， ______ ．
八年级小明和九年级小刚的分数都为分，判断小明、小刚在各自年级的排名哪位更靠前？并说明理由．
如果该校八、九年级各人，估计该校此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数．

19.  本小题分
某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上．
求，之间的距离；
若海监船由处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危险，那么海监船由处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
 

20.  本小题分
如图，点、分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边，，且轴，点在反比例函数的图象上．
求该反比例函数的解析式；
若点是反比例函数图象上一点，当四边形是菱形时，求出点坐标．

21.  本小题分
如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点．
求证：；
若，，求的长．

22.  本小题分
绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段、折线分别表示该有机产品每千克的销售价元、生产成本元与产量之间的函数关系．
求该产品销售价元与产量之间的函数关系式；
直接写出生产成本元与产量之间的函数关系式；
当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？

23.  本小题分
如图，在中，，，点、分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______；
探究证明：把绕点逆时针方向旋转到题图的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由；
如图：在的条件下，当点恰好落在边上时，已知，，求的面积．

 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点且直线过点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
求抛物线的函数解析式；
连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
在的条件下，在轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体．
故选：．
本题是一个矩形绕着它的一边旋转一周，根据面动成体的原理即可解．
本题主要考查圆柱的定义，根据圆柱体的形成可作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、这组数据的平均数是，故本选项正确；
B、出现了次，出现的次数最多，则众数是，故本选项正确；
C、把这组数据从小到大排列为：，，，，，最中间的数是，则中位数是，故本选项错误；
D、这组数据的方差是：，故本选项正确；
故选：．
分别求出这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再分别对每一项进行判断即可．
本题考查平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

4.【答案】 

【解析】解：平分交于点，，
，
，
．
故选：．
根据平分交于点，求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：．，此选项错误；
B.，此选项正确；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．
根据分式的基本性质和运算法则逐一判别即可得．
本题考查了分式的乘除法，掌握分式的基本性质和分式的乘除运算法则是关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
利用扇形面积公式求出的值，再利用扇形面积公式计算即可得到圆心角度数．
【解答】
解：一个扇形的弧长是，面积是，
，即，
解得：，
，
解得：．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：正比例函数中随的增大而增大，
，
．
又，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
利用正比例函数的性质可得出，由，，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，牢记“，的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：在图中标上点、，连接，

四边形为菱形，
，平分．
，
为等边三角形，
，
点为圆弧的圆心．
，
以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示．
所对的圆周角为、，
图中所标点符合题意．
四边形为菱形，且，
为等边三角形，
．
故选：．
根据菱形的性质结合可得出为等边三角形，进而可得出点为圆弧的圆心，将圆补充完整，利用圆周角定理找出点的位置，再根据菱形的性质即可得出为等边三角形，进而即可得出的值．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定依据圆周角定理，根据圆周角定理结合图形找出点的位置是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距，小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快，则乙的速度为正确；
由图象第小时，乙由相遇点到达，用时小时，每小时比甲快，则此时甲乙距离，则，正确；
当乙在休息时，甲前进，则点坐标为，正确；
乙返回时，甲乙相距，到两车相遇用时小时，则，错误．
故选：．
根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
设有人，银子两，根据银子总数相等列出二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】
解：设有人，银子两，
由题意得：，解得，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
过作轴于，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
【解答】
解：过作轴于，过作轴于，

则，
顶点，分别在反比例函数与的图象上，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，则其面积为．
圆的直径正好是大正方形边长，
根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，
大正方形的边长为，
则大正方形的面积为，则小球停在小正方形内部阴影区域的概率为．
故答案为：．
根据几何概率的意义，求出小圆面积与大圆面积的比即为小球落在小圆内部区域阴影部分的概率．
此题考查了几何概率，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆内切正方形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：于点，
，

，
，
，
故正确．
，，
∽，
，
故正确，
，
，
假设点是的中点，则点是的中点，
，
是直径，长度不变，而的长度是不定的，
不一定等于，
故是错误的．
，
设，，
，
在中，，
，
由知，，
，
，
，
故正确．
故答案为：．
正确，运用圆周角定理以及等角的余角相等即可解决问题．
正确，运用∽即可证明．
错误，运用反证法来判定．
正确，设，，得出、及、的值，运用即可解决问题．
本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，解题的关键在于灵活应用这些知识解决问题，通过求证三角形相似根据对应边成比例的性质求出的值，属于中考压轴题．
 

16.【答案】解：原式


；
，
由得，；
由得，，
故不等式组的解集为：． 

【解析】先算括号里面的，再算除法即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是分式的混合运算及解一元一次不等式组，熟知分式混合运算的法则及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

17.【答案】解：设交于，连接，，交于点，点即为所求．


如图中，作直线交于，连接直线，直线即为所求． 

【解析】画出的两条直径，，交点即为圆心．
作直线交于，连接直线，直线即为所求．
本题考查作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】     

【解析】解：由题干数据可知，，，．
故答案为：，，；
八年级小明的排名更靠前．理由如下：
因为八年级的中位数是，九年级的中位数是，
所以八年级小明和九年级小刚的分数都为分，小明的排名更靠前．


人．
故估计该校此次线上知识竞赛成绩优秀的总人数是人．
根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、、的值；
根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
分别求出该校八、九年级线上知识竞赛成绩优秀的人数，再相加即可求解．
本题考查用样本估计总体、统计表、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：过点作，交的延长线于点，
由题意得，，，，
设，则，
在中，
，
，
，
答：，之间的距离为海里；
因为，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线，作，垂足为，
当到的距离海里时，
有，
，
，
即海监船由处开始沿南偏东至多的方向航行能安全通过这一海域． 

【解析】通过作垂线构造直角三角形，求出小岛到航线的最低距离，与暗礁的半径比较即可得出答案；
规划新航线，使小岛到新航线的距离等于暗礁的半径，进而求出，进而求出，确定方向角．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出小岛到航线的最短距离是得出正确答案的关键．
 

20.【答案】解：根据题意，设点的坐标为，
，
，即得，
又轴，
，
，
即，
反比例函数的解析式为；
如图，根据菱形的性质可知，，且与互相平分，

设菱形对角线的交点为，设点坐标为，
是等边三角形，四边形是菱形，
，，
即，，
，
，
即，
由知，点在第一象限，
，，
． 

【解析】设出点的坐标为，则，又，即可求出值确定函数解析式；
根据菱形的性质可知，，且与互相平分，设，则，再根据是等边三角形求出和的值即可得出点的坐标．
本题主要考查反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质，等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是直径，
，，分
，
，分
，分
，
，分
，
∽分
分
分

解：设，由上可知分
解得，，
分 

【解析】先根据是直径可得出，再由及相似三角形的判定定理可得出∽，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；
，由的结论即可得出关于的一元二次方程，求出的值，进而可得出的长．
本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是根据相似三角形的判定定理得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
经过点与，
，解得：，
产品销售价元与产量之间的函数关系式为；

由题意，可得当时，；
当时，；
当时，设与之间的函数关系式为，
直线经过点与，
，解得，
当时，．
综上所述，生产成本元与产量之间的函数关系式为；
设产量为时，获得的利润为元，
当时，，
当时，的值最大，最大值为；
当时，，
当时，的值最大，最大值为；
当时，，
当时，的值最大，最大值为．
因此当该产品产量为时，获得的利润最大，最大值为元． 

【解析】根据线段经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
显然，当时，；当时，；当时，设与之间的函数关系式为，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
利用：总利润每千克利润产量，根据的取值范围列出有关的二次函数，求得最值比较可得．
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
 

23.【答案】   

【解析】解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
是等腰直角三角形；
理由：由旋转知，，
，，
≌，
，，
同的方法，利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
，，点是的中点，
，，，
，
，
，
由可得，是等腰直角三角形，
，
的面积．
利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法得出，，即可得出，同的方法即可得出结论；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解的关键是判断出，，解的关键是判断出≌，解的关键是求出的长．
 

24.【答案】解：把、代入中得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
如图：

在抛物线中，当时，，
的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
点的坐标为，
直线的解析式为，
设，则，，
，
，
，
当时，最大，
此时，点的坐标为；
存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
由知坐标为，
，，
当时，如图：

轴，
；
当时，如图：

轴，
；
当时，如图：

设，则，
即，
解得，，
或
综上，存在以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，点坐标为或或或 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
由得的坐标为，可知点的坐标为，直线的解析式为，设，则，，可得，从而，由二次函数性质即可得点的坐标为；
，，分种情况：当时，可得；当时，可得；当时，设，可得，即得或
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积，直角三角形判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．