2022-2023学年江西省智学联盟体高二（下）第二次联考数学试卷

2022-2023学年江西省智学联盟体高二（下）第二次联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知函数，则的导数(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若数列为，，，，，则是这个数列的(    )

A. 不在此数列中 B. 第项 C. 第项 D. 第项

3.  一质点按运动方程做直线运动，则其从到的平均速度为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若数列满足，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某中学在高一年级抽取了名同学进行身高调查，已知样本的身高单位：服从正态分布，且身高为到的人数占样本总数的，则样本中以上的人数约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  月日是国际消费者权益日中央电视台特地推出公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了投诉电话通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客假设合格灯泡在使用小时后损坏的概率为，不合格灯泡在使用小时后损坏的概率为，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用小时后不会损坏的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若一个三位数的各个数位上的数字之和为，则我们称是一个“数”，例如“，”都是“数”那么“数”的个数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  若，是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  关于的展开式，下列说法正确的是(    )

A. 不存在常数项 B. 含项的系数为
C. 第项与第项的二项式系数相等 D. 偶数项的二项式系数和为

10.  设为的导函数，下列命题正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则，且

11.  某学校共有个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐选择到每个餐厅概率相同，则下列结论正确的是(    )

A. 四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B. 四人去了同一餐厅就餐的概率为
C. 四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为
D. 四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

12.  等差数列与的前项和分别为与，且，则(    )

A. 当时， B.
C.  D. ，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设随机变量的分布列如下其中，则随机变量的期望 ______ ．

14.  已知直线是曲线的一条切线，则实数 ______ ．

15.  名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是______ ．

16.  已知数列满足，，若，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
向日葵游乐园最近推出一款“摩天飞毯”游乐项目，游客可以购票乘坐“摩天飞毯”到达山顶玻璃桥进行游走观光为了解购票人数与票价的关系，游乐园进行了连续天的票价浮动试运营这五天每天的票价元与对应购票人数人如表所示：

根据数据，求出关于的回归方程；
假设游乐园每天“摩天飞毯”的项目成本只跟当天的乘坐人数有关，并且人均成本是元，试依据中的关系，求出当票价应定为多少元，游乐园才能在该项目上获得最大利润注：利润售票收入成本
附：回归方程中，；
参考数据：，．

18.  本小题分
已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．

19.  本小题分
年月日第届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为：，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的经计算，有的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有的把握认为喜欢足球与性别有关．
请完成下面的列联表，并求出的值；

将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取人，记其中喜欢足球的人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．

20.  本小题分
已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，．
求数列，的通项公式；
令，求数列的前项和．

21.  本小题分
年月日是第个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得分，否则得分；挑战题答对一个得分，否则得分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的．
记小明前题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；
记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式．

22.  本小题分
小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图象特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味后来，他独自研究了函数当时的图象特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：
当，时，经过点作曲线的切线，切点为．
求证：不论怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图象上；
当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由求导公式与求导法则，可得．
故选：．
根据导数的运算法则计算．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设数列，，，，，为数列，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式为，
令解得．
故选：．
该数列的指数是等差数列，运用等差数列通项公式求出对应的项数即可．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：从到的平均速度为．
故选：．
利用平均速度的定义可得答案．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
数列的各项依次为，，，，，，，，，，，，，，
则数列是以为周期的周期数列，
．
故选：．
由递推关系可验证出数列的周期性，根据周期性，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：正态分布的均值，依题意，身高在区间的概率为，
则身高在区间上的概率，则样本中以上的同学人数约为人．
故选：．
根据正态分布函数的性质分析计算即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为．
故选：．
由全概率公式可得答案．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意知：构成一个“”数的三个数字可能的组合为，，，，，，，，
所以组合能构成的“”数的个数有：个．
故选：．
首先确定所有可能的三个数字的组合，结合排列数的知识可加和求得结果．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，，
所以，为两个不等的负数，
不妨设，则必有，，成等差数列，，，成等比数列，
故有，，解得，，
可得，，．
故选：．
求出，利用韦达定理、等差中项、等比中项可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：的展开式通项为，，，，，
令，解得，故展开式不存在常数，A正确；
令，解得，故含项的系数为，B正确；
第项与第项的二项式系数分别为与，相等，C正确；
偶数项的二项式系数和为，D错误．
故选：．
求出展开式的通项，令的指数等于即可判断；令的指数等于即可判断；根据二项式系数的定义即可判断；根据二项式系数和的性质即可判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，
，解得，
，，，故A错误；
对于，，可得，故B正确；
对于，，则，故C正确；
对于，，
则，，故D正确．
故选：．
根据导数的定义以及运算规则逐项分析．
本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项分布的均值，排列与组合，古典概型等基础知识，考查了概率计算能力，属于中档题．
四人随机地选择一家餐厅就餐共有种可能．
选项，四人去了四个不同餐厅就餐共有种可能，再根据古典概型的概率计算公式，即可求得四人去了四个不同餐厅就餐的概率；
选项，四人去了同一餐厅就餐共有种可能，再根据古典概型的概率计算公式，即可求得四人去了同一餐厅就餐的概率；
选项，四人中恰有人去了第一餐厅就餐共有种可能，再根据古典概型的概率计算公式，即可求得四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率；
选项，四人中去第一餐厅就餐的人数，，再根据二项分布的期望计算公式，即可求得．

【解答】

解：对于，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；
对于，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；
对于，四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；
对于，四人中每个人去第一餐厅就餐的概率都为，设四人中去第一餐厅就餐的人数，则，故E，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于，等差数列与的前项和分别为与，且，
当时，，，
，，，
当时，上式成立，，故A正确；
对于，由，知，
，故B正确；
对于，同理可得：，故C错误；
对于，当时，，则，
则不存在，使，故D错误．
故选：．
利用等差数列通项公式与前项和的关系能判断；利用等差数列前项和能判断；令，能判断．
本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
．
故答案为：．
根据概率之和等于可得出，的关系，再根据期望公式即可得解．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质与期望，方程思想，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，
令，则，
则是增函数，
观察得是唯一的解，
则切点坐标为，
代入，得．
故答案为：．
先求出导数等于处的点的横坐标，再将该点坐标代入切线方程即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：记“甲站在中间”为事件，“乙不站在最右端”为事件，
则，，
所以．
故答案为：．
利用条件概率公式以及排列组合求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，，
可得，，，，
，，，，，，，
即有，，，，，，
进而可得，
，
解得．
故答案为：．
计算数列的前几项，推得，，，，，，再令，计算可得所求值．
本题考查数列的周期性和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
，，
回归方程为；
设游乐园能获得利润元，则，
，，
由二次函数知识可得，当元时，取得最大值，
“摩天飞毯”票价应定为元，游乐园才能在该项目上获得最大利润；
综上，回归方程为，摩天飞毯”票价应定为元，游乐园才能在该项目上获得最大利润． 

【解析】先求出和，再按照公式计算和；
根据题意求出利润的函数解析式求解．
本题考查线性回归直线方程的求解，线性回归分析的应用，化归转化思想，属中档题．
 

18.【答案】设数列的公差为，数列的公比为，
则，，
解得
所以，；
由得，
因为，
所以数列的前项和为：
． 

【解析】设数列的公差为，数列的公比为，由，，求得即可；
由得，再利用裂项相消法和分组求和法求解．
本题主要考查数列的求和，等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由已知，完成列联表如下：

，
根据条件，可得，解得，
又，；
由知，样本的男生中喜欢足球的频率为，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，
则，，，
，，
的分布列为：

． 

【解析】依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出；
按照二项分布的概念，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，二项分布的概念及应用，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：由，，
令可得：，可解得，
且，
可化为，所以数列为常数数列，
，，
又由，得，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，．
由得，
则，，
得，
化简整理得，． 

【解析】令可求出，当时，，化简即可证明数列为常数数列，即可求出；由可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出
由得，由错位相减法即可求出数列的前项和．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：前两题可能的得分有，，，
则，
，
，
故的分布列为：

故E．
证明：第次回答正确的概率只与次回答是否正确有关，
则，即，
所以，，
则数列以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
故的通项公式为． 

【解析】前两题可能的得分有，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解．
第次回答正确的概率只与次回答是否正确有关，则，即，再结合等比数列的公式，即可求解．
本题主要要考查概率与数列的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于难题．
 

22.【答案】证明：当，时，，，
设，则过点的切线方程为，
把代入，可得，
，，
不论怎样变化，点总在“双升双降函数”的图象上；
当，时，，，，
设曲线在点处的切线斜率为，
则，解得，可得，
设曲线在点处的切线斜率为，
则，解得，可得．
则，整理得，
，，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为． 

【解析】把，代入，可得，求其导函数，设，可得过点的切线方程，把代入，整理可得，即可证得结论；
把，代入，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，利用导数求解与的坐标，再由的斜率为列式可得，然后利用基本不等式求的最小值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．