2022-2023学年江西省智学联盟体（新余市第一中学、南康中学等）高二第二次联考数学试题含解析

2022-2023学年江西省智学联盟体（新余市第一中学、南康中学等）高二第二次联考数学试题

一、单选题

1．已知函数，则的导数 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则计算.

【详解】由求导公式与求导法则，可得 ；

故选：B.

2．若数列为，，，，…，则是这个数列的（    ）

A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项

【答案】C

【分析】该数列的指数是等差数列，运用等差数列通项公式求出82对应的项数即可.

【详解】设数列7，10，13，16，…，为数列，则数列是以7为首项3为公差的等差数列，其通项公式为，令解得；

故选：C.

3．一质点按运动方程作直线运动，则其从到的平均速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平均速度的定义可得答案.

【详解】从到的平均速度为.

故选：D.

4．若数列满足，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由递推关系可验证出数列的周期性，根据周期性可求得结果.

【详解】由可得数列的各项依次为：，

则数列是以为周期的周期数列，.

故选：A.

5．某中学在高一年级抽取了720名同学进行身高调查，已知样本的身高（单位：cm）服从正态分布，且身高为165cm到175cm的人数占样本总数的，则样本中175cm以上的人数约为（    ）

A．30 B．60 C．120 D．20

【答案】B

【分析】根据正态分布函数的性质分析计算即可.

【详解】正态分布的均值，依题意，身高在区间的概率为，

则身高在区间上的概率，则样本中175cm以上的同学人数约为人，

故选：B.

6．3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（    ）

A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699

【答案】C

【分析】由全概率公式可得答案.

【详解】由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为.

故选：C.

7．若一个三位数的各个数位上的数字之和为，则我们称是一个“数”，例如“，”都是“数”.那么“数”的个数共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】B

【分析】首先确定所有可能的三个数字的组合，结合排列数的知识可加和求得结果.

【详解】由题意知：构成一个“”数的三个数字可能的组合为，，，，，，，，

商数组合能构成的“”数的个数有：个.

故选：B.

8．若，是函数（，）的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【分析】求出，利用韦达定理、等差中项、等比中项可得答案.

【详解】∵∴，，

所以为两个不等的负数，不妨设，则必有，2成等差数列，

，2，成等比数列，故有，，解得，，

可得，，.

故选：A.

二、多选题

9．关于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．不存在常数项 B．含项的系数为45

C．第4项与第8项的二项式系数相等 D．偶数项的二项式系数和为256

【答案】ABC

【分析】求出展开式的通项，令的指数等于即可判断A；令的指数等于即可判断B；根据二项式系数的定义即可判断C；根据二项式系数和的性质即可判断D.

【详解】的展开式通项为，，1，…，10，

令，解得，故展开式不存在常数，A正确；

令，解得，故含项的系数为，B正确；

第4项与第8项的二项式系数分别为与，相等，C正确；

偶数项的二项式系数和为，D错误.

故选：ABC.

10．设 为的导函数，下列命题正确的有（    ）

A．若 ，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则 ，且

【答案】BCD

【分析】根据导数的定义以及运算规则逐项分析.

【详解】对于A，∵ ∴ ∴ ，

∵ ∴ ， ，故A错误；

对于B， ，可得，故B正确；

对于C， ，则 ，故C正确；

对于D，若 ， ，故D正确；

故选：BCD.

11．某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（    ）

A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B．四人去了同一餐厅就餐的概率为

C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件的概率，分别求出选项对应事件的概率，逐项验证；对于选项，根据每个学生随机选择一家餐厅，则选择去第一餐厅的概率为，所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，即可求出期望，判断选项正确.

【详解】四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，

选项，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，

所以选项正确；

选项，四人去了同一餐厅就餐的概率为，

所以选项不正确；

选项，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为

，所以选项正确；

选项，每个同学选择去第一餐厅的概率为，

所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，

，所以选项正确.

故选:ACD.

【点睛】本题考查互斥事件概率、二项分布期望，应用排列组合、分步乘法原理求出基本事件个数是解题的关键，注意特殊分布的运用，属于中档题.

12．等差数列与的前项和分别为与，且，则（    ）

A．当时，

B．

C．

D．

【答案】AB

【分析】当时，根据可求出，进而求得，可知A正确；利用等差数列性质可得，即得，可判断B;同理可判断C;

举特例当时，求出，可说明D的对错.

【详解】对于等差数列与，

当时，，则， ，

则，也适合，

故，故A正确；

因为，所以，

所以，

即，故B正确；

同理可得，故C错误；

当时，，则，

则不存在，使得，故D错，

故选：AB

三、填空题

13．设随机变量X的分布列如下（其中），则随机变量X的期望________.

【答案】1

【分析】根据概率之和等于可得出的关系，再根据期望公式即可得解.

【详解】由，得，

∴.

故答案为：

14．已知直线是曲线的一条切线，则实数________.

【答案】

【分析】先求出导数等于3处的点的横坐标，再将该点坐标代入切线方程即可.

【详解】令 ，令 ，则 ， 是增函数，

观察得（是唯一的解），切点坐标为，代入得；

故答案为：-1.

15．5名同学从左向右站成一排，已知甲站在正中间，则乙不站在最右端的概率是________.

【答案】##

【分析】利用条件概率公式以及排列组合求解.

【详解】记“甲站在中间”为事件A，“乙不站在最右端”为事件B，

则，，

所以.

故答案为: .

四、解答题

16．已知数列满足，，若，则________.

【答案】

【分析】对数列的递推公式做推理，得出 是等差数列，求出 ，再求出 .

【详解】由得

所以，数列是以4为公差的等差数列，

即 ，∴ ，

，

；

故答案为：-1923.

17．向日葵游乐园最近推出一款“摩天飞毯”游乐项目，游客可以购票乘坐“摩天飞毯”到达山顶玻璃桥进行游走观光.为了解购票人数与票价的关系，游乐园进行了连续5天的票价浮动试运营.这五天每天的票价（元）与对应购票人数（人）如下表所示：

(1)根据数据，求出y关于x的回归方程；

(2)假设游乐园每天“摩天飞毯”的项目成本只跟当天的乘坐人数有关，并且人均成本是1元，试依据（1）中的关系，求出当票价应定为多少元，游乐园才能在该项目上获得最大利润.（注：利润=售票收入-成本）

附：回归方程中，；

参考数据：，.

【答案】(1)

(2)11元

【分析】（1）先求出 和 ，再按照公式计算 和 ；

（2）根据题意求出利润的函数解析式求解.

【详解】（1），，

∴，

，

∴回归方程为；

（2）设游乐园能获得利润z元，则，

∴， ，

由二次函数知识可得， ， 当元时，z取得最大值，

∴“摩天飞毯”票价应定为11元，游乐园才能在该项目上获得最大利润；

综上，回归方程为，摩天飞毯”票价应定为11元，游乐园才能在该项目上获得最大利润.

18．已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设数列的公差为d，数列的公比为，由，求得即可；

（2）由（1）得，再利用裂项相消法和分组求和法求解；

【详解】（1）解：设数列的公差为d，数列的公比为，

则，，

解得

所以，；

（2）由（1）得，

∵，

所以数列的前n项和为：

，

.

19．2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的，女生中喜欢足球的人数占女生的.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.

(1)请完成下面的列联表，并求出k的值；

(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，

(2)分布列见解析，

【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k；

（2）按照二项分布求解.

【详解】（1）由已知，完成列联表，

将数值代入公式可得的观测值：，

根据条件，可得，解得，

因为，所以；

（2）由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为，

则 ，

， ，

， ，

则X的分布列为

；

综上， ，数学期望为 .

20．已知数列的前n项和为，，.数列的前n项和为，，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）令可求出，当时，，化简即可证明数列为常数数列，即可求出；由可得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出.

（2）由（1）得，由错位相减法即可求出数列的前n项和.

【详解】（1）由，，

令可得：，可解得，

且，

可化为，所以数列为常数数列，

∴，∴

又由，得，，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴

（2）由（1）得

则①，

②，

①-②得，

化简整理得，.

21．2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的.

(1)记小明前2题累计得分为，求的概率分布列和数学期望；

(2)记第题小明回答正确的概率为，证明：当时，，并求的通项公式.

【答案】(1)

数学期望为

(2)证明见解析，

【分析】（1）写出的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出与的关系式，利用构造法求出的通项公式.

【详解】（1）的所有可能取值为0，10，40

，

.

∴的分布列如下：

；

（2）根据题意得：第题回答正确的概率为，则，所以

，而，∴成首项为，公比为的等比数列，所以，故.

22．小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：

(1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；

(2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论.(2)先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值.

【详解】（1）当，时，，，

设，切线方程为，

代入，得，又因为，

于是可得，

即点P在“双升双降函数”的图像上.

（2）当，时，，

，，

设曲线在点处的切线斜率为，

则，所以，则，

设曲线在点处的切线斜率为，

则，

所以，点，

所以直线的斜率，

所以，

由于，

所以（当且仅当时取等号）

所以，的最小值为．

【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大.