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2023年江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学中考数学二模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. a3+a4=a7 B. (−2a3)4=16a12 C. (a3)4=a7 D. a3⋅a4=a12
3. 如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为( )
A. 10 B. 10π C. 20 D. 20π
4. 下列命题中：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，则一次函数y=x−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P(−a,a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB：BP=2：1.则sin∠PAO的值是( )
A. 13
B. 55
C. 1010
D. 3 1010
7. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=24，AB=15，则线段PB的长等于( )
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 5 2
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−4x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使DE=12CD，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 72
D. 4
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD=2，点E是⊙O上的动点(不与C重合)，点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 2 D. 72
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
10. 分解因式：x3−x=
11. 据统计，2023年我国人口数约为14亿4730万，其中4730用科学记数法表示为______ ．
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
13. 请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线x=−2为对称轴，开口向上的抛物线：______ ．
14. 小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩(次数/分钟)记录为：140，138，140，137，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是______ ．
15. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P=38°，则∠ACB= ______ °.
16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接ED、EC，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接MN，则线段MN的取值范围为______ ．
17. 如图，二次函数y=14x2−32x−4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，则∠ACB= ______ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ//y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
(1)计算： 27−3cos30°+(1−π)0；
(2)化简：a−1a−b−a+1b−a+2bb−a．
19. (本小题8.0分)
(1)解不等式组4(x+1)≤7x+7x−12−x−44<1；
(2)已知M=2x2−2x+3，N=4x2−3x+4，请比较M和N的大小．
20. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE、AC、ED，AC与ED交于点O，AE=AB，求证：
(1)AC=DE．
(2)OE=OC．
21. (本小题10.0分)
某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行线上问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下：
调查问卷(部分)
1.你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____(单选)．
A.没时间B.家长不舍得C.不喜欢D.其它
中小学生每周参加家庭劳动时间x(h)分为5组：第一组(0≤x<0.5)，第二组(0.5≤x<1)，第三组(1≤x<1.5)，第四组(1.5≤x<2)，第五组(x≥2).根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
22. (本小题10.0分)
将分别标有数字1，2，4，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是______ ．
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
23. (本小题10.0分)
已知△ABC，∠B=60°，ABBC=32．
(1)如图1，若BC=2 3，求AC的长；
(2)如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC.(尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．)
24. (本小题10.0分)
如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是BD上一点，且DE=DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD=∠EAD．
(1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AE=24，tanE=34，求⊙O的半径长．
25. (本小题10.0分)
如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成.矩形OABC的边OA=34米，OC=9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为(92,245)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON=7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
26. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=4.点P在AD上运动(点P不与点A、D重合)将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处(包括矩形边界)．
(1)求AP的取值范围；
(2)连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM=2∠ADG时，求AP的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC、AC．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；
(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【解答】
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，a3与a4不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=16a12，故该选项符合题意；
C选项，原式=a12，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a7，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则判断A选项；根据积的乘方和幂的乘方判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握(am)n=amn是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∴这个圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π，
∴这个圆锥的侧面积为：12×4π×5=10π，
故选：B．
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
5.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，
∴k<0．
∵1>0，−k>0，
∴一次函数y=x−k的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
由正比例函数图象在第二、四象限可得出k<0，由1>0，−k>0，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=x−k的图象经过的象限，此题得解．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0得到y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：作PC⊥x轴于点C，
∵点P(−a,a)(a>0)，
∴OC=a，PC=a．
∵AB：BP=2：1，
∴AB：AP=2：3．
∵BO⊥x轴，PC⊥x轴，
∴BO//PC，
∴ABBP=AOOC=2，BOPC=ABAP=23，
∴AO=2a，BO=2a3，
∴AB= AO2+BO2=2 103a，
∴sin∠PAO=BOAB=23a2 103a= 1010．
故选：C．
作PC⊥x轴于点C，利用平行线分线段成比例定理用含a的代数式表示出BO和AO，再根据勾股定理求出AB，进而计算出sin∠PAO的值．
本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5，
CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=24−15=9，
在Rt△FNC中，FN= 152−92=12，
∴MF=15−12=3，
在Rt△MEF中，设EF=x，则ME=9−x，由勾股定理得，
32+(9−x)2=x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
∵∠CNF=∠PGF=90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
∴GN=PH=BH=12−3m，HN=15−(4−3m)=3+3m=PG=4m，
解得：m=3，
∴BH=PH=3，
∴BP=3 2，
故选：B．
根据折叠可得ABNM是正方形，CD=CF=51，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG=HN，列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在双曲线y=−4x上，
∴A(−2m,2m)，
∴AJ=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−2m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−2mb，
∴JF=2mb−2b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−2b=2b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅2b=3，
故选：B．
设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示：连接OE、OC，取OC的中点M，连接MF和DM，设⊙O的半径为r，
∵点F为CE的中点，
∴MF=12OE=r2，
∵点E是⊙O上的动点(不与C重合)，点C为顶点，
∴点F的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上，
则DF≤DM+MF，
∴当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF=DM+MF，
∴DM=4−r2，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∵点M为OC的中点，
∴DM=12OC=r2，
∴r2=4−r2，解得：r=4，
∴OD=OA−AD=2，
在Rt△CDO中，CD= OC2−OD2=2 3；
故选：A．
首先根据题意取OC的中点，根据点E的运动轨迹，确定点F的运动轨迹，根据DF≤DM+MF，可确定当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF=DM+MF，求出DM=4−r2，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则DM=12OC=r2，联立即可求出半径r的值，然后求出OD的长，利用勾股定理即可求出CD的长．
本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点D、M、F三点共线时，DF有最大值4．
10.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：x3−x，
=x(x2−1)，
=x(x+1)(x−1)．
故答案为：x(x+1)(x−1)．
11.【答案】4.73×103
【解析】解：4730=4.73×103，
故答案为：4.73×103．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
13.【答案】y=(x+2)2(答案不唯一)
【解析】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵图象的开口向上，
∴a>0，可取a=1，
∵对称轴是直线x=−2，
∴函数解析式可以为：y=(x+2)2(答案不唯一)．
故答案为：y=(x+2)2(答案不唯一)．
由题意可知：写出的函数解析式满足a>0，对称轴为直线x=−2，由此举例得出答案即可．
本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−b2a；当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点(0,c)．
14.【答案】145
【解析】解：设小明第5次跳绳成绩是x次数/分钟，
根据题意得，15(140+138+140+137+x)=140，
解得x=145．
故答案为：145．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可知小明5次跳绳成绩的众数为140，设小明第5次跳绳成绩是x次数/分钟，根据5次跳绳成绩的平均数与众数相同列出方程，求解即可．
本题考查了众数与平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和除以数据的个数．掌握定义是解题的关键．
15.【答案】109
【解析】解：作AB所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°−38°=142°，
∴∠ADB=12∠AOB=71°，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ACB=180°−71°=109°．
故答案为：109．
作AB所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB=142°，则根据圆周角定理得到∴ADB=71°，然后根据圆内接四边形的对角互补计算∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16.【答案】4≤MN≤2 5
【解析】解：如图，过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，
则∠EFM=∠EGN=∠FHN=∠NHM=90°，
由旋转得：EM=EC，EN=ED，∠CEM=∠DEN=90°，
∴∠MEF+∠CEB=90°，∠DEA+∠NEG=90°，
∵∠MEF+∠EMF=90°，∠DEA+∠EDA=90°，
∴∠CEB=∠EMF，∠NEG=∠EDA，
∵正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，设AE=x(0≤x≤2)，则BE=2−x，
∴AB=AD=BC=2，∠DEA=∠CBE=90°，
在△MEF和△ECB中，
∠EFM=CBE=90°∠EMF=∠CEBEM=EC，
∴△MEF≌△ECB(AAS)，
∴MF=BE=2−x，EF=BC=2，
同理：NG=AE=x，EG=AD=2，
∴FG=EF+EG=2+2=4，
∵∠MFE=∠NGE=∠FHN=90°，
∴四边形FGNH是矩形，
∴HN=FG=4，FH=NG=x，
∴MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，
在Rt△MNH中，MN2=MH2+HN2=(2−2x)2+42=4(x−1)2+16，
∵0≤x≤2，
∴0≤(x−1)2≤1，
∴16≤4(x−1)2+16≤20，
即16≤MN2≤20，
∵MN>0，
∴线段MN的取值范围为4≤MN≤2 5．
故答案为：4≤MN≤2 5．
过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，可证得△MEF≌△ECB(AAS)，得出MF=BE=2−x，EF=BC=2，同理：NG=AE=x，EG=AD=2，得出FG=EF+EG=2+2=4，再证得四边形FGNH是矩形，得出HN=FG=4，FH=NG=x，MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
17.【答案】90 5− 5或3 52
【解析】解：在y=14x2−32x−4中，令x=0得y=−4，令y=0得x=8或x=−2，
∴A(−2,0)，B(8,0)，C(0,−4)，
∴AB2=100，AC2=20，BC2=80，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°；
当NQ=MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：
∴∠QMN=∠QNM=∠ANC，
∵QM//y轴，
∴∠QMN=∠NKC=∠AKO，
∴∠ANC=∠AKO，
∴∠OAK=90°−∠AKO=90°−∠ANC=∠CAN，
∵∠AHN=90°=∠ACN，AN=AN，
∴△AHN≌△ACN(AAS)，
∴AH=AC= 20=2 5，NC=HN，
∴BH=AB−AH=10−2 5，
∵∠HBN=∠CBA，∠NHB=90°=∠ACB，
∴△BHN∽△BCA，
∴HNAC=BHBC，即HN2 5=10−2 54 5，
∴HN=5− 5，
∴NC=5− 5；
当NQ=NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：
∴∠NQM=∠NMQ，
∵QM//y轴，
∴∠NKC=∠NCK，
∴NK=NC，
∵∠AKO=∠NKC，
∴∠AKO=∠NCK，
∴∠OAK=90°−∠AKO=90°−∠NCK=∠ACO，
∵∠AOK=90°=∠COA，
∴△AOK∽△COA，
∴OKOA=OAOC，即OK2=24，
∴OK=1，
∴CK=OC−OK=4−1=3，AK= OA2+OK2= 22+12= 5，
∴TK=CT=12CK=32，
∵∠AKO=∠TKN，∠AOK=90°=∠NTK，
∴△AOK∽△NTK，
∴OKTK=AKNK即132= 5NK，
∴NK=3 52，
∴NC=3 52，
∴线段NC的长为5− 5或3 52．
故答案为：90，5− 5或3 52．
由y=14x2−32x−4可得A(−2,0)，B(8,0)，C(0,−4)，即得AB2=100，AC2=20，BC2=80，故AB 2=AC2+BC2，从而∠ACB=90°；当NQ=MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN(AAS)，即得AH=AC= 20=2 5，NC=HN，有BH=AB−AH=10−2 5，由△BHN∽△BCA，得HN2 5=10−2 54 5，求出HN=5− 5，故NC=5− 5；当NQ=NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得OK2=24，OK=1，CK=OC−OK=3，AK= OA2+OK2= 5，求出TK=CT=12CK=32，由△AOK∽△NTK，可得132= 5NK，求得NK=3 52，故NC=3 52．
本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理．
18.【答案】解：(1) 27−3cos30°+(1−π)0
=3 3−3× 32+1
=3 3−3 32+1
=3 32+1；
(2)a−1a−b−a+1b−a+2bb−a
=a−1a−b+a+1a−b−2ba−b
=a−1+a+1−2ba−b
=2a−2ba−b
=2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)利用分式的加减法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：(1)4(x+1)≤7x+7①x−12−x−44<1②，
由①得：x≥−1，
由②得：x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2；
(2)∵M=2x2−2x+3，N=4x2−3x+4，
∴M−N=(2x2−2x+3)−(4x2−3x+4)
=2x2−2x+3−4x2+3x−4
=−2x2+x−1
=−2(x−14)2−78<0，
∴M
(2)把M与N代入M−N中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出M与N的大小．
此题考查了配方法的应用，解一元一次不等式组，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式及不等式组的解法是解本题的关键．
20.【答案】证明：(1)平行四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵AB=AE，
∴AE=CD，∠B=∠AEB，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEC=∠BCD，
又∵EC=CE，
∴△AEC≌△DCE(SAS)，
∴AC=DE；
(2)由(1)得△AEC≌△DCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及邻补角定义推出AE=CD，∠AEC=∠BCD，EC=CE，利用SAS证明△AEC≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)结合(1)根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，
故中位数落在第二组；
(2)1200×(1−8.7%−43.2%−30.6%)=175(人)，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
(3)由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯(答案不唯一)．
【解析】(1)由中位数的定义即可得出结论；
(2)用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
(3)答案不唯一，合理均可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
22.【答案】12
【解析】解：(1)∵1，2，4，5中，为质数的是2，5，
∴随机地抽取一张，抽到卡片上所标数字为质数的概率是24=12．
故答案为：12．
(2)列表如下：
1
2
4
5
1
12
14
15
2
21
24
25
4
41
42
45
5
51
52
54
共有12种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的结果有：12，15，21，24，42，45，51，54，共8种，
∴这个两位数能被3整除的概率为812=23．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及能被3整除的两位数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)过C作CH⊥AB于H，如图：
∵BC=2 3，∠B=60°，
∴BH= 3，CH= 3BH=3，
∵ABBC=32，
∴AB=32BC=32×2 3=3 3，
∴AH=AB−BH=2 3，
在Rt△AHC中，
AC= AH2+CH2= (2 3)2+32= 21，
答：AC的长为 21；
(2)如图：
四边形ABCD即为所求四边形．
【解析】(1)过C作CH⊥AB于H，由BC=2 3，∠B=60°，得BH= 3，CH= 3BH=3，根据ABBC=32，可得AB=3 3，AH=AB−BH=2 3，用勾股定理得AC的长为 21；
(2)作△ABC的外接圆，再以A为圆心，BC为半径作弧与外接圆交点即为D．
本题考查直角三角形的边角关系及尺规作图，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法．
24.【答案】解：(1)直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵AD=DE，
∴∠E=∠EAD，
∵∠E=∠B，∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠B，
∴∠B+∠C=90°
∴∠BAC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
(2)过D作DH⊥AE于H，
∵DE=DA，
∴AH=EH=12AE=12，
∵tanE=tan∠EAD=DHAH=34，
∴DH=9
∴AD= AH2+DH2= 92+122=15，
∵∠B=∠E，
∴tanB=ADBD=34，
∴BD=20，
∴AB= AD2+BD2=25，
∴⊙O的半径长为252．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠EAD，求得∠BAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)过D作DH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质得到AH=EH=12AE=12，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意知，抛物线顶点D的坐标为(92,245)，
设抛物线的表达式为y=a(x−92)2+245，
将点A(0,34)代入抛物线解析式得34=a(0−92)2+245，
解得a=−15，
∴抛物线对应的函数的表达式为y=−15(x−92)2+245；
(2)①将x=7.5代入y=−15(x−92)2+245中，得y=3，
∴点M(152,3)，∴设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，
将点M(152,3)代入得152k=3，
∴k=25，
∴直线OM的解析式为y=25x，
∴EF=−15(m−92)2+245−25m=−15m2+75m+34=−15(m−72)2+165，∵−15<0，
∴当m=72时，EF有最大值，为165；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，
∴当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，
令EF=125，即−15(m−72)2+165=125，
解得m1=32,m2=112，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32
(2)①先求出点M坐标为(152,3)，再求出直线OM的解析式为y=25x，进而求出EF=−15m2+75m+34=−15(m−72)2+165，根据二次函数性质即可求出当m=72时，EF有最大值165；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是125米，得到当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，令EF=125，得到−15(m−72)2+165=125，解得m1=32,m2=112，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32
26.【答案】解：(1)当M落在CD上时，AP的长度达到最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵△ABP沿直线翻折，
∴∠PMB=∠A=90°，BM=AB=5，
∴CM= BM2−BC2= 52−42=3DM=5−3=2，
∴∠PMD+∠BMC=90°，∠PMD+∠MPD=90°，
∴∠BMC=∠MPD，
∴△PDM∽△MCB，
∴PDCM=DMBC，PD3=24，
∴PD=32，AP=52
∴AP的取值范围是0
∴∠ABP=∠MBP，
∴∠ABM=2∠ABP，
∵∠ABM=2∠ADG，
∴∠ABP=∠ADG，
∵∠A=∠A，
∴△ADG∽△ABP，
∴APAG=ABAD=54，
设AP=5x，AG=4x，
过M作MH⊥AD于H，
∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，
∴AP=MP=5x，AM⊥BP，
∴∠DAM=90°−∠BAM=∠ABP=∠ADG，
∴AM=DM，
∴DH=AH=2，HP=2−5x，
∵∠BAD=∠MHA=90°，
∴MN//AG，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN=12AG=2x，
在Rt△PHM中，PM2=PH2+HM2，
∴(5x)2=(2x)2+(2−5x)2，
解得x1=5− 212，x2=5+ 212(不合题意舍去)，
∴AP=25−5 212．
【解析】(1)根据矩形的性质得到AB=CD=5，BC=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠PMB=∠A=90°，BM=AB=5，根据勾股定理得到CM= BM2−BC2= 52−42=3DM=5−3=2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)根据折叠的性质得到∠ABP=∠MBP，求得∠ABM=2∠ABP，根据相似三角形的性质得到APAG=ABAD=54，设AP=5x，AG=4x，过M作MH⊥AD于H，根据折叠的性质得到AP=MP=5x，AM⊥BP，根据三角形中位线定理得到MN=12AG=2x，根据勾股定理即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx−2得：
∴a−b−2=09a+3b−2=0，
解得a=23b=−43，
∴二次函数的函数表达式为y=23x2−43x−2；
(2)∵y=23x2−43x−2=23(x−1)2−83，
∴抛物线顶点D(1,−83)；
设直线BD的函数表达式为y=kx+n，
∴3k+n=0k+n=−83，
解得k=43n=−4，
∴直线BD的函数表达式为：y=43x−4；
设BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE于点P，如图：
在y=23x2−43x−2中，令x=0得y=−2，
∴C(0,−2)，
在y=43x−4中，令x=0得y=−4，
∴E(0,−4)，
∴BE= OB2+OE2= 32+42=5，CE=OE−OC=2，
∵2S△CBE=BE⋅CP=CE⋅OB，
∴CP=CE⋅OBBE=2×35=65，
∵BC= OB2+OC2= 32+22= 13，
∴sin∠BCD=CPBC=65 13=6 1365；
(3)存在△CMN与△AOC相似，理由如下：
由C(0,−2)，B(3,0)得直线BC解析式为y=23x−2，
设M(p,0)，N(q,23q−2)，
∵△AOC是直角三角形，且OAOC=12，
∴△CMN与△AOC相似，△CMN是直角三角形，且两直角边的比为12，
①点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，∠MCN不可能是直角；
②若∠CMN是直角，则MNCM=12或CMMN=12，过N作NH⊥x轴于H，如图：
∵∠NMH=90°−∠CMO=∠MCO，∠MHN=90°=∠COM，
∴△MHN∽△COM，
∴MHOC=HNOM=MNCM，即q−p2=2−23 qp=MNCM，
若MNCM=12，则q−p2=2−23qp=12，
解得p=87q=157，
∴N(157,−47)；
若CMMN=12，则q−p2=2−23qp=2，
解得p=−14q=154(此时N不在线段BC上，舍去)；
③若∠CNM为直角，则MNCN=12或CMMN=12，过N作KT⊥x轴于K，过C作CT⊥KT于T，如图：
同理可得△CNT∽△NMK，
∴MKNT=KNCT=MNCN，
当MNCN=12时，
q−p23q=2−23qq=12，
解得q=127，
∴N(127,−67)，
当CMMN=12时，
q−p23q=2−23qq=2，
解得q=34，
∴N(34,−32)；
综上所述，点N的坐标为：(157,−47)或(127,−67)或(34,−32)．
【解析】(1)用待定系数法可得二次函数的函数表达式为y=23x2−43x−2；
(2)由y=23x2−43x−2=23(x−1)2−83，得D(1,−83)；用待定系数法可得直线BD的函数表达式为：y=43x−4；设BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE于点P，求得C(0,−2)，E(0,−4)，根据2S△CBE=BE⋅CP=CE⋅OB，得CP=CE⋅OBBE=65，即可得sin∠BCD=CPBC=65 13=6 1365；
(3)由C(0,−2)，B(3,0)得直线BC解析式为y=23x−2，设M(p,0)，N(q,23q−2)，根据△AOC是直角三角形，且OAOC=12，知△CMN是直角三角形，且两直角边的比为12，分三种情况：①点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，∠MCN不可能是直角；②若∠CMN是直角，则MNCM=12或CMMN=12，过N作NH⊥x轴于H，有△MHN∽△COM，可得q−p2=2−23 qp=MNCM，若MNCM=12，则q−p2=2−23qp=12，可解得N(157,−47)；若CMMN=12，则q−p2=2−23qp=2，解得p=−14q=154(此时N不在线段BC上，舍去)；③若∠CNM为直角，则MNCN=12或CMMN=12，过N作KT⊥x轴于K，过C作CT⊥KT于T，同理可得△CNT∽△NMK，当MNCN=12时，q−p23q=2−23qq=12，可得N(127,−67)，当CMMN=12时，得N(34,−32).
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
2023年江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. a3+a4=a7 B. (−2a3)4=16a12 C. (a3)4=a7 D. a3⋅a4=a12
3. 如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为( )
A. 10 B. 10π C. 20 D. 20π
4. 下列命题中：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形；(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，则一次函数y=x−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P(−a,a)(a>0)，连接AP交y轴于点B.若AB：BP=2：1.则sin∠PAO的值是( )
A. 13
B. 55
C. 1010
D. 3 1010
7. 如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=24，AB=15，则线段PB的长等于( )
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 5 2
8. 如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y=−4x上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使DE=12CD，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 72
D. 4
9. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD=2，点E是⊙O上的动点(不与C重合)，点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为( )
A. 2 3 B. 2 2 C. 3 2 D. 72
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
10. 分解因式：x3−x=
11. 据统计，2023年我国人口数约为14亿4730万，其中4730用科学记数法表示为______ ．
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是______．
13. 请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线x=−2为对称轴，开口向上的抛物线：______ ．
14. 小明在跳绳考核中，前4次跳绳成绩(次数/分钟)记录为：140，138，140，137，若要使5次跳绳成绩的平均数与众数相同，则小明第5次跳绳成绩是______ ．
15. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，点C在劣弧AB上，∠P=38°，则∠ACB= ______ °.
16. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，连接ED、EC，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EN，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EM，连接MN，则线段MN的取值范围为______ ．
17. 如图，二次函数y=14x2−32x−4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，则∠ACB= ______ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ//y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
(1)计算： 27−3cos30°+(1−π)0；
(2)化简：a−1a−b−a+1b−a+2bb−a．
19. (本小题8.0分)
(1)解不等式组4(x+1)≤7x+7x−12−x−44<1；
(2)已知M=2x2−2x+3，N=4x2−3x+4，请比较M和N的大小．
20. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE、AC、ED，AC与ED交于点O，AE=AB，求证：
(1)AC=DE．
(2)OE=OC．
21. (本小题10.0分)
某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行线上问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下：
调查问卷(部分)
1.你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题：
2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____(单选)．
A.没时间B.家长不舍得C.不喜欢D.其它
中小学生每周参加家庭劳动时间x(h)分为5组：第一组(0≤x<0.5)，第二组(0.5≤x<1)，第三组(1≤x<1.5)，第四组(1.5≤x<2)，第五组(x≥2).根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
22. (本小题10.0分)
将分别标有数字1，2，4，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是______ ．
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
23. (本小题10.0分)
已知△ABC，∠B=60°，ABBC=32．
(1)如图1，若BC=2 3，求AC的长；
(2)如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC.(尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．)
24. (本小题10.0分)
如图，△ABD内接于⊙O，AB是直径，E是BD上一点，且DE=DA，连接AE交BD于F，在BD延长线上取点C，使得∠CAD=∠EAD．
(1)试判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AE=24，tanE=34，求⊙O的半径长．
25. (本小题10.0分)
如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成.矩形OABC的边OA=34米，OC=9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为(92,245)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON=7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是125米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
26. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=4.点P在AD上运动(点P不与点A、D重合)将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处(包括矩形边界)．
(1)求AP的取值范围；
(2)连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM=2∠ADG时，求AP的长．
27. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC、AC．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；
(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【解答】
解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，a3与a4不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式=16a12，故该选项符合题意；
C选项，原式=a12，故该选项不符合题意；
D选项，原式=a7，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则判断A选项；根据积的乘方和幂的乘方判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握(am)n=amn是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∴这个圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π，
∴这个圆锥的侧面积为：12×4π×5=10π，
故选：B．
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
(2)对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
5.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，
∴k<0．
∵1>0，−k>0，
∴一次函数y=x−k的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
由正比例函数图象在第二、四象限可得出k<0，由1>0，−k>0，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=x−k的图象经过的象限，此题得解．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0得到y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：作PC⊥x轴于点C，
∵点P(−a,a)(a>0)，
∴OC=a，PC=a．
∵AB：BP=2：1，
∴AB：AP=2：3．
∵BO⊥x轴，PC⊥x轴，
∴BO//PC，
∴ABBP=AOOC=2，BOPC=ABAP=23，
∴AO=2a，BO=2a3，
∴AB= AO2+BO2=2 103a，
∴sin∠PAO=BOAB=23a2 103a= 1010．
故选：C．
作PC⊥x轴于点C，利用平行线分线段成比例定理用含a的代数式表示出BO和AO，再根据勾股定理求出AB，进而计算出sin∠PAO的值．
本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5，
CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=24−15=9，
在Rt△FNC中，FN= 152−92=12，
∴MF=15−12=3，
在Rt△MEF中，设EF=x，则ME=9−x，由勾股定理得，
32+(9−x)2=x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
∵∠CNF=∠PGF=90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
∴GN=PH=BH=12−3m，HN=15−(4−3m)=3+3m=PG=4m，
解得：m=3，
∴BH=PH=3，
∴BP=3 2，
故选：B．
根据折叠可得ABNM是正方形，CD=CF=51，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG=HN，列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b．
∵点A在双曲线y=−4x上，
∴A(−2m,2m)，
∴AJ=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DK//BC，
∴DKBC=EDEC=13，
∴BC=AD=3b，AK=2b，JK=2b−2m，
∵JF//DE，
∴JFDE=JKDK，
∴JFm=2b−2mb，
∴JF=2mb−2b，
∴OF=OJ−JF=2m−2mb−2b=2b，
∴S△BFC=12⋅BC⋅OF=12×3b⋅2b=3，
故选：B．
设AD交y轴于J，交BE于K，设AB=CD=2m，则DE=m，设DK=b.利用平行线分线段成比例定理求出BC，OF即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示：连接OE、OC，取OC的中点M，连接MF和DM，设⊙O的半径为r，
∵点F为CE的中点，
∴MF=12OE=r2，
∵点E是⊙O上的动点(不与C重合)，点C为顶点，
∴点F的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上，
则DF≤DM+MF，
∴当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF=DM+MF，
∴DM=4−r2，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO=90°，
∵点M为OC的中点，
∴DM=12OC=r2，
∴r2=4−r2，解得：r=4，
∴OD=OA−AD=2，
在Rt△CDO中，CD= OC2−OD2=2 3；
故选：A．
首先根据题意取OC的中点，根据点E的运动轨迹，确定点F的运动轨迹，根据DF≤DM+MF，可确定当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF=DM+MF，求出DM=4−r2，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则DM=12OC=r2，联立即可求出半径r的值，然后求出OD的长，利用勾股定理即可求出CD的长．
本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点D、M、F三点共线时，DF有最大值4．
10.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：x3−x，
=x(x2−1)，
=x(x+1)(x−1)．
故答案为：x(x+1)(x−1)．
11.【答案】4.73×103
【解析】解：4730=4.73×103，
故答案为：4.73×103．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
13.【答案】y=(x+2)2(答案不唯一)
【解析】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵图象的开口向上，
∴a>0，可取a=1，
∵对称轴是直线x=−2，
∴函数解析式可以为：y=(x+2)2(答案不唯一)．
故答案为：y=(x+2)2(答案不唯一)．
由题意可知：写出的函数解析式满足a>0，对称轴为直线x=−2，由此举例得出答案即可．
本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−b2a；当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点(0,c)．
14.【答案】145
【解析】解：设小明第5次跳绳成绩是x次数/分钟，
根据题意得，15(140+138+140+137+x)=140，
解得x=145．
故答案为：145．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可知小明5次跳绳成绩的众数为140，设小明第5次跳绳成绩是x次数/分钟，根据5次跳绳成绩的平均数与众数相同列出方程，求解即可．
本题考查了众数与平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和除以数据的个数．掌握定义是解题的关键．
15.【答案】109
【解析】解：作AB所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°−38°=142°，
∴∠ADB=12∠AOB=71°，
∵∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ACB=180°−71°=109°．
故答案为：109．
作AB所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，先根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB=142°，则根据圆周角定理得到∴ADB=71°，然后根据圆内接四边形的对角互补计算∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16.【答案】4≤MN≤2 5
【解析】解：如图，过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，
则∠EFM=∠EGN=∠FHN=∠NHM=90°，
由旋转得：EM=EC，EN=ED，∠CEM=∠DEN=90°，
∴∠MEF+∠CEB=90°，∠DEA+∠NEG=90°，
∵∠MEF+∠EMF=90°，∠DEA+∠EDA=90°，
∴∠CEB=∠EMF，∠NEG=∠EDA，
∵正方形ABCD的边长为2，点E是边AB上的动点，设AE=x(0≤x≤2)，则BE=2−x，
∴AB=AD=BC=2，∠DEA=∠CBE=90°，
在△MEF和△ECB中，
∠EFM=CBE=90°∠EMF=∠CEBEM=EC，
∴△MEF≌△ECB(AAS)，
∴MF=BE=2−x，EF=BC=2，
同理：NG=AE=x，EG=AD=2，
∴FG=EF+EG=2+2=4，
∵∠MFE=∠NGE=∠FHN=90°，
∴四边形FGNH是矩形，
∴HN=FG=4，FH=NG=x，
∴MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，
在Rt△MNH中，MN2=MH2+HN2=(2−2x)2+42=4(x−1)2+16，
∵0≤x≤2，
∴0≤(x−1)2≤1，
∴16≤4(x−1)2+16≤20，
即16≤MN2≤20，
∵MN>0，
∴线段MN的取值范围为4≤MN≤2 5．
故答案为：4≤MN≤2 5．
过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点N作NG⊥AB，交AB的延长线于点G，作NH⊥FM于点H，可证得△MEF≌△ECB(AAS)，得出MF=BE=2−x，EF=BC=2，同理：NG=AE=x，EG=AD=2，得出FG=EF+EG=2+2=4，再证得四边形FGNH是矩形，得出HN=FG=4，FH=NG=x，MH=MF−FH=2−x−x=2−2x，再运用勾股定理即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
17.【答案】90 5− 5或3 52
【解析】解：在y=14x2−32x−4中，令x=0得y=−4，令y=0得x=8或x=−2，
∴A(−2,0)，B(8,0)，C(0,−4)，
∴AB2=100，AC2=20，BC2=80，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°；
当NQ=MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：
∴∠QMN=∠QNM=∠ANC，
∵QM//y轴，
∴∠QMN=∠NKC=∠AKO，
∴∠ANC=∠AKO，
∴∠OAK=90°−∠AKO=90°−∠ANC=∠CAN，
∵∠AHN=90°=∠ACN，AN=AN，
∴△AHN≌△ACN(AAS)，
∴AH=AC= 20=2 5，NC=HN，
∴BH=AB−AH=10−2 5，
∵∠HBN=∠CBA，∠NHB=90°=∠ACB，
∴△BHN∽△BCA，
∴HNAC=BHBC，即HN2 5=10−2 54 5，
∴HN=5− 5，
∴NC=5− 5；
当NQ=NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：
∴∠NQM=∠NMQ，
∵QM//y轴，
∴∠NKC=∠NCK，
∴NK=NC，
∵∠AKO=∠NKC，
∴∠AKO=∠NCK，
∴∠OAK=90°−∠AKO=90°−∠NCK=∠ACO，
∵∠AOK=90°=∠COA，
∴△AOK∽△COA，
∴OKOA=OAOC，即OK2=24，
∴OK=1，
∴CK=OC−OK=4−1=3，AK= OA2+OK2= 22+12= 5，
∴TK=CT=12CK=32，
∵∠AKO=∠TKN，∠AOK=90°=∠NTK，
∴△AOK∽△NTK，
∴OKTK=AKNK即132= 5NK，
∴NK=3 52，
∴NC=3 52，
∴线段NC的长为5− 5或3 52．
故答案为：90，5− 5或3 52．
由y=14x2−32x−4可得A(−2,0)，B(8,0)，C(0,−4)，即得AB2=100，AC2=20，BC2=80，故AB 2=AC2+BC2，从而∠ACB=90°；当NQ=MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN(AAS)，即得AH=AC= 20=2 5，NC=HN，有BH=AB−AH=10−2 5，由△BHN∽△BCA，得HN2 5=10−2 54 5，求出HN=5− 5，故NC=5− 5；当NQ=NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得OK2=24，OK=1，CK=OC−OK=3，AK= OA2+OK2= 5，求出TK=CT=12CK=32，由△AOK∽△NTK，可得132= 5NK，求得NK=3 52，故NC=3 52．
本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理．
18.【答案】解：(1) 27−3cos30°+(1−π)0
=3 3−3× 32+1
=3 3−3 32+1
=3 32+1；
(2)a−1a−b−a+1b−a+2bb−a
=a−1a−b+a+1a−b−2ba−b
=a−1+a+1−2ba−b
=2a−2ba−b
=2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)利用分式的加减法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：(1)4(x+1)≤7x+7①x−12−x−44<1②，
由①得：x≥−1，
由②得：x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2；
(2)∵M=2x2−2x+3，N=4x2−3x+4，
∴M−N=(2x2−2x+3)−(4x2−3x+4)
=2x2−2x+3−4x2+3x−4
=−2x2+x−1
=−2(x−14)2−78<0，
∴M
(2)把M与N代入M−N中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出M与N的大小．
此题考查了配方法的应用，解一元一次不等式组，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式及不等式组的解法是解本题的关键．
20.【答案】证明：(1)平行四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵AB=AE，
∴AE=CD，∠B=∠AEB，
∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEC=∠BCD，
又∵EC=CE，
∴△AEC≌△DCE(SAS)，
∴AC=DE；
(2)由(1)得△AEC≌△DCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC．
【解析】(1)根据平行四边形的性质及邻补角定义推出AE=CD，∠AEC=∠BCD，EC=CE，利用SAS证明△AEC≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)结合(1)根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，
故中位数落在第二组；
(2)1200×(1−8.7%−43.2%−30.6%)=175(人)，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
(3)由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯(答案不唯一)．
【解析】(1)由中位数的定义即可得出结论；
(2)用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
(3)答案不唯一，合理均可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
22.【答案】12
【解析】解：(1)∵1，2，4，5中，为质数的是2，5，
∴随机地抽取一张，抽到卡片上所标数字为质数的概率是24=12．
故答案为：12．
(2)列表如下：
1
2
4
5
1
12
14
15
2
21
24
25
4
41
42
45
5
51
52
54
共有12种等可能的结果，其中能被3整除的两位数的结果有：12，15，21，24，42，45，51，54，共8种，
∴这个两位数能被3整除的概率为812=23．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及能被3整除的两位数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)过C作CH⊥AB于H，如图：
∵BC=2 3，∠B=60°，
∴BH= 3，CH= 3BH=3，
∵ABBC=32，
∴AB=32BC=32×2 3=3 3，
∴AH=AB−BH=2 3，
在Rt△AHC中，
AC= AH2+CH2= (2 3)2+32= 21，
答：AC的长为 21；
(2)如图：
四边形ABCD即为所求四边形．
【解析】(1)过C作CH⊥AB于H，由BC=2 3，∠B=60°，得BH= 3，CH= 3BH=3，根据ABBC=32，可得AB=3 3，AH=AB−BH=2 3，用勾股定理得AC的长为 21；
(2)作△ABC的外接圆，再以A为圆心，BC为半径作弧与外接圆交点即为D．
本题考查直角三角形的边角关系及尺规作图，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法．
24.【答案】解：(1)直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°，
∵AD=DE，
∴∠E=∠EAD，
∵∠E=∠B，∠CAD=∠EAD，
∴∠CAD=∠B，
∴∠B+∠C=90°
∴∠BAC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
(2)过D作DH⊥AE于H，
∵DE=DA，
∴AH=EH=12AE=12，
∵tanE=tan∠EAD=DHAH=34，
∴DH=9
∴AD= AH2+DH2= 92+122=15，
∵∠B=∠E，
∴tanB=ADBD=34，
∴BD=20，
∴AB= AD2+BD2=25，
∴⊙O的半径长为252．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠EAD，求得∠BAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)过D作DH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质得到AH=EH=12AE=12，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意知，抛物线顶点D的坐标为(92,245)，
设抛物线的表达式为y=a(x−92)2+245，
将点A(0,34)代入抛物线解析式得34=a(0−92)2+245，
解得a=−15，
∴抛物线对应的函数的表达式为y=−15(x−92)2+245；
(2)①将x=7.5代入y=−15(x−92)2+245中，得y=3，
∴点M(152,3)，∴设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，
将点M(152,3)代入得152k=3，
∴k=25，
∴直线OM的解析式为y=25x，
∴EF=−15(m−92)2+245−25m=−15m2+75m+34=−15(m−72)2+165，∵−15<0，
∴当m=72时，EF有最大值，为165；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是125米，
∴当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，
令EF=125，即−15(m−72)2+165=125，
解得m1=32,m2=112，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32
(2)①先求出点M坐标为(152,3)，再求出直线OM的解析式为y=25x，进而求出EF=−15m2+75m+34=−15(m−72)2+165，根据二次函数性质即可求出当m=72时，EF有最大值165；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是125米，得到当EF>125时，他就不能刷到大门顶部，令EF=125，得到−15(m−72)2+165=125，解得m1=32,m2=112，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是32
26.【答案】解：(1)当M落在CD上时，AP的长度达到最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，
∵△ABP沿直线翻折，
∴∠PMB=∠A=90°，BM=AB=5，
∴CM= BM2−BC2= 52−42=3DM=5−3=2，
∴∠PMD+∠BMC=90°，∠PMD+∠MPD=90°，
∴∠BMC=∠MPD，
∴△PDM∽△MCB，
∴PDCM=DMBC，PD3=24，
∴PD=32，AP=52
∴AP的取值范围是0
∴∠ABP=∠MBP，
∴∠ABM=2∠ABP，
∵∠ABM=2∠ADG，
∴∠ABP=∠ADG，
∵∠A=∠A，
∴△ADG∽△ABP，
∴APAG=ABAD=54，
设AP=5x，AG=4x，
过M作MH⊥AD于H，
∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，
∴AP=MP=5x，AM⊥BP，
∴∠DAM=90°−∠BAM=∠ABP=∠ADG，
∴AM=DM，
∴DH=AH=2，HP=2−5x，
∵∠BAD=∠MHA=90°，
∴MN//AG，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN=12AG=2x，
在Rt△PHM中，PM2=PH2+HM2，
∴(5x)2=(2x)2+(2−5x)2，
解得x1=5− 212，x2=5+ 212(不合题意舍去)，
∴AP=25−5 212．
【解析】(1)根据矩形的性质得到AB=CD=5，BC=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠PMB=∠A=90°，BM=AB=5，根据勾股定理得到CM= BM2−BC2= 52−42=3DM=5−3=2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
(2)根据折叠的性质得到∠ABP=∠MBP，求得∠ABM=2∠ABP，根据相似三角形的性质得到APAG=ABAD=54，设AP=5x，AG=4x，过M作MH⊥AD于H，根据折叠的性质得到AP=MP=5x，AM⊥BP，根据三角形中位线定理得到MN=12AG=2x，根据勾股定理即可得到结论．
本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
27.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx−2得：
∴a−b−2=09a+3b−2=0，
解得a=23b=−43，
∴二次函数的函数表达式为y=23x2−43x−2；
(2)∵y=23x2−43x−2=23(x−1)2−83，
∴抛物线顶点D(1,−83)；
设直线BD的函数表达式为y=kx+n，
∴3k+n=0k+n=−83，
解得k=43n=−4，
∴直线BD的函数表达式为：y=43x−4；
设BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE于点P，如图：
在y=23x2−43x−2中，令x=0得y=−2，
∴C(0,−2)，
在y=43x−4中，令x=0得y=−4，
∴E(0,−4)，
∴BE= OB2+OE2= 32+42=5，CE=OE−OC=2，
∵2S△CBE=BE⋅CP=CE⋅OB，
∴CP=CE⋅OBBE=2×35=65，
∵BC= OB2+OC2= 32+22= 13，
∴sin∠BCD=CPBC=65 13=6 1365；
(3)存在△CMN与△AOC相似，理由如下：
由C(0,−2)，B(3,0)得直线BC解析式为y=23x−2，
设M(p,0)，N(q,23q−2)，
∵△AOC是直角三角形，且OAOC=12，
∴△CMN与△AOC相似，△CMN是直角三角形，且两直角边的比为12，
①点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，∠MCN不可能是直角；
②若∠CMN是直角，则MNCM=12或CMMN=12，过N作NH⊥x轴于H，如图：
∵∠NMH=90°−∠CMO=∠MCO，∠MHN=90°=∠COM，
∴△MHN∽△COM，
∴MHOC=HNOM=MNCM，即q−p2=2−23 qp=MNCM，
若MNCM=12，则q−p2=2−23qp=12，
解得p=87q=157，
∴N(157,−47)；
若CMMN=12，则q−p2=2−23qp=2，
解得p=−14q=154(此时N不在线段BC上，舍去)；
③若∠CNM为直角，则MNCN=12或CMMN=12，过N作KT⊥x轴于K，过C作CT⊥KT于T，如图：
同理可得△CNT∽△NMK，
∴MKNT=KNCT=MNCN，
当MNCN=12时，
q−p23q=2−23qq=12，
解得q=127，
∴N(127,−67)，
当CMMN=12时，
q−p23q=2−23qq=2，
解得q=34，
∴N(34,−32)；
综上所述，点N的坐标为：(157,−47)或(127,−67)或(34,−32)．
【解析】(1)用待定系数法可得二次函数的函数表达式为y=23x2−43x−2；
(2)由y=23x2−43x−2=23(x−1)2−83，得D(1,−83)；用待定系数法可得直线BD的函数表达式为：y=43x−4；设BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE于点P，求得C(0,−2)，E(0,−4)，根据2S△CBE=BE⋅CP=CE⋅OB，得CP=CE⋅OBBE=65，即可得sin∠BCD=CPBC=65 13=6 1365；
(3)由C(0,−2)，B(3,0)得直线BC解析式为y=23x−2，设M(p,0)，N(q,23q−2)，根据△AOC是直角三角形，且OAOC=12，知△CMN是直角三角形，且两直角边的比为12，分三种情况：①点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，∠MCN不可能是直角；②若∠CMN是直角，则MNCM=12或CMMN=12，过N作NH⊥x轴于H，有△MHN∽△COM，可得q−p2=2−23 qp=MNCM，若MNCM=12，则q−p2=2−23qp=12，可解得N(157,−47)；若CMMN=12，则q−p2=2−23qp=2，解得p=−14q=154(此时N不在线段BC上，舍去)；③若∠CNM为直角，则MNCN=12或CMMN=12，过N作KT⊥x轴于K，过C作CT⊥KT于T，同理可得△CNT∽△NMK，当MNCN=12时，q−p23q=2−23qq=12，可得N(127,−67)，当CMMN=12时，得N(34,−32).
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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