2023年北京市海淀区九年级二模数学试卷(含答案)

这是一份2023年北京市海淀区九年级二模数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了05， 下列运算正确的是， 如果，那么代数式的值是， 分解因式等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市海淀区九年级二模数学试卷
数 学
2023.05
学校 姓名 准考证号
考
生
须
知
1．本试卷共6页，共两部分，共28道题，满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是

（A） （B） （C） （D）
2. 下列运算正确的是
（A）= （B）=
（C）= （D）=
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足a+b<0，则b的值可以是

（A） （B） （C） （D）
4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是
（A） （B） （C） （D）
6. 如果，那么代数式的值是
（A） （B）1 （C） （D）2
7. 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是
（A）△DEF （B）△DHF
（C）△GEH （D）△GDH
8.小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下：
星期
一
二
三
四
五
六
日
页数
15
20
15
10
20
40
30
若小明按照计划从星期x开始连续阅读，10天后剩下的页数为y，则y与x的图象可能为

（A） （B）

（C） （D）

第二部分 非选择题
二、填空题（共16题，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 ．
10. 分解因式：=　 ．
11. 用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是　 ．
12. 如图，正方形ABCD，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2，则正方形的边长为　 ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值　 ．
14. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95％；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75％；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25％．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示：
种子数量
10
50
150
300
500
800
发芽数量
9
41
133
261
431
689
发芽率
0.9
0.82
0.887
0.87
0.862
0.861
据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是　 （填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）．
15．如图，AB为☉O的弦，C为☉O上一点，OC⊥AB于点D. 若，AB=6，则=　 ．
16．四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a=4，b=7，c为整数，m=0.2（a+b+c）．
（1）若c=10，则A，B，C中与M距离最小的点为　 ；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有　 个．
三、解答题（共 68 分，第 17 - 20 题，每题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23 - 24 题，每 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27 - 28 题，每题 7 分） 　　
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）；
（2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．
①∠BEC= °；
②写出图中一个与∠CBE相等的角 ．

20．已知关于的一元二次方程().
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程一个根为，求的值和方程的另一个根．

21．在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A（2，m) ．
（1） 求k，m的值；
（2） 已知点P（n，0) ，过点P作垂直于x轴的直线交直线于点M，交直线于点N．若MN=2，直接写出n的值．



22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA中点．连接DE并延长至点F，使得EF=DE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形AFBO为平行四边形；
（2）若∠BDA=∠BDC，求证：四边形AFBO为矩形．




23．某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下：

b．甲款红茶分数在85≤x＜90这一组的是：
86 86 86 86 86 87 87 88 88 89
c．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图；
（2）表格中m的值为_______，n的值为_______；
（3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6:4的比例确定最终成绩，可以认定_______款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）．
24．如图，P为☉O外一点，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C在☉O上，连接OA，OC，AC．
（1）求证：∠AOC=2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB，☉O的半径为5，AC=6，求AP的长．
25．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．

图1 直发式 图2 间发式
通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1 直发式

表2 间发式

根据以上信息，回答问题：
（1）表格中m=_________，n=_________；
（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“ =” 或“<”） ．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线过点（1，4a＋2）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G，，是图形G上的点，设.
①当时，求的值；
②若，求的取值范围．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F .
（1）①依题意补全图形；
②求证：∠B＝∠AFE；
（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于△OAB和点P（不与点O重合）给出如下定义：若边OA，OB上分别存在点M，点N，使得点O与点P关于直线MN对称，则称点P为△OAB的“翻折点”．
（1）已知A（3，0），B（0，）．
①若点M与点A重合，点N与点B重合，直接写出△OAB的“翻折点”的坐标；
②P是线段AB上一动点，当P是△OAB的“翻折点”时，求AP长的取值范围；
（2）直线（b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，若存在以直线AB为对称轴，且斜边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为
△OAB的“翻折点”，直接写出b的取值范围．

参考答案
第一部分　选择题
一、选择题 （共16分，每题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
C
B
B
C
A
第二部分　非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9． 10． 11．（答案不唯一）
12． 13．（答案不唯一） 14．三至五个月
15．3 16．，3
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题满分5分）
解：原式 ………………………………………………………………4分
． ……………………………………………………………5分
18．（本题满分5分）
解：去分母，得．…………………………………………………………1分
去括号，得． ………………………………………………………2分
移项，得．
合并同类项，得.……………………………………………………………3分
系数化为1，得．………………………………………………………………4分
解集在数轴上表示如图所示：
…………………………………5分
19．（本题满分5分）
解：（1）

∴即为所求. ………………………………………………………2分
（2）①； ……………………………………………………………………4分
②（答案不唯一）. ………………………………………………5分
20．（本题满分5分）
解：（1）方程有两个不相等的实数根. …………………………………………………1分
理由如下：
∵，，，
∴.
∵，
∴.
∴方程有两个不相等的实数根. ………………………………………………2分
（2）∵方程的一个根为，
∴.
∴.………………………………………………………………………3分
∴.
∴，.
∴方程的另一个根为.……………………………………………………5分
21. （本题满分6分）
解：（1）∵点在直线上，
∴. …………………………………………………………………2分
∴点在直线上.
∴.
∴. …………………………………………………………………………4分
（2）或6.……………………………………………………………………………6分
22．（本题满分5分）
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴.…………………………………………………………………1分
∵，
∴，.
∵为中点，
∴.
∴.
∴四边形AFBO为平行四边形. …………………………………………3分
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴平行四边形ABCD为菱形.
∴.
∴°.
∵四边形AFBO为平行四边形，
∴四边形AFBO为矩形. ……………………………………………5分
23．（本题满分6分）
（1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图
………………………………2分
（2）86，87；……………………………………………………………………………4分
（3）甲．…………………………………………………………………………………6分
24．（本题满分6分）
（1） 证明：∵PA是O的切线，切点为A，
∴OA⊥PA.
∴∠OAP90°.
∴∠OAC90°－∠PAC.
∵OAOC，
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠AOC180°－2∠OAC.
∴∠AOC2∠PAC. ………………………………………3分
（2）解：延长AC交PB于点D，过点O作OE⊥AC于E.
∴∠OEC90°.
∵OAOC，
∴AEEC，∠AOE∠COE.
∵∠AOC2∠PAC，
∴∠AOE∠AOC∠PAC.
∵AC6，O的半径为5，
∴AEAC3.
∴.
∴cos∠AOE.
∴cos∠PACcos∠AOE.
∵ PB是O的切线，切点为B，
∴ OB⊥PB.
∴∠OBP90°.
∵AC∥OB，
∴∠ADB180°－∠OBP90°.
∵∠OEC90°，
∴四边形OEDB是矩形.
∴EDOB5.
∴ADAE+ED8.
在△APD中，∠APD90°，
∴AP. …………………………………………………6分
25．（本题满分5分）
（1）3.84，2.52； ………………………………………………………………………2分
（2）由题意可知，抛物线的顶点为（4，4），
∴设抛物线的解析式为.
∵当x＝6时，y＝3.96，
∴，解得 .
∴抛物线的解析式为. ………………………………………4分
（3）= . ……………………………………………………………………………………5分
26.（本题满分6分）
（1）∵抛物线 过点，
∴.
∴.………………………………………………………………………1分
∴.
∴抛物线的顶点坐标为.……………………………………………………2分
（2）①∵，
∴点，.
∴
∴…………………………………………………………………3分
②∵，
∴直线的解析式为.
当时，，
∴点在原抛物线上.
∴点关于对称.
∴.
当时，.
∵，
∴抛物线开口向上.
∴时，y随x的增大而增大.
∴.
∴，不符合题意.
当时，由①可知，符合题意.
当时，.
∴点在原抛物线上，
点在原抛物线沿直线翻折后的抛物线上.
∴点关于直线的对称点在原抛物线上.
∴点与点关于对称.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
综上所述， 的取值范围是.…………………………………………6分


27.（本题满分7分）
（1）①依题意补全图形.
………………………………………1分
②∵，,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∴. ………………………………3分
（2） 线段CF与DF的数量关系为CFDF. ………………………………4分
证明：延长FE至点G，使EGEF，连接AG，BG.
∵AE⊥EF，
∴AE垂直平分GF.
∴AGAF.
∴∠GAE∠EAFα.
∴∠GAF∠GAE＋∠EAF2α.
∵∠BAC2α，
∴∠GAF∠BAC.
∴∠GAB∠FAC.
∵ABAC，AGAF，
∴△AGB≌△AFC（SAS）.
∴GBFC.
∵E为BD中点，
∴BEDE.
∵∠GEB∠DEF，
∴△GBE≌△FDE（SAS）.
∴GBDF.
∴DFCF. ………………………………………………………………………7分
28.（本题满分7分）
（1）①；…………………………………………………………………………2分
② ∵如图,点O与点P关于直线MN对称，
∴MN垂直平分OP.
∴OMPM，ONPN.
∴点P为分别以点M，N为圆心，MO，NO为半径的圆的交点（其中一个交点为O，另一个交点为P）.
………………………………………………………3分
∵点M，N分别在OB，OA上，
∴如图，点P所在的区域为分别以点A，B为圆心，OA，OB为半径的两圆内部的公共部分（含边界，不含点O），设两圆与线段AB分别交于C，D两点，则点P在线段CD上运动.
∵A（3，0），B（0，），
∴OAAC3，OBBD.
∵∠AOB=90°，
∴AB6.
∴的最大值为3，的最小值为.
∴.………………………………………………………………5分
（2）. …………………………………………………………………………7分