吉林省东北师大附中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

东北师大附中2020-2021学年高一年级数学学科试卷

上学期期中试卷

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知集合，则满足的集合的个数是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．设，则“”是的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．下列各组函数表示同一函数的是（    ）

A．    B．

C．    D．

5．命题“”的否定是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．设，则的大小关系是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．若，使得，则实数m的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

8．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，再每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．下列命题中为真命题的是（    ）

A．若，则    B．若，则

C．若，则    D．若，则

10．下列函数中，在各自定义域内既为增函数又为奇函数的是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．设函数，且，下列说法正确的是（    ）

A．函数有最小值0，无最大值

B．函数与直线的图像有两个不同的公共点

C．若，则

D．若，则的取值范围是

12．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的值域为

C．函数的单调递增区间为

D．设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

13．不等式的解集是__________．

14．如图，一个长为5，宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形，则阴影部分面积的最小值为______________．

15．已知关于x的不等式为．若，则该不等式的解集是_______；若该不等式对任意的均成立，则a的取值范围是_________．

16．古希腊数学家希波拉克底研究过右侧的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边，直角边，，若以，为直径的两个半圆的弧长总长度为，则以斜边为直径的半圆面积最小值为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）

17．（本小题满分8分）

已知集合，．

（1）当时，求；

（2）设命题．命题．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

18．（本小题满分8分）

（1）已知，求函数的最大值；

（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．

19．（本小题满分10分）

已知函数是定义在上的单调函数，且是奇函数．．

（1）求的解析式并判断在上的单调性（不需证明）；

（2）解关于t的不等式．

20．（本小题满分10分）

心理学研究表明，学生在课堂上个时间段的接受能力不同．上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定．设课上开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？

（2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小；

（3）若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直打达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由．

21．（本小题满分10分）

已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）设函数，，求的最大值，并求的最小值．

22．（本小题10分）

若定义在R上的函数满足：，，都有成立，且当时，．

（1）求证：为奇函数；

（2）求证：为上的增函数；

（3）若，且，，恒成立，求实数m的取值范围．

师大高一上期中考试

1．C  解析：，作交集可得

2．D  解析：由题题意可知，满足条件的集合Q有，，，共4个．

3．B  解析：解不等式，可得，由题意可知“”是“”的不要不充分条仵．

4．B  解析：A项，，；，，定义域不同

B项，，，，，正确

C项；定义域不同

D项，；，函数不同

5．A  解析：根据题意可画出指数函数图像，易知．

7．B  解析：

其中

若，使，

8．C解析：的对称轴为，抛物线开口向下，则有，次指数函数在上为减函数，，可得

综上

9．BCD  解析：A项，若时，显然不成立

B项，，则正确

C项，若，可变形为，正确

D项，为单调增函数，若，则正确

10．ACD  解析：A项，是奇函数，满足，且为增函数

B项，图像关于原点对称，是奇函数，单子啊定义域内不是单调增函数

C项，，在定义域内为增函数，且关于原点对称

D项，，

成立，为奇函数．

设

分子

，当时，分子大于0

分母明显大于0，故得证，为增函数．

11．AC  解析：由题意画出图像．

A项，当时，，无最大值

B项，与只有一个公共点

C项，且，且可知，在图像中如图，且，，且，则，则，，，

易和，且

则可写为

∵，

∴

12．ABD  解析：画出函数图像．

A项，，

B项，由图像易知，值域为

C项，有图像易知，区间内函数不单调

D项，的斜率为则增长速度小于，即时雨左支无交点成立，右支最低点为，代入应使，可得

综上

13．  解析：当即时，

当即时

综上

14．7  解析：

当时，阴有最小值．

15．     解析：当时，

令，

当时，，减函数，上恒成立

当时，即可，即

当时，即可，即

综上

16．  解析：设，

由题意可列

所求半圆面积

17．（1）

（2）

解析：（1）集合，当时。

（2）p是q的必要不充分条件，则B为A的真子集

，

或

解得，

18．（1）  （2）

解析：（1），，，故对函数变形

时等号成立．

即时等号成立．

最大值为

（2）

当时取等号

19．（1），增

（2）

解析：（1）是奇函数，且在定义域内

则有，，

将代入，，，

，

经判断，为增函数．

（2）

可列解得

20．（1）10分钟   5分钟

（2）5分钟>20分钟>35分钟

（3）不能．

解析：（1）由题意可知，当时，

则开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟．

（2），，

则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟

（3）当，

解得

当时，

故分钟<12分钟

老师不能再所需接受能力和状态下讲完这个难题．

21．（1）

（2）最小值为

解析：（1）设次为此函数为

由题意：

，

（2）

对称轴为，抛物线开口向上

当

时，时，有最大值

即时，最小值为

当时，时，有最大值，

即时，无最小值

综上

22．（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）或

解析：（1）

可得为奇函数

（2）设

∵

∴

当时，，则等式左边大于0

故，增函数得证．

（3）

．

故

为增函数，可得

∵恒成立

∴

整理得

或