湖南师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷 Word版含答案
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湖南师大附中2020-2021学年度高一第一学期期中考试
数学
时量:120分钟满分:100分(试卷Ⅰ)+50分(试卷Ⅱ)
得分:____________
试卷Ⅰ
一、选择题:本大题共6个小题,每小题5分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M=,N=,则M∩N=
A. B.
C. D.
2.命题“x0>0,x-4x0+3<0”的否定是
A.x>0,x2-4x+3≥0 B.x0≤0,x-4x0+3<0
C.x≤0,x2-4x+3<0 D.x0>0,x-4x0+3≥0
3.已知碳14是一种放射性元素,在放射过程中,质量会不断减少.已知1克碳14经过5730年,质量经过放射消耗到0.5克,则再经过多少年,质量可放射消耗到0.125克
A.5730 B.11460 C.17190 D.22920
4.下列四组函数中,f与g表示同一函数是
A.f=x-1,g=
B.f=,g=
C.f=1,g=
D.f=,g=
5.下列说法正确的是
A.a>bac2>bc2 B.a>ba2>b2
C.a>ba3>b3 D.a2>b2a>b
6.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是
A.0 B.-2 C.- D.-3
二、多选题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
7.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.若函数f、g分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f-g=ex,则有
A.f=
B.g=
C.f
三、填空题:本大题共2个小题,每小题5分,共10分.
9.设函数f=则f的值为________.
10.已知p:x2-8x-33>0,q:>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为______.
四、解答题:本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
11.(本小题满分12分)化简求值
(1)+-16+
(2)log2+2lg 4+lg+eln 2
12. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=+1为奇函数.
(1)求a的值,并用函数单调性的定义证明函数f在R上是增函数;
(2)求不等式f(t2)+f(2t-3)≤0的解集.
13.(本小题满分13分)
已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且 x>0时,f(x)<0.
(1)求证:f(x)在R上是奇函数;
(2)求证:f(x)在R上是减函数;
(3)若f(1)=-,求f(x)在区间 [-3,3]上的最大值和最小值.
14. (本小题满分13分)
已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),且f(x)≤0的解集为[-1,2].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式mf(x)>2(x-m-1),其中m∈R.
试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若奇函数f(x)在(-∞,0)内是减函数,且f(-2)=0, 则不等式x·f(x)>0的解集为
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
2.已知函数f(x)=在R上是单调的函数,则a的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
3.下列命题中正确的有
A.|x|2+|x|-2=0有四个实数解
B.设a、b、c是实数,若二次方程ax2+bx+c=0无实根,则ac>0
C.若a>b,则>
D.若x∈R,则函数y=+的最小值为2
4.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出如下命题,其中正确的是
A.c=0时,y=f(x)是奇函数
B.b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根
C.y=f(x)的图像关于点(0,c)对称
D.方程f(x)=0最多有两个实根
三、填空题:本大题共2个小题,每小题5分,共10分.
5.已知f(x)=ex-1+e1-x+2a只有一个零点,则a=____________.
6.设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0,(a∈Z),只有有限个整数解,且0是其中一个解,则不等式的全部整数解的和为____________.
四、解答题:本大题共2小题,共20分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
7.(本小题满分10分)
“金山银山,不如绿水青山,而且绿水青山就是金山银山”。某乡镇为创建“绿色家园”,决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木,已知这种树木自栽种之日起,其生长规律为:
树木的高度f(x)(单位:米)与生长年限x(单位:年)满足关系f(x)=(x≥0).
树木栽种时的高度为米;1年后,树木的高度达到米.
(1)求f(x)的解析式;
(2)问从种植起,第几年树木生长最快?
8. (本小题满分10分)
已知函数f(x)=e2x+(t+1)ex+t.
(1)当t=-e时,解不等式f(x)≥0的解集;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)
数学参考答案
Ⅰ
一、选择题:本大题共6个小题,每小题5分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
A
B
D
C
C
ABC
AD
1.B【解析】因为M=,N=,所以M∩N=,故选B.
2.A【解析】根据命题的否定的定义,该命题的否定是x>0,x2-4x+3≥0,故选:A.
3.B【解析】由题意可得:碳14的半衰期为5730年,则再过5730年后,质量从0.5克消耗到0.25克,过11460年后,质量可消耗到0.125克,故选B.
4.D【解析】两个函数如果是同一函数,则两个函数的定义域和对应法则应相同,A选项中,f(x)定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以二者不是同一函数,所以A错误;D选项中,f(x)==,与g(x)定义域相同,都是R,对应法则也相同,所以二者是同一函数,所以D正确;C选项中,f(x)定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以二者不是同一函数,所以C错误;B选项中,f(x)定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),所以二者不是同一函数,所以B错误,故选D.
5.C【解析】选项A,当c=0时,由a>b,不能推出ac2>bc2,故错误;选项B,当a=-1,b=-2时,显然有a>b,但a2<b2,故错误;选项C,当a>b时,必有a3>b3,故正确;选项D,当a=-2,b=-1时,显然有a2>b2,但却有a<b,故错误.故选C.
6.C【解析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈成立,等价于a≥-x-对于一切x∈成立,∵y=-x-在区间上是增函数∴-x-≤--2=-,∴a≥-,∴a的最小值为-,故选C.
二、多选题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
7.ABC【解析】函数y=x2-4x-4的对称轴方程为x=2,
当0≤m≤2时,函数在[0,m]上单调递减,x=0时,取最大值-4,x=m时,有最小值m2-4m-4=-8,
解得m=2.
则当m>2时,最小值为-8,而f (0)=-4,由对称性可知,m≤4.
∴实数m的值可能为2,3,4.
8.AD【解析】∵函数f,g分别为R上的奇函数、偶函数,则f=-f,g=g,又∵f-g=ex,…①,∴f-g=e-x,∴-f-g=e-x,…②
由①②得f=,g(x)=-,故A正确,B错误;
∴f(2)=>0,g(0)=-1,且f(x)=为增函数,∴g
9.2【解析】由f=1,f=2,所以f=f(1)=2.故填2.
10.【解析】由x2-8x-33>0得>0得x>11或x<-3,
由>a(a>0)得,x-1<-a或x-1>a,得x>1+a或x<1-a,
若p是q的充分不必要条件,则即得a≤4,
又a>0,则0<a≤4,即实数a的取值范围是,故填.
四、解答题:本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
11.【解析】(1)原式=23+1-+=8+1-8+22×33=109.6分
(2)原式=+lg42+lg+eln 2=-+lg+2=.12分
12.【解析】(1)由已知f=-f,∴+1=-,
∴++2=a+2=0,a=-2.2分
∴f(x)=+1.
证明:x1,x2∈R,且x1
∵x1
∴f(x1)-f(x2)=<0,6分
∴f(x1)
而f为奇函数,∴f≤f,8分
∵f为R上单调递增函数,∴t2≤-2t+3,10分
∴t2+2t-3≤0,∴-3≤t≤1,
∴原不等式的解集为[-3,1].12分
13.【证明】(1)∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0得f(0)=0,1分
令y=-x得f(-x)=-f(x),
∴f(x)在R上是奇函数.4分
(2)在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 6分
∵x>0时,f(x)<0,∴f(x1-x2)<0,
∴f(x1)
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)和f(3), 10分
而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2,12分
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.13分
14.【解析】(1)因为f(x)≤0的解集为[-1,2],所以x2+bx+c=0的根为-1,2,
故有-b=1,c=-2,即b=-1,c=-2;
即f(x)=x2-x-2.3分
(2)由mf(x)>2(x-m-1),化简有m>2(x-m-1),
整理得(mx-2)(x-1)>0,4分
所以当m=0时,不等式的解集为(-∞,1),5分
当m>0时:
若0
若m>2时,不等式的解集为∪.11分
当m<0时,则<0,不等式的解集为 12分
综上所述:当0
当m>2时,不等式的解集为∪,
当m=0时,不等式的解集为(-∞,1),
当m<0时,不等式的解集为.13分
试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D【解析】由x·f>0或0
二、多选题:本大题共2个小题,每小题5分,满分10分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求. 全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
3.BC【解析】对A:令y=+-2,容易知其为偶函数,又当x>0时,令y=x2+x-2==0,解得x=1;故函数y=+-2有两个零点,即x=±1,故A错误;对B:若二次方程ax2+bx+c=0无实根,故可得0≤b2<4ac,即可得ac>0,故B正确;对C:由>0,当a>b,则>.故C正确;对D:令=t,t≥2,则原函数y=+,等价于y=t+,t≥2,根据对勾函数的单调性可知,该函数在区间上是单调增函数,故可得函数的最小值为2+=.故D错误.故答案为:BC.
4.ABC【解析】由题意,当c=0时,f(x)=x|x|+bx,此时f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,A正确;
当b=0,c>0时,f(x)=x|x|+c,若x≥0,f(x)=0无解,若x<0,f(x)=0有一解x=-,所以B正确;
∵g(x)=x|x|+bx为奇函数,图象关于(0,0)对称,∴f(x)=x|x|+bx+c图象可能情况如右图:关于(0,c)对称,可得C正确,D不正确.故选:ABC.
三、填空题:本大题共2个小题,每小题5分,共10分.
5.-1【解析】由题意,函数f(x)=ex-1+e1-x+2a只有一个零点,
即f=0有唯一的实数根,即方程ex-1+e1-x=-2a有唯一的实数解,
令g=ex-1+e1-x,因为ex-1>0,e1-x>0,所以g=ex-1+e1-x≥2=2,
当且仅当ex-1=e1-x时,即x=1等号成立,
因为方程ex-1+e1-x=-2a有唯一的实数解,所以-2a=2,即a=-1.
故答案为:-1.
6.-10【解析】设y=ax2+8(a+1)x+7a+16,其图象为抛物线,对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个,所以a<0,
因为0为其中一个解可以求得a≥-,
又a∈Z,所以a=-2或a=-1,
则不等式为-2x2-8x+2≥0和-x2+9≥0,
可分别求得-2-≤x≤-2和-3≤x≤3,
因为x为整数,所以x=-4,-3,-2,-1,0和x=-3,-2,-1,0,1,2,3,
所以不等式的全部整数解的和为-10.
故答案为:-10.
四、解答题:本大题共2小题,共20分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
7.【解析】(1)由已知得,即,解得k=-1,b=4
所以,f(x)=(x≥0).4分
(2)令x∈N,g(x)=f(x+1)-f(x)=-=.
问题化为,当x∈N时,求函数g(x)的最大值.6分
而g(x)==
≤=41(2-).8分
当且仅当3·3-x+3=,即x=,上式取等号.但x∈N,g(3)==g(4),
故种植之日起,第3年与第4年树木生长最快.10分
8.【解析】(1)当t=-e时,不等式f(x)≥0,即为(ex+1)(ex-e)≥0,
也就是ex≥e,解得x≥1,所以,不等式f(x)≥0的解集为[1,+∞);3分
(2)不等式f(x)
记h(x)=-(x∈R).
由于当x∈R时,∈(0,1),则h(x)=-4∈(-3,0).
所以,tmax=-3.6分
(3)由于函数g===1+是“可构造三角形函数”,
首先,必有t≥0才能保证g(x)>0;其次,必需g(x)max<2g(x)min,
而当0≤t<1时,g==1+是R上的增函数,则g的值域为(t,1),
由1≤2t≤t<1;
当t=1时,g=1,符合题意;
而当t>1时,g==1+是R上的减函数,则g的值域为(1,t),
由t≤21
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