海南省海口市第四中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

www.ks5u.com海口四中2020-2021学年度第一学期期中考试

高一年级数学试题

满分：150分  考试时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．下列各组函数中表示同一函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

3．函数，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

4．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合为定义域，为值域的函数关系的是（ ）

A． B．

C． D．

5．设，，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知实数， 满足，其中，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

8．下列结论正确的是（     ）

A．有最小值2 B．有最小值2

C．时，有最大值-2 D．时，有最小值2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．以下四个选项表述正确的有（    ）

A． B.　 C． D．

10．若a，b，，，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C．   D．

11．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

12．已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．不等式的解集为__________.

14．函数的定义域为________

15．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是______.

16．设,则的最大值为 ________．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题10分）设集合.

（1）若，判断集合与的关系；

（2）若，求实数组成的集合.

18．（本题12分）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

19.（本题12分）已知集合.

（1）若，求、；

（2）若的必要条件，求实数的取值范围.

20．（本题12分）已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，求的值；

（2）当时，解关于的不等式．

21．（本题12分）（1）已知，比较与的大小

（2）设，，是不全相等的正数，证明：

22.（本题12分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.

（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

海口四中2020-2021学年度第一学期期中考试高一数学试题答案

一、单项选择题：1、A  2、D   3、D   4、B   5、A   6、B   7、A  8、C

二、多项选择题：9、BC   10、ABD   11、BD   12、AC

三、填空题：13、  14、   15、   16、  

【选择填空部分解析】

5.因为，

所以， 故选：A.

7. 实数，满足，其中  ,当且仅当即时取等号.的最小值是4.所以A选项是正确的.

8.解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；

对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；

对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，，故D错误．故选;C.

11.解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；

B.命题“，”的否定是“，”，正确；

C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.

12．因为集合，集合，

所以等价于即，

对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AC

15．因为命题“，”是假命题，

所以命题“，”是真命题.

当时，，符合题意.

当时，，解得. 综上：.

16．由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），

从而有（当且仅当,即时，“=”成立）

四、解答题

17.(10分)解：集合.

（1）若，则，于是

（2）若，则，分如下两种情形讨论

①当时，，符合题意；

②当时，由得，

所以或，解得或.

故实数组成的集合.

18. （12分）解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.

19. （12分）解：（1）时，B=，    

而      

（2）若的必要条件，则

①若；

②若.

综上所述，a的取值范围是

20.（12分）解：（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，

所以，解得．

（2）当时，，即，

当时，解得或；

当时，解得；

当时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

21.（12分）（1）解：

（2）， ，

，，是不全相等的正数，故不能取等号

.

22.（12分）解：（1） （）.

（2）

.

当且仅当时，即时取等号.故.

答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.

A. 的定义域为R，的定义域为，故错误；

B. 和定义域为，y=1定义域为R,故错误；

C. 和解析式不同，故错误；

D.，定义域为，，定义域为，故正确；

故选：D

【点睛】

本题主要考查相等函数的判断，属于基础题.

3．D

【解析】

【分析】

先计算出的值，再计算出的值.

【详解】

，，因此，.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数值的计算，考查计算能力，属于基础题.

4．B

【解析】

试题分析：选项A中定义域为，选项C的图像不是函数图像，选项D中的值域不对，选B．

考点：函数的概念

5．A

【解析】

【分析】

利用作差法求解出的结果，将所求结果与作比较，然后可得的大小关系.

【详解】

因为，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查利用作差法比较大小，难度较易.常见的比较大小的方法还有作商法，使用作商法时注意分析好式子的正负.

6．B

【解析】

【分析】

根据，的正负情况分类讨论，逐一排除即可．

【详解】

解：当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故不正确，

当时，时，二次函数图象开口向上，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且为增函数，故不正确，

当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第一，三象限且为减函数，故正确，

当时，时，二次函数图象开口向下，且对称轴，反比例函数在第二，四象限且为增函数，故不正确，

故选：．

【点睛】

本题考查了函数图象的识别，属于中档题．

7．A

【解析】

实数，满足，其中  ,当且仅当即时取等号.的最小值是4.所以A选项是正确的.

点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件化为1，即.

8．C

【解析】

【分析】

根据均值不等式的使用需满足“一正二定三相等”来一一判断即可．

【详解】

解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；

对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；

对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，，故D错误．

故选;C.

【点睛】

本题考查均值不等式的应用，要注意使用要求，即“一正二定三相等”，是基础题．

9．BC

【解析】

【分析】

根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断选项的正确性.

【详解】

，A错误；，B正确；，故，C正确；，D错误.

故选：BC

【点睛】

本小题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题.

10．ABD

【解析】

【分析】

利用不等式的性质即可判断.

【详解】

对于A，由，则，故A正确；

对于B，由，则，故B正确；

对于C，当时，，当时，，故C不正确；

对于D，由，，所以，故D正确.

故选：BD

【点睛】

本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题.

11．BD

【解析】

【分析】

A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.

【详解】

解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；

B.命题“，”的否定是“，”，正确；

C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，

故选：BD.

【点睛】

本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.

12．AC

【解析】

【分析】

由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.

【详解】

因为集合，集合，

所以等价于即，

对比选项，、均为的充分不必要条件.

故选：AC

【点睛】

本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.

13．

【解析】

【分析】

把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】

不等式等价于，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查转化思想的应用，属于基础试题.

14．

【解析】

【分析】

根据偶次根式下被开方数大于等于零，分母不为零即可列式求解．

【详解】

由题意可得，，解得或．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题．

15．

【解析】

【分析】

首先根据题意得到命题“，”是真命题，再分类讨论解不等式即可.

【详解】

因为命题“，”是假命题，

所以命题“，”是真命题.

当时，，符合题意.

当时，，解得.

综上：

故答案为：

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，同时考查了二次不等式恒成立问题，属于简单题.

16．

【解析】

【分析】

【详解】

由两边同时加上

得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），

从而有（当且仅当,即时，“=”成立）

故填：.

考点：基本不等式.

【名师点睛】

本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.

17．（1）；；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接按集合并集的概念进行运算，先求出再与集合B取交集；（2）根据并集的结果可得，分、两种情况进行讨论求解a的取值范围.

【详解】

（1），，

（2），

①若；

②若.

综上所述，.

【点睛】

本题考查集合的基本运算、根据两集合并集的结果求参数的范围，属于中档题.

18．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.

【解析】

【分析】

设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；

（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.

【详解】

设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

先求出集合A，（1）求出集合B，从而可判断两集合的关系；（2）由，得，然后分集合B为空集和集合B不是空集两种情况求解

【详解】

集合.

（1）若，则，于是

（2）若，则，分如下两种情形讨论

①当时，，符合题意；

②当时，由得，

所以或，解得或.

故实数组成的集合.

【点睛】

此题考查集合间的关系，由集合间的关系求参数，考查分类思想，属于基础题

20．（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

【解析】

【分析】

(1)由已知可得的两个根为1和2，将根代入方程中即可求出的值.

(2)代入，分，，三种情况进行讨论求解.

【详解】

（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，

所以，解得．

（2）当时，，即，

当时，解得或；当时，解得；

当时，解得或．

综上可知，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点睛】

本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数值，考查了含参一元二次不等式的求解，属于基础题.

21.（1），

，

将以上三式两边同时相加得：

.

23.精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件生产量与销售量相等与推广促销费x万元之间的函数关系为其中推广促销费不能超过5万元已知加工此农产品还要投入成本万元不包括推广促销费用，若加工后的每件成品的销售价格定为元件．
试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；利润销售额成本推广促销费
当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】解：由题意知
．

．
当且仅当时，上式取“”
当时，y取最大值27．
答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元．

24．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.

（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

24．（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.

试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.

试题解析：解：（1） （）.

（2）

.

当且仅当时，即时取等号.

故.

答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.

23．（1）设，，是不全相等的正数，证明：．

（2）已知函数．当函数的定义域为R时，求实数a的取值范围．

22．森林失火，火势以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁的森林损失费为60元，设消防队派名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用分钟．

（1）求出与的关系式；

（2）求为何值时，才能使总损失最少．