2020-2021学年海南省海口市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年海南省海口市高二（上）期中数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 椭圆C:4x2+y2＝16的焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.

2. 已知向量＝(2, 4, 5)，＝(3, x, y)，分别是直线l1、l2 的方向向量，若l1 // l2，则（ ）
A.x＝6，y＝15B.x＝3，y＝15C.x＝，y＝D.x＝6，y＝

3. 设a>b>0，k>0且k≠1，则 椭圆C1：x2a2+y2b2=1和 椭圆C2：x2a2+y2b2=k具有相同的（ ）
A.顶点B.焦点C.离心率D.长轴和短轴

4. 已知直线l1的方向向量a→=(2, 4, x)，直线l2的方向向量b→=(2, y, 2)，若|a→|=6，且a→⊥b→，则x+y的值是（ ）
A.−3或1B.3或−1C.−3D.1

5. 若直线x−y−k＝0与圆(x−1)2+y2＝2有两个不同的交点，则（ ）
A.03D.−1
6. 已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=90∘，∠BAA1=∠DAA1=60∘，则AC1等于（ ）
A.85B.85C.52D.50

7. 光线从A(−3, 4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(−1, 6)，则BC所在直线的方程是（ ）
A.5x−2y+7=0B.3x+y−1=0C.3x−2y+4=0D.2x−y−3=0

8. 四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，．则四棱锥P−ABCD的体积为（ ）
A.8B.16C.32D.48
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

若是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不成立的是（ ）
A.B.
C.D.

已知直线l:3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A.直线l的倾斜角是π6
B.若直线m:x−3y+1=0，则l⊥m
C.点(3,0)到直线l的距离是2
D.过(23,2)与直线l平行的直线方程是3x−y−4=0

已知平面上一点M(5, 0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1

设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A.|AF|+|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6, 12]
C.当时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

若椭圆+＝1(m<4)的离心率为，则m＝________．

已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若，且P∈平面ABC，则λ＝________．

已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是________．

过点P(−3, 0)做直线(m+2)x−(m+1)y−3m−4＝0的垂线，垂足为M，已知点N(2, 3)，则|MN|的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知三角形的三个顶点是A(4, 0)，B(6, −7)，C(0, −3)．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程．

已知A(−1, 0)，B(2, 0)，动点M满足，设动点M的轨迹为C，
（1）求动点M的轨迹方程；

（2）点P(x, y)在轨迹C上，求的最小值．

如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA // PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：FG // 平面PED；

（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．

已知关于x，y的方程C:x2+y2−2x−4y+m＝0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；

（2）若圆C与圆x2+y2−8x−12y+36＝0外切，求m的值；

（3）若圆C与直线l:x+2y−4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．

四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，∠PAB＝90∘，PA＝PD＝AD＝2，

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．

（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题___处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．
①CF与平面PCD所成角的正弦值等于；
②DA与平面PDF所成角的正弦值等于；
③PA与平面PDF所成角的正弦值等于．
问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足____？

已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42.
(1)求椭圆M的方程；

(2)设直线l：x=ky+m与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年海南省海口市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
直线的方向向量
共线向量与共面向量
空间直线的向量参数方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由椭圆基本量的平方关系和离心率公式，可算出椭圆C1与椭圆C2的离心率都等于a2−b2a，而它们的顶点、焦点、和长短轴不一定相同．由此可得本题答案．
【解答】
解：∵ 椭圆C1：x2a2+y2b2=1中，长半轴为a，短半轴为b，
∴ 椭圆C1的半焦距c=a2−b2，可得椭圆C1的离心率e1=ca=a2−b2a；
将椭圆C2：x2a2+y2b2=k化成标准形式，得C2：x2a2k+y2b2k=1，
∴ k>0，得椭圆C2的离心率e2=a2k−b2kak=a2−b2a．
因此e1=e2，即椭圆C1与椭圆C2的离心率相同．
当a、b保持不变时椭圆C1的顶点、焦点、长轴和短轴保持不变，
而随着k的变化椭圆C2的顶点、焦点、长轴和短轴都在变化．
因此，两个椭圆不一定有相同的顶点、焦点、和长短轴．
故选：C
4.
【答案】
A
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
由已知利用向量的模和向量垂直的性质得|a→|=4+16+x2=6⋅，求出x，y，由此能求出x+y的值．
【解答】
解：由已知得|a→|=4+16+x2=6⋅，
解得x=−4，y=1或x=4，y=−3，
∴ x+y=−3或x+y=1．
故选：A．
5.
【答案】
D
【考点】
直线与圆相交的性质
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
B
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
首先，画出图形，然后，结合AC1→=AC→+CC1→=AB→+AD→+AA1→，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可．
【解答】
解：平行六面体ABCD−A1B1C1D1，如图所示：
∵ ∠BAA1=∠DAA1=60∘
∴ A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上，
∴ 平面ACC1A1⊥平面ABCD，
∵ AB=4，AD=3，
∴ AC=5，
∵ AC1→=AC→+CC1→
=AB→+AD→+AA1→
∴ |AC1→|2=(AB→+AD→+AA1→)2
=|AB→|2+|AD→|2+|AA1→|2+2AB→⋅AD→+2AB→⋅AA1→+2AD→⋅AA1→
=16+9+25+0+2×4×5×12+2×3×5×12=85，
∴ |AC1→|=85，
∴ AC1等于85．
故选：B．
7.
【答案】
A
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
由题意可得A(−3, 4)关于x轴的对称点M(−3, −4)在BC所在直线上，点D(−1, 6 )关于y轴的对称点N(1, 6)也在BC所在直线上，用两点式求直线方程．
【解答】
解：由题意可得A(−3, 4)关于x轴的对称点M(−3, −4)在BC所在直线上，
点D(−1, 6 )关于y轴的对称点N(1, 6)也在BC所在直线上，根据M、N两点的坐标可得BC所在直线的方程是
y+46+4=x+31+3，化简可得 5x−2y+7=0，
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
【答案】
A,B,D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对于A．求得直线l:3x−y+1=0的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；
对于B．求得直线m:x−3y+1=0的斜率k′，计算kk′是否为−1，即可判断B的正误；
对于C．利用点到直线的距离公式，求得点(3,0)到直线l的距离d，即可判断C的正误；
对于D．利用直线的点斜式可求得过(23,2)与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误；．
【解答】
解：对于A．直线l:3x−y+1=0的斜率k=tanθ=3，
故直线l的倾斜角是π3，故错误；
对于B．因为直线m:x−3y+1=0的斜率k′=33，kk′=1≠−1，
故直线l与直线m不垂直，故错误；
对于C．点(3,0)到直线l的距离d=|3⋅3−0+1|(3)2+(−1)2=2，故正确；
对于D．过(23,2)与直线l平行的直线方程是y−2=3(x−23)，
整理得：3x−y−4=0，故正确．
故选CD．
【答案】
B,C
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
由题意得，“切割型直线”即点M(5, 0)到直线的距离小于或等于4．求出点M到各条直线的距离，可得答案．
【解答】
解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使|PM|=4，
即点M(5, 0)到直线的距离小于或等于4．
点M(5, 0)到直线y=x+1，即直线x−y+1=0的距离为
d=|5−0+1|2=32>4，不满足条件；
点M(5, 0)到直线y=2的距离为2<4，故满足条件；
点M(5, 0)到直线y=43x，即直线4x−3y=0的距离为
d=|4×5−0|42+32=4，故满足条件；
点M(5, 0)到直线y=2x+1，即直线2x−y+1=0的距离为
d=|2×5−0+1|22+(−1)2=1155>4，故不满足条件.
故选BC.
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】
3
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（-，0，-）
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
[5−，5+]．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
∵ 三角形的三个顶点是A(4, 0)，−8)，−3)，
∴ 线段BC的中点D(3, −6)＝，即5x−y−20＝0．
直线BC的斜率为＝-，
故BC边上的高所在直线方程为y−0＝(x−4)．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设动点 M(x, y)，
根据题意得，，化简得​5+y2＝4，
所以动点 M 的轨迹方程为 (x+5)2+y2＝8．
设过点 (2, 0)的直线方程为 y＝k(x−4)，
由题意知直线y＝k(x−2)与C有交点，
所以圆心到直线的距离 ，
解得 ，
所以 的最小值为 ．
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：∵ F，G分别为PB，BE的中点，
∴ FG // PE，
∵ FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，
∴ FG // 平面PED；
（2）解：∵ EA⊥平面ABCD，EA // PD，
∴ PD⊥平面ABCD，
∵ AD，CD⊂平面ABCD，
∴ PD⊥AD，PD⊥CD．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD⊥CD．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1
∵ AD=PD=2EA，
∴ D(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)，
∴ PB→=(2, 2, −2)，PC→=(0, 2, −2)．
∵ F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，
∴ F(1, 1, 1)，G(2, 1, 0.5)，H(0, 1, 1)，
∴ GF→=(−1, 0, 0.5)，GH→=(−2, 0, 0.5)
设n1→=(x, y, z)为平面FGH的一个法向量，则−x+0.5z=0−2x+0.5z=0，
得n1→=(0, 1, 0)
同理可得平面PBC的一个法向量为n2→=(0, 1, 1)，
∴ cs=||n1→||n2→|˙|=22，
∴ 平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45∘．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面平行的判定
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
（1）利用三角形的中位线的性质证明FG // PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小
【解答】
（1）证明：∵ F，G分别为PB，BE的中点，
∴ FG // PE，
∵ FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，
∴ FG // 平面PED；
（2）解：∵ EA⊥平面ABCD，EA // PD，
∴ PD⊥平面ABCD，
∵ AD，CD⊂平面ABCD，
∴ PD⊥AD，PD⊥CD．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD⊥CD．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1
∵ AD=PD=2EA，
∴ D(0, 0, 0)，P(0, 0, 2)，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)，
∴ PB→=(2, 2, −2)，PC→=(0, 2, −2)．
∵ F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，
∴ F(1, 1, 1)，G(2, 1, 0.5)，H(0, 1, 1)，
∴ GF→=(−1, 0, 0.5)，GH→=(−2, 0, 0.5)
设n1→=(x, y, z)为平面FGH的一个法向量，则−x+0.5z=0−2x+0.5z=0，
得n1→=(0, 1, 0)
同理可得平面PBC的一个法向量为n2→=(0, 1, 1)，
∴ cs=||n1→||n2→|˙|=22，
∴ 平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45∘．
【答案】
关于x，y的方程C:x2+y2−2x−4y+m＝0．
整理得：(x−4)2+(y−2)6＝5−m，
由于方程C表示圆，所以：5−m>7，
解得：m<5．
圆C与圆x2+y8−8x−12y+36＝0的方程转化为：(x−2)2+(y−6)5＝16，
圆C与圆x2+y2−3x−12y+36＝0外切，
圆C与圆x2+y3−8x−12y+36＝0外切，
所以：＝7+，
解得：m＝4．
圆C与直线l:x+8y−4＝0相交于M，N两点，
则：圆心(4, 2)到直线x+2y−8＝0的距离d＝，
且，
所以利用垂径定理得：5−m＝，
解得：m＝4．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：因为∠PAB＝90∘，所以AB⊥PA，
因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD，
又PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面ABCD，
故平面PAD⊥平面ABCD；
取AD中点为O，因为PA＝PD＝AD＝2，
以O为坐标原点，OA，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1, 2, 0)，0，8)，，2a，C(−1, 4)，a，0)，
若选①：
求得，
设平面PCD的法向量为，
则，即，
可取，
设CF与平面PCD所成角为θ，则，解得a＝1，
所以存在符合题意的四棱锥，此时AB＝4a＝2．
若选②：
求得，
设平面PDF的法向量为，
则，即，
可取，
设DA与平面PDF所成角为θ，则，解得a＝3，
所以存在符合题意的四棱锥，此时AB＝2a＝3．
若选③：
易知PA与平面PDF所成的角小于∠APD，设PA与平面PDF所成的角为θ，
则，
故不存在符合题意的四棱锥．
【考点】
平面与平面垂直
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
（1）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42，椭圆的离心率，建立方程，利用b2=a2−c2，可求椭圆M的方程；
（2）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，可得 CA→⋅CB→=0，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
【解答】
解：(1)由题意，可得2a+2c=6+42，即a+c=3+22.
又椭圆的离心率为223，即e=ca=223，
所以a=3，c=22，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的方程为x29+y2=1.
(2)由x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，
所以CA→⋅CB→=0.
由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，
得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m−3)(y1+y2)+(m−3)2=0，
即(k2+1)×m2−9k2+9+k(m−3)×(−2kmk2+9)+(m−3)2=0，
解得m=125或m=3.