2023年浙江省宁波市北仑区霞浦学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市北仑区霞浦学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

4.  将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

5.  古彝文是世界六大仍在使用的古文字之一，下列意为“古风歌”的四个古彝文中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为元，按标价的五折销售，仍可获利元，则这件商品的进价为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

7.  若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

8.  如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，为中线，延长至点，使，连结，为中点，连结若，，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，边长为的等边的内切圆的半径为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  的相反数是          ．

12.  不等式组的解集是______．

13.  已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是______ 只需写一个

14.  分解因式：______．

15.  某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______结果保留根号

16.  如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，当的值最小时，的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第个月该原料药的月销售量为单位：吨，与之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段的组合；设第个月销售该原料药每吨的毛利润为单位：万元，与之间满足如下关系：
当时，求关于的函数解析式；
设第个月销售该原料药的月毛利润为单位：万元
求关于的函数解析式；
该药厂销售部门分析认为，是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量的最小值和最大值．

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求代数式的值：，其中．

19.  本小题分
如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、求轮船航行的距离参考数据：，，，，，

20.  本小题分
学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
“平均每天参加体育活动的时间”“为小时”部分的扇形统计图的圆心角为______ 度；
本次一共调查了______ 名学生；
将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在小时以下．

21.  本小题分
在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．
如图，若，，求的长；
如图，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．

22.  本小题分
如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
求的度数；
若，求的半径．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
求反比例函数的解析式；
将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．
请直接写出点的坐标；
若动点满足，求此时点的坐标；
如图，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标；
如图，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，比较简单．
根据绝对值的定义即可得出结果．
【解答】
解：的绝对值为，
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解；、，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D正确；
故选：．
根据是数的运算，可判断，根据二次根式的加减，可判断，根据同底数幂的乘法，可判断，根据同底数幂的除法，可判断．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图形所示，的度数为，
故选B．
由图形可直接得出．
本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设正六边形边长为，则灰色部分面积为，
白色区域面积为，
所以正六边形面积为，
镖落在白色区域的概率，
故选：．
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．
【解答】

解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程或方程组是关键．
设该商品的进价为元件，根据“标价进价利润折扣”即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：设该商品的进价为元件，
依题意得：，
解得：．
所以该商品的进价为元件．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，即，且，，
，
，即，
，即，
解得：或．
故选：．
利用根与系数的关系表示出与，已知等式整理后代入计算即可求出的值．
此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，首先运用平行线的性质求出的大小，然后借助平角的定义求出即可解决问题．
该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【解答】
解：如图，

直线，
，而，
，


，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故选：．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心等知识，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
连接、，的延长线交于，如图，利用内心的性质得平分，平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：设的内心为，连接、，的延长线交于，如图，

为的内心，
平分，平分，
为等边三角形，
，，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
即内切圆的半径为．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】
解：的相反数是：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
该抛物线的解析式为，
又二次函数的图象开口向上，
，
这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：．
根据顶点坐标知其解析式满足，由开口向上知，据此写出一个即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：，
故答案为：．
本题考查了运用公式法分解因式，熟记公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
在中，，
，
，
；
在中，，
，
，
，
．
答：的长为．
故答案为：，
如图，在中，利用的余弦可计算出；在中利用度的余弦可计算出，则，然后利用计算的长．
本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点设．

，，
，
，
，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，

作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，
此时直线的解析式为，
当时，，
的值最小时，的值为，
故答案为：．
过点作于点设，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，到，的距离和的最小值，如图中，作点关于轴的对称点，当，，共线时，的值最小，此时直线的解析式为，求出点的坐标，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：设时，，
将、代入，得：
，
解得：，
；

当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
时，随的增大而增大，
当时，解题或舍，
当时，取得最大值，最大值为，
此时月销量在时取得最小值，在时取得最大值；
当时，，
当时，取得最小值，
由得或，
当时，，
此时的最小值为，最大值为；
综上，此范围所对应的月销售量的最小值为吨，最大值为吨． 

【解析】设时，，将、代入求解可得；
分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式；
求出和时，月毛利润在满足条件下的取值范围，再根据一次函数的性质可得的最大值与最小值，二者综合可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值范围是解题的关键．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后将的值代入化简后的式子求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，

在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
 

20.【答案】； 

【解析】解：，
，
人，人，补充图形如图所示；

人．
故答案为：，．
先求“小时”部分的扇形的百分数，再根据百分数求度数；
根据“小时”部分的人数对应扇形的百分数，得出调查人数；
根据所求调查人数，各部分对应的百分数，分别求“小时”，“小时以上”的人数，补充图形；
根据：该校名学生时间在小时以下的百分数，得出结论．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：，，
，
则，
；
证明：延长到点，使得，连接，如图所示：

由，，，
≌，
，
，
，
由，，，
≌，
，，
，
，
． 

【解析】先由可得，再由勾股定理可求出的长；
延长到点，使得，证≌得，再证≌得，，从而得，即可得．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
 

22.【答案】解：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
设的半径为，则，，
，，
，即，
，
故的半径为． 

【解析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，含角的直角三角形的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些定理．
连接，先由切线的性质得的度数，再等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求得，进而得，最后由圆周角定理得的度数；
设的半径为，再根据含解的直角三角形的性质列出的方程求解便可．
 

23.【答案】解：直线过点，
，解得，
．
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为；

设直线的解析式为，
三角形与三角形面积相等，且的面积为，
的面积，
，
，
直线的解析式为． 

【解析】将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式；
根据直线的平移规律设直线的解析式为，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为列出方程，解方程求出，即，进而得出直线的解析式．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

24.【答案】解：；

如图中，过点作于点．

，
，
设，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
；

如图中，设交于点．

，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
；

的最小值为，线段扫过的面积． 

【解析】如图中，在中，，，，
，
；
见答案；
见答案；
如图中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点于点，过点作于．

，
，
在和中，
≌，
，
点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，
，，
是等边三角形，
，即，
线段扫过的面积．
利用勾股定理求出即可；
如图中，过点作于点设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出即可；
如图中，设交于点利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论；
如图中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点于点，过点作于证明≌，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．