2023年浙江省宁波市北仑区霞浦学校中考数学一模试卷

这是一份2023年浙江省宁波市北仑区霞浦学校中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了5C．3D．4等内容，欢迎下载使用。

2022学年第二学期九年级调研测试
数学（问卷）
满分120分，考试用时120分钟．
一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
﹣8的绝对值等于（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．
下列运算正确的是（　　）
A． π﹣3.14=0 B． += C． a•a=2a D． a3÷a=a2
如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为
A． 45° B． 55° C． 125° D． 135°

将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（　　）

A． B． C． D．无法确定
古彝文是世界六大仍在使用的古文字之一，下列意为“古风歌”的四个古彝文中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（　　）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（　　）

　
A．
26°
B．
36°
C．
46°
D．
56°

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
如图，边长为2的等边△ABC的内切圆的半径为（　　）

A．1 B． C．2 D．2
二 、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
﹣2019的相反数是　 　．
不等式组的解集是 ．
已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是　 　．
分解因式：x2﹣2x+1=　 　．
某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 　 　．

三 、解答题（本大题共8小题，共80分）
先化简，再求代数式的值：，其中．
如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，）

学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5～1小时”部分的扇形统计图的圆心角为　　　　　　度；
（2）本次一共调查了　　　　　　名学生；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校有4000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．
在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象相交于点A（m，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且△ABO的面积为，求直线BC的解析式．

某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．

答案解析
一 、选择题
【考点】绝对值．
【分析】根据绝对值的定义即可得出结果．
解：﹣8的绝对值为8，
故选A．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，比较简单．　
【考点】同底数幂的除法；实数的运算；同底数幂的乘法．
【分析】根据是数的运算，可判断A，根据二次根式的加减，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
解；A．π≠3.14，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
【考点】角的概念．
【分析】由图形可直接得出．
解：由图形所示，∠AOB的度数为55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
【考点】几何概率
【分析】随机事件A的概率PA．＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
解：设正六边形边长为a，则灰色部分面积为3×＝，
白色区域面积为a×＝，
所以正六边形面积为a2，
镖落在白色区域的概率P＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此作答．
解：A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查轴对称图形，解题关键在于掌握其概念.
【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价=（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷=200，
解得：x=80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷=200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
【考点】根的判别式．
【分析】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
【考点】平行线的性质．
【分析】如图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题．
解：如图，∵直线l4∥l1，
∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°，
∴∠AOB=56°，
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB
=180°﹣88°﹣56°
=36°，
故选B．

【点评】 该题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运用、解题的基础和关键．
【考点】勾股定理的应用，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
【考点】等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心
【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB＝60°，CH⊥AB，则∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，
∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，
在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，
∴OH＝×＝1，
即△ABC内切圆的半径为1．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
二 、填空题
【考点】相反数
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
解：﹣2019的相反数是：2019．
故答案为：2019．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
【考点】解一元一次不等式组.
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）；
解：由≤0得x≤2 ,
由-3x＜9得x＞-3，
∴不等式组的解集是-3＜x≤2.
故答案为-3＜x≤2.
【点评】该题较为简单，主要考查学生对解不等式组过程的掌握程度，是常考题。
【考点】待定系数法求函数解析式
【分析】利用抛物线的解析式顶点式确定
解：∵抛物线经过顶点（0，-1）
∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，
又∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，
故答案为：y=2x2﹣1．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
【考点】分解因式-公式法
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．
解：如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形

由图中数据可知，，，，
在中，，即
解得

是等腰三角形



则的长为
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
【考点】一次函数的应用，点的坐标．
【分析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．AM+BN＝+，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（+1）x﹣，求出点P的坐标，可得结论．
解：过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．

∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝2，
∵AH⊥BC，
∴BH＝AH＝1，
∴AH＝BH＝CH＝1，
∴AM+BN＝+，
欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，）的距离和的最小值，如图1中，

作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，
此时直线EF′的解析式为y＝（+1）x﹣，
当y＝0时，x＝2﹣，
∴AM+BN的值最小时，CM的值为2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三 、解答题
【考点】分式的化简求值
【分析】先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可．
解：原式

∵


∴将代入原式
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．
解：如图，过点作，垂足为

在中，


在中，





在中，

（km）
因此，轮船航行的距离约为
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）先求“0.5～1小时”部分的扇形的百分数，再根据百分数×360°求度数；
（2）根据“1～1.5小时”部分的人数÷对应扇形的百分数，得出调查人数；
（3）根据（1）所求调查人数，各部分对应的百分数，分别求“0.5～1小时”，“1.5小时以上”的人数，补充图形；
（4）根据：该校4000名学生×时间在0.5小时以下的百分数，得出结论．
解：（1）（1﹣50%﹣30%﹣5%）×360°=54°，
（2）100÷50%=200，
（3）（1﹣50%﹣30%﹣5%）×200=30人，30%×200=60人，补充图形如图所示；

（4）4000×5%=200（人）．
故答案为：（1）54，（2）200．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）先由勾股定理计算出AM=BM= =3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．
解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM；2AM2=AB2
∵AB=3
∴AM=BM=3，
则CM=BC﹣BM=5﹣2=2，
∴AC===；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
∴BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
∴BD=BG=CE，
∴∠BDG=∠G=∠E．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【考点】圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】（1）如图（见解析），设，先根据等腰三角形的性质得出，再根据圆的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的性质可得，又根据三角形的内角和定理可求出x的值，从而可得的度数，最后根据圆周角定理即可得；
（2）如图（见解析），设圆O的半径为，先根据圆周角定理得出，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
解：（1）如图，连接OA
设



，
AE是圆O的切线
，即

在中，由三角形的内角和定理得：
即
解得

则由圆周角定理得：
故的度数为；
（2）如图，连接AD
设圆O的半径为，则


BD是圆O的直径

由（1）可知，
则在中，

在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符题意，舍去）
则圆O的半径为2．

【点评】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）将A点坐标代入直线y=﹣x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y=﹣x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为列出方程OC•2=，解方程求出OC=，即b=，进而得出直线BC的解析式．
解：（1）∵直线y=﹣x过点A（m，1），
∴﹣m=1，解得m=﹣2，
∴A（﹣2，1）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）设直线BC的解析式为y=﹣x+b，
∵三角形ACO与三角形ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积=OC•2=，
∴OC=，
∴b=，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；
②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．
解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，
将A（8，10）、B（24，26）代入，得：
，
解得：，
∴P=t+2；
（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240；
当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；
当12＜t≤24时，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88；
②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2，
∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当2（t+3）2﹣2=336时，解题t=10或t=﹣16（舍），
当t=12时，w取得最大值，最大值为448，
此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；
当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529，
当t=12时，w取得最小值448，
由﹣（t﹣21）2+529=513得t=17或t=25，
∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；
综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题的关键．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小．
解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．

∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR•sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．