2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第二次大考数学试卷

这是一份2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第二次大考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 以下五个写法中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有( )
A.个B.个C.个D.个
2. 在映射中，，且：，则中的元素在集合中的像( )
A.B.C.D.
3. 下列各项表示相等函数的是( )
A.B.
C.D.
4. 函数且的图像必经过定点( )
A.B.C.D.
5. 设，则，，的大小关系是( )
A.B.C.D.
6. 函数的图像的大致形状是( )
A.B.C.D.
7. 已知二次函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8. 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是( )
A.或B.或
C.或D.或
9. 函数的单调递增区间为( )
A.B.C.D.
10. 历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷（），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是( )
A.定义域为B.当时，的值域为；当时，的值域为
C.为偶函数D.在实数集的任何区间上都不具有单调性
11. 已知函数若，则实数的取值范围是( )
A. B.C.D.
12. 已知函数，是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，＝，，若对于任意，都有，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13. 已知集合，，若，则实数的值为________．
14. 已知幂函数在上为减函数，则实数________．
15. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________.
16. 定义在上的函数，当时，，且对任意，满足，则在区间上的值域是________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式的值：
；
(2)．

18. 已知全集＝，集合＝，＝，＝．
（1）；
（2）若＝，求实数的取值范围．
19. 已知函数满足．
求的解析式；
求函数的值域．
20. 素有“钒钛之都”美称的中国西部某城市矿产资源储量巨大，其中钒、钛资源储量分别占全国的和.某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，．测得部分数据如下表：
求关于的函数关系式；
求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.

已知函数是定义在上的偶函数，且＝．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ用定义法证明函数在上是增函数；
Ⅲ解关于的不等式．
22. 定义在上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．
若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．
南康中学2020-2021学年度第一学期高一第二次大考
数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1－5 BDCAC 6-10 DCABB 11-12 AD
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13、2 14、 15、 16、
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：⑴ ⑵ 3
18.解：（1）因为，所以＝，
所以；
（2）∵ ＝，∴ 当＝，则，即，满足，
当，则，所以，
综上得：．
19.解：令，即，所以，即．
，
设，则，且，得，
因为，所以，所以该函数的值域为．
20.解：当时，是的二次函数，
可设，
由，，可得，
由，，即，①
由，，可得，②
由①②解得，，即有；
当时，，由，，可得，即有.
综上可得
当时，，即当时，取得最大值；
当时，递减，可得，即当时，取得最大值.
综上可得当时产品的性能达到最佳.
21.（I）因为函数是定义在上的偶函数，∴ ＝恒成立，
即，，综上＝，＝．
（Ⅱ）证明：因为，，设，
所以，．
又，∴ ，，，，
∴ ，
∴ ，即， ∴ 在上为增函数．
Ⅲ∵ ，∵ 在上单调递增．
∵ 是定义在上的偶函数，
∴ ．故不等式的解集为．
22.解：，则在上是增函数，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 是有界函数，
故上所有上界的值的集合为.
因为函数在上是以为上界的有界函数，
所以在上恒成立，即，
所以，所以．
令，则，故在上恒成立，
故，，即．
故实数的取值范围为．（单位：克）