2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第一次大考数学试题（解析版）

2020-2021学年江西省赣州市南康中学高一上学期第一次大考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则集合（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,,则,故选B.

【考点】本题主要考查集合的交集与补集运算.

2．下面各组函数中表示同一函数的是（   ）

A．  与  B． 与

C． 与  D． 与

【答案】B

【解析】对于A：两函数的值域不同；

对于B:两函数的三要素完全相同，故为同一函数；

对于C:两函数与的定义域不同；

对于D：两函数的定义域不同；

故选项为B.

3．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】【详解】

求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】

本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

4．在映射,,; ，则N中元素（4,5）的原像为（   ）

A．（4,1） B．（20，1） C．（7,1） D．（1,4）或（4,1）

【答案】A

【解析】由可得：或 ；又,则，所以原像为（4,1），

故选A.

5．已知集合，集合，则与的关系是（    ）

A． B． C． D．且

【答案】C

【解析】用列举法分别列举两个集合中的元素，观察规律可知，集合S是集合T的子集．

【详解】

集合S=，

集合T=，

故选：C．

【点睛】

本题考查两集合间的基本关系以及集合的表示方法，属于基础题目．

6．下列函数中，在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项.

【详解】

对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错.

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对.

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错.

对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错.

故选：B.

【点睛】

本题考查具体函数的单调性，此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可，本题属于基础题.

7．设，则（    ）

A．10 B．8 C．12 D．13

【答案】B

【解析】直接根据分段函数的解析式代入即可得结果.

【详解】

因为，

所以，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分段函数中函数值的求法，属于基础题.

8．是定义在上是减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意可知,在每一段区间上都要单调递减,并且在分段处,应有,据此列式求解即可.

【详解】

因为是定义在上是减函数,

所以,求得,

故选:A.

【点睛】

本题考查已知函数的单调性求参数问题,在分段函数中,除了每一段区间上都要单调递减外,在分段处也应满足递减的条件.

9．已知函数，如果且，则它的图象可能是( )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据且即可判断出与的符号，结合图像即可得选项．

【详解】

因为且

则

所以对应二次函数图像开口向上，与y轴交点在原点下方

对比函数图像，D选项符合要求

所以选D

【点睛】

本题考查了二次函数图像与的关系，根据条件选择函数图像，关键是根据所给条件分析出的符号，属于基础题．

10．设M={a，b，c}，N={﹣2，0，2}，从M到N的映射满足f（a）＞f（b）≥f（c），这样的映射f的个数为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】由题意及映射概念逐一写出满足条件的映射后可得答案．

【详解】

∵，

∴a对应2时，b对应0，c对应0或−2，有2个映射；

a对应2时，b对应−2，c对应−2，有1个映射；

a对应0时，b对应−2，c对应−2，有1个映射．

综上，满足条件的映射个数为4个．

故选C．

【点睛】

本题考查映射的概念，考查理解和运用的能力，解题的关键是根据定义确定出各种对应的情况，通过列举得到结果．

11．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据为上的增函数可得参数的取值范围.

【详解】

因为对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，

故在上为增函数，

令，则该函数在上为增函数且在上恒成立，

当时，，因为在，不合题意，舍；

当时，则，解得，

故选：D.

【点睛】

本题考查复合函数的单调性，此类问题，一般利用“同增异减”的原则来处理，注意外函数定义域的要求，如本题中需在上恒成立，本题属于中档题.

12．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是　　

①函数f（x）的最大值为1；    ②函数f（x）的最小值为0；

③方程有无数个根；     ④函数f（x）是增函数．

A．②③ B．①②③ C．② D．③④

【答案】A

【解析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．

【详解】

画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．

由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；

函数f(x)的最小值为0，故②正确；

函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；

函数f(x)有增有减，故④不正确．

故答案为②③．

【点睛】

本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．

二、填空题

13．设集合，．若，则__________．

【答案】

【解析】因为，

所以为方程的解，

则，解得，

所以，，集合．

14．已知集合，则__________．

【答案】

【解析】由集合，得出，，进而得出结果.

【详解】

由集合，得出，，解得，，

当，时， ，满足题意，此时;

当，时， ，满足题意，此时.

故答案为： .

【点睛】

本题考查集合相等，属于基础题.

15．函数的单调递增区间是_________．

【答案】

【解析】【详解】

函数，有：解得或.

令，开口向上，对称轴为,所以在上单减，单增，所以增区间是.

答案为：.

16．已知函数.记，.

则________.

【答案】42

【解析】根据函数的特点先得到，然后将两式相加可得到的值．

【详解】

由题意得，

∴

．

故答案为42．

三、解答题

17．设函数的定义域为集合，已知集合，，全集为.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用偶次根式下被开方数大于等于零、分式分母不为零，求解出的定义域，然后根据补集和交集的概念与运算求解出；

（2）先计算出的结果，然后根据写出的取值范围.

【详解】

（1）或

    ；

（2）

即实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查集合的交、并、补运算以及根据集合的运算结果求解参数范围，其中涉及到具体函数求解定义域的问题，难度较易.

18．已知集合，或.

（1）当时，集合的元素中整数有多少个？

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）3个；（2）.

【解析】（1）时，求出集合，从而求出，由此能求出中的整数的个数．

（2），当时，，当时，或，由此能求出的取值范围．

【详解】

解：（1），集合，

或，．

故中的整数元素有，共3个.

（2）因为，所以

则，即

则或

或

综上，的取值范围为

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

19．已知二次函数满足 试求：

（1）求 的解析式；            

（2）若，试求函数的值域.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：(1) 设，则有 ，对任意实数恒成立，根据对应项系数相等可得方程组，解方程组即可得结果；(2) 由(1)可得在 上递减，在递增，又，，比较大小即可得结果.

试题解析：（1）设，则有，对任意实数恒成立，，解之得，.

（2）由(1)可得在 上递减，在递增，又，,所以，函数的值域为.

20．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

【答案】（1）；（2）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.

【解析】试题分析：⑴设出函数解析式，根据图象，即可求得答案；

⑵确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；

解析：(1)根据题意可设，．

则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 (x≥0).

(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．

则y＝ (18－x)＋2，0≤x≤18

令＝t，t∈[0,3]，

则y＝ (－t2＋8t＋18)＝－ (t－4)2＋.

所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，

此时x＝16,18－x＝2.

所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.

21．已知函数

（1）若，试判断并用定义证明的单调性；

（2）若，求的值域.

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.

【解析】（1）代入，然后利用定义法证明函数的单调性即可；

（2）利用（1）得出的单调性求出值域即可.

【详解】

（1）当时，且，

在是单调递增函数，证明如下：

任取且

则=，

因为且，所以，，，

在上是单调递增函数.

（2）由（1）知在上是单调递增函数，

的值域为.

【点睛】

本题考查了用定义法证明函数的单调性及利用单调性求函数的值域，属于基础题.

22．设定义在上的函数对于任意实数，都有成立，且，当时，.

（1）证明：在上是单调递减的函数；

（2）试问：当时，是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；

（3）解关于的不等式.

【答案】（1）证明详见解析；（2）有最值，最大值是3，最小值是0；（3）.

【解析】（1）任意实数，且，不妨设，利用差比较法，计算，可得函数为减函数；

（2）在上单调递减，所以有最大值，有最小值．利用赋值法求出；

（3）化简不等式得，利用单调性可求得答案.

【详解】

（1）对任意实数，且，不妨设，其中，

则，

∴，故在上单调递减.

（2）∵在上单调递减，

∴时，有最大值，时，有最小值.

在中，令，得，

故，，所以.

故当时，的最大值是3，最小值是0.

（3）由原不等式，得，即，由得

.

∵在上单调递减，∴，

的解集是

【点晴】

本题主要考查抽象函数单调性的证明．证明出单调性后利用单调性求解最值和利用单调性解不等式.