易错点13 多面体的表面积和体积（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

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易错点13   多面体的表面积和体积多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误 易错点4：空间想象能力欠缺题组一：侧面积与表面积1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】由题2可知：该几何体是棱长为的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图所示，其面积为：，故选：C．    2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.【答案】【分析】∵    ∴∴∴.    故答案为：. 3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．     B．        C．90      D．81【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为和3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +．题组二：体积4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．          B．         C．       D．【答案】B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为．选B．5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．        B．       C．        D． 【答案】D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为．6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O­—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________(g).【答案】118.8【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，所以该模型体积为：，打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：．7.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有　　个面，其棱长为　　． 【答案】26,【解析】由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a，则由题知，  题组三：圆柱和圆锥中的问题8．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20π           B．24π            C．28π           D．32π【答案】C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选C．9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.10．（2021上海卷）在圆柱中，底面圆半径为，高为，上底面圆的直径为,是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则的面积的范围________．【答案】【解析】当点为的投影时，面积最小；当点为弧中点的投影时，面积最大，因此面积的取值范围为 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】：根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B. 题组四：大题12．【2021年新课标1卷】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）证明：；（2）若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析； （2）．【解析】（1）因为在中，，为中点，所以，因为平面平面，且平面平面，平面，，所以平面，又因为面，所以．（2）方法一：由题意可得,， 在中，由余弦定理得，所以，所以为直角三角形，且以为坐标原点，为轴，为轴，过作轴垂直于面，建系如图：设点纵坐标为，因为，由相似可得，易得 ，所以，，设面法向量，由，，得；易得面法向量，所以，所以，由相似易得，所以．方法二：几何法如图，取的三等分点，使得，取的三等分点，使得，连接、、，因为，所以，所以，由（1）知：平面，所以平面，所以，，又有，所以，，，，所以，所以，所以，并且，因为，所以，所以，，，平面，平面，，所以平面，则，所以即为二面角的平面角，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，所以,由相似易得，．13．（2021全国甲卷文）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知为棱上的点，证明：．【答案】(1)；(2)见解析.【解析】(1)因为三棱柱的直三棱柱，所以，又，，平面，所以平面，所以，所以△为直角三角形，则△为直角三角形，因为为中点，所以，，所以(2)取中点，连接，，，因为分别为的中点，所以，因为，所以，所以四点共面，因为侧面为正方形，所以，又，所以，所以侧面为正方形，又为中点，为中点，由平面几何知识可知，又，，所以平面，而平面，所以.14.【2021年乙卷】 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥体积公式即可求出．【详解】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，，则，即，解得，所以．因为底面，故四棱锥的体积为．1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20，则=A．1       B．2      C．4        D．8【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为，所以．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．    B．     C．      D．【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选A．3．如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A．       B．       C．     D．【答案】C【解析】原毛坯的体积，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积，故所求比值为．4．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为A．3          B．        C．1         D．【答案】C【解析】由题意可知，由面面垂直的性质定理可得平面，又，所以，故选C．5．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为      ．【答案】【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得，所以，则小圆锥的高为，大圆锥的高为，所以比值为．6.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是     .【答案】10【解析】因为长方体的体积是120，E为的中点，所以，所以三棱锥的体积：.7．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若 的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【详解】：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.8．如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的中心为．、、为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得、、重合，得到三棱锥。当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______。【解析】如图连接交于，由题意，设等边三角形的边长为（），则，．由题意可知三棱锥的高底面，三棱锥的体积为，设，则（），令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以是取得最大值所以．9.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.   10.如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】（1）分别为，的中点，又在等边中，为中点，则又侧面为矩形，，，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图平面，平面，平面平面又   为的中心.  故：，则，平面平面，平面平面，平面平面又在等边中即由（1）知，四边形为梯形四边形的面积为：，为到的距离，.