2022年高考浙江数学高考真题变式题第13-15题解析版

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 2022年高考浙江数学高考真题变式题13-15题
原题13
1．若，则__________，_________．
变式题1基础
2．若，则___________，__________.
变式题2基础
3．已知，且，则___________，___________.
变式题3基础
4．已知，则______， ______.
变式题4基础
5．已知，且，则___________，____________.
变式题5巩固
6．已知，且，则________；________.
变式题6巩固
7．已知，且，则________；________.
变式题7巩固
8．设、，，，则____， ___．
变式题8巩固
9．已知，则________，________.
变式题9提升
10．已知，若，则______，______.
变式题9提升
11．已知=，且，则__________；__________．
变式题11提升
12．若，则________；________．
原题14
13．已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
变式题1基础
14．设.
（1）当时，的最小值是___________；
（2）若是的最小值，则的取值范围是___________.
变式题2基础
15．设函数.①若，则的最大值为___________.②若无最大值，则实数的取值范围是___________.
变式题3基础
16．设函数，
（1）若，则的单调减区间为___________；
（2）若函数的值域为，则的取值范围是___________.
变式题4巩固
17．已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
变式题5巩固
18．已知函数，若，则的值域是___________；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
变式题6巩固
19．设函数．若a＝－1，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________．
变式题7巩固
20．已知函数，若，则的值域是______；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
变式题8提升
21．已知，若，则的取值范围为__________，若，则的取值范围为____________.
变式题9提升
22．定义：已知函数，其中，．若，则实数的取值范围为______；若的最大值为2，则______．
变式题10提升
23．已知函数（且）且，①若，则________，②若函数的值域是，则实数的取值范围是_____________．
变式题11提升
24．设函数，则_______；当 时，函数的值域为 ，则的取值范围是____________.
原题15
25．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．
变式题1基础
26．在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为，每人各投1次，记为三人投中的总次数，则_________；________．
变式题2基础
27．某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为__________；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量，则的均值为__________．
变式题3基础
28．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分给4个人，每人两张，记获奖人数为 ，则 _______， ______．
变式题4基础
29．某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙､丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则___________；___________.
变式题5巩固
30．袋中有6个大小相同的球，其中1个红球，m个白球，n个黑球，现依次取球，每次取出一个，取出不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束，已知取到1个红球1个白球的概率为，则__________，用表示终止时取球的次数，则随机变量的数学期望__________.
变式题6巩固
31．用数字1，2，3，4，5给3名男生和2名女生随机地编学号，则男生和女生的学号都不相邻的编法有_________种（用数字作答）；记随机变量，其中X，Y分别为男生、女生的学号之和，则随机变量的数学期望_________．
变式题7巩固
32．已知甲盒中仅有2个黑球，乙盒中有3个黑球和3个白球，先从乙盒中任取2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取2个球出来，记为甲盒中取到的黑球的个数，则______，_______．
变式题8巩固
33．盆子中有大小相同的球共6个，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有2个，标号为3的球有1个，第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球，记第1次与第2次取到的球的标号之和为，则_________．_________．
变式题9提升
34．某高中数学社团招募成员，依次进行笔试，面试两轮选拔，每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时，才能进入下一轮面试选拔，两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔，已知甲同学在笔试，面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为，，且在笔试，面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立，互不影响且概率相同，则甲同学能进入到数学社团的概率是___________，设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔，则数学期望___________．
变式题10提升
35．袋中有个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_______，________ .
变式题11提升
36．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为___________．

参考答案：
1．         
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.

2．     1     1
【分析】由余弦的二倍角公式和两角和的余弦公式整理已知关系式，从而可得或，再由可得，最后由特殊三角函数值求得答案.
【详解】因为，则，
所以，故或.
结合可得.
故.
故答案为：(1). 1    (2). 1
【点睛】本题主要考查由三角恒等变换解决给值求值问题，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属于简单题.
3．         
【解析】对两边平方可得；由已知和可得，再利用二倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以，
所以；
由，且，又，
所以，所以，
故答案为：①；②.
4．         
【分析】第一空，利用二倍角公式直接得出结论；第二空，利用诱导公式和二倍角公式得出结论.
【详解】由得，
故；
.
故答案为：，.
5．         
【分析】答题空1：由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得，求出；
答题空2：利用两角和的余弦公式展开并求值.
【详解】，
又，，
.
故答案为：；
6．         
【分析】由，得，平方得，即可求出，设平方可得，讨论正负号开方可得答案.
【详解】由，得.
由平方得：，即
所以.
由，则，又，则.
则. 设则
由平方可得：
所以
故答案为：  (1).     (2).
【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式和与的关系，属于中档题.
7．         
【分析】根据所给等式，结合同角三角函数关系式可求得；由及求得，即可解方程组求得；根据余弦二倍角公式及正弦差角公式，化简，结合的值即可求解.
【详解】由，可知，
等式两边同时平方，结合，可得，
即，
又，则，
，
则，解得，
由余弦二倍角公式及正弦差角公式展开化简可得

.
故答案为：；.
【点睛】本题考查同角三角函数关系式的应用，余弦二倍角公式及正弦差角公式的应用，属于中档题.
8．         
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，求出、的值，利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】由二倍角的余弦公式可得，
、，，，
，，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．     1     1
【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简计算可得；
【详解】解：因为，所以，即，所以，所以
所以

故答案为：；
10．         
【分析】先求出，利用两角和公式求出所以，利用二倍角公式求出.
【详解】因为，，
又因为，所以
所以，
所以.
故答案为：，
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
11．         
【分析】求出的范围可得，利用可得
；利用
可得第二空的答案.
【详解】因为，所以，由=，
所以，所以
；


.
故答案为：①；②.
12．     ##-0.5     ##0.8
【分析】（1）利用诱导公式化简即得解；
（2）化简原式为即得解.
【详解】解：由题得.
.
故答案为：；.
13．          ##
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.

14．     1    
【分析】（1）由，得到，然后和，利用二次函数和基本不等式求解；
（2）由（1）知：当时，时，函数取得最小值4；根据是的最小值，由在上递减，且求解.
【详解】（1）当时，，
当时，由二次函数的性质得：；
当时，，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值是1；
（2）由（1）知：当时，时，函数取得最小值4；
若是的最小值，
则在上递减，且，
即，且，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：1；
15．     0    
【分析】根据分段函数各区间上函数的单调性、值域，判断的最大值；讨论参数a的范围，结合各区间的函数值域端点值的大小关系，判断有无最大值，即可求的取值范围.
【详解】①由已知得，易知：上递增且值域为；上递减且值域为，
∴的最大值为.
②上递增且值域为；上递减且值域为，
当时，显然，故存在最大值.
当时，显然，即无最大值.
综上，.
故答案为：0，.
16．         
【分析】（1）根据分段函数，分段分析判断即可；
（2）因为函数的值域为，所以的值域分、两种情况讨论并根据的值域为分别列出不等式或不等式组解之即可.
【详解】（1）当时，，
所以函数的减区间是.
（2）因为，其中函数的值域为，
对于函数，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，要使函数的值域为，则有；
当时，函数在上单调递增，此时，
要使函数的值域为，则有，解之得.
综上所述，的取值范围是.
17．         
【解析】第一空：直接代入函数计算即可；
第二空：作出函数图像，观察图像可得结果.
【详解】解：第一空：，；
第二空：的图像如下：

令，，得，
，，得，
若在既有最大值又有最小值，则
实数的取值范围为.
故答案为：；
【点睛】本题考查分段函数的求值问题，考查学生数形结合的能力，关键是要作出函数图像，是一道中档题.
18．         
【分析】当时，分别求两段函数的值域，再求并集即可求的值域，利用的单调性分别求出时，的值域为的子集，求出的范围再令的范围满足求出的范围，再求交集即可求解.
【详解】当时，，
当，，
当时，在单调递减，在单调递减，
所以时，当时，此时，
所以值域为.
当时，在单调递增，此时，
是的子集，所以，解得，
当时，在单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在和单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在单调递增，此时，
当时，对称轴为，
令，可得，
令解得：或，
若的值域为则，
又因为是的子集，
所以解得，所以.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：对于分段函数，当自变量的范围不确定时要根据定义域分成不同的子集进行分类讨论.
19．     0    
【分析】分别求出函数在时和时的最小值，进而求得函数的最小值；根据是函数的最小值，则，且小于等于时函数的最小值，最后求出答案.
【详解】a＝－1时，，当时，，当时，，则的最小值为0；
是函数的最小值，当时，，则，且最小值为，
当时，，
于是.
故答案为：0，.
20．     ；     ；
【分析】若，分别求出在及上的最值，取并集得答案；结合图像，只需即可得到的范围．
【详解】解：当时，．
当，时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
可得的最大值为，最小值为；
当，时，为增函数，．
综上所述，的值域是；
根据题意得：，
如图，当，解得：或，令，解得：
故，故实数的取值范围是

故答案为：；．
21．         
【分析】（1）结合函数解析式，根据定义域范围分别求、时的范围，取并集即可；（2）由，结合（1）的范围，再依照（1）的思路求的范围；
【详解】解：当时，由，得；当时，由有，得，
综上得，的取值范围是；
由知：或，
1、当时，
若，由，解得与交集为，
若时，由，可得，无解；
2、当时，
若，由，解得，
若时，由，解得；
综上可得，，的取值范围为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查分段函数，指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，考查运算化简的能力，属于中档题.
22．          2
【分析】根据及新定义即可求得实数的取值范围；作出函数及函数的大致图象，根据的最大值为2得到，即可得到的值．
【详解】由题意得，所以，
即实数的取值范围为；
在同一坐标系中作出函数
及函数的大致图象如图所示，
令，解得或．
结合图象可知，若的最大值为2，则．

故答案为：；2.
【关键点点睛】解决本题的关键是作出两函数的图象，根据两函数图象的位置关系及的最大值为2得到，即.
23．         
【分析】先计算的值，再计算的值；先由二次函数的性质计算当时，函数的值域是，可得当时，函数的值域为的子集，经分析可得，只需即可求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最大值，
所以当时，函数的值域是，
所以当时，函数的值域为的子集，
当时，在上单调递增，此时，
此时不符合题意，
当时，在上单调递减，
此时，即，所以，
可得，
所以实数的取值范围是：，
故答案为：；.
24．     ；    
【分析】第一空：根据范围，代入对应函数解析式求值即可；第二空：先求出在R上的值域，结合图象即可求出的取值范围.
【详解】第一空：由题意知：，；
第二空：当时，在上为增函数，值域为；
当时，，值域为，画出图象如下：

令，解得，由图象可知，要使函数 的值域为 ，有.
故答案为：；.
25．     ，     ##
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
    所以,
故答案为：，.

26．     ##     ##
【分析】结合独立事件的概率乘法公式以及概率的加法公式即可求出对应的概率，进而根据期望的公式即可求出结果.
【详解】，
，
，
故，
故答案为：
27．     ；     .
【分析】根据古典概型的计算公式，结合均值的运算公式进行求解即可.
【详解】从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为：；
以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取1人，对统计方向有兴趣的概率为，则，
所以，
故答案为：；.
28．         
【分析】先分析获奖的情况，再求概率和期望.
【详解】由题意，，，
故
故答案为：；
29．     ；     ##.
【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【详解】；
，
，
，
所以，
故答案为：；
30．     3    
【分析】直接求出取到1个红球1个白球的概率，从而解出，进而得到6个中各种颜色的球的个数，所以随机变量的取值为：2,3,4，求出各个概率，可得期望.
【详解】取到1个红球1个白球，则取球2次，则取到1个红球1个白球的概率，解得
所以袋中的6个球中，其中1个红球，3个白球，2个黑球
随机变量的取值为：2,3,4



随机变量的数学期望
故答案为：   3；   
31．     12     3
【分析】先考虑男生的编号方法，再考虑女生的编号方法，利用分步乘法计数原理求编法数即可，由条件求出随机变量的分布列再由期望公式求其期望.
【详解】由已知男生的编号为1，3，5，女生的编号为2，4，
用1，3，5给男生编号有种编号方法，用2，4给女生编号有种编号方法，
所以满足条件的编号方法有种，
由已知随机变量的取值有，
，，，
，，，，
所以，
故答案为：12；3
32．          ##1.5
【分析】根据试验过程，利用概率的乘法公式即可求解；直接列举X的所有可能取值，分别求出概率，即可求出数学期望.
【详解】由题意可得.
随机变量X的取值为0,1,2.
；；.
所以期望.
故答案为：，.
33．         
【分析】根据题意计算出每次取出一个球，取到1、2、3的概率；由题意得到的可能取值，分别计算其概率，算出数学期望即可.
【详解】解：根据题意，每次取出1个球，标号为1的概率为，标号为2的概率为，标号为3的概率为.
故可能的取值为：2，3，4，5，6，
则，，
，，
.
故.
故答案为：；.
34．         
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可得空1；由相互独立事件的乘法公式分别求出甲同学通过0、1、2轮选拔的概率，然后由期望公式可得.
【详解】记甲同学通过笔试为事件A，通过面试为事件B，
因为，所以
则甲同学能进入到数学社团的概率；
甲同学无法通过笔试的概率，
通过笔试但没有通过面试的概率，
得分布列：
X
0
1
2
P




所以.
故答案为：，.
35．         
【分析】根据取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，得到关于，的方程，然后求出，的值，得到的值；先确定的可能取值，求出相应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．
【详解】解：由题意，，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得，，故；
由题意，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以．
故答案为：；．
36．          ##
【分析】由题意可得、、是两两互斥的事件，则，利用条件概率的概率公式求出即可，由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求出X的数学期望
【详解】由题意可得、、是两两互斥的事件，，
若从甲箱中随机取出1红球放入乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，
所以，同理可得，
所以

，
题意可得X的取值可能为0，1，2，3，则
，
，
，
，
所以,
故答案为：，