20.1 数据的集中趋势-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

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20.1 数据的集中趋势一、平均数平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，即为平均数。平均数反映一组数据的平均水平。加权平均数：一般地，若个数，,…, 的权分别是，,…, ，则 ，叫做这个数的加权平均数。在求个数的平均数时，如果出现次，出现次,…,出现次(这里),那么这个数的平均数也叫做，,…, 这个数的加权平均数，其中, ,…, 分别叫做，,…, 的权。二、中位数与众数1、中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 2、众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 三、解题注意：平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势。1、平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用；但它受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大。2、当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响；3、中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响，  题型一  求一组数据的平均数【例1】南京2023年1月份天气变化趋势如下表，其中春节七天（22日至28日）最低温的平均值约为（    ）A． B． C． D．  【变式1-1】七年级某次有奖竞猜活动，成绩以100分为基准，超过的记为正数，小于的记为负数．按此方法记录了8名同学的成绩，具体数据为：，，，，，0，，．则这8名同学中最高分、最低分、平均分分别是（　　）A．12，，1 B．112，90，100 C．112，90，101 D．112，90，99  【变式1-2】嘉嘉计算出数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，则数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数是(   )A．3 B．2 C．5 D．11 【变式1-3】已知数据a，b，c的平均数为8，那么数据的平均数是_________．  【变式1-4】某工厂有220名员工，财务科要了解员工收入情况．现在抽测了10名员工的本月收入，结果如下：（单位：元）1660，1540，1510，1670，1620，1580，1580，1600，1620，1620（1）全厂员工的月平均收入是多少？（2）平均每名员工的年薪是多少？（3）财务科本月应准备多少钱发工资？  题型二 已知平均数求未知数【例2】某校统计教师学习中共党史的时间，随机抽查了甲、乙、丙三位教师，他们的平均学习时间为80分钟，甲和乙的学习时间分别是75分钟、95分钟，则丙的学习时间是（    ）A．70分钟 B．75分钟 C．80分钟 D．85分钟  【变式2-1】某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是90分，其中数学100分，化学80分，那么物理成绩是（　　）A．92分 B．91分 C．90分 D．89分  【变式2-2】甲、乙两班的数学平均成绩分别为72分和77分，现在，小明同学从乙班调到甲班，调动后再计算，结果两班成绩都有所上升，则小明同学此次数学成绩可能是（    ）A．62分 B．72分 C．75分 D．85分 【变式2-3】在一次射击训练中，某小组的成绩如下表．已知该小组的平均成绩为7.9环，那么成绩为8环的人数为（    ）环数789人数2 1A．5 B．6 C．7 D．8  【变式2-4】若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e平均数是4，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是______．  题型三 求加权平均数【例3】期末，班主任刘老师准备按一定权重综合打分确定本班三好学生人选，综合成绩由四部分组成：期末各科平均成绩点，班级权重成绩点，纪律节生综合成绩占，实践活动成绩占，小明上述四部分成绩依次为92分、90分，88分、95分，则小明评选三好学生的综合成绩（　　）A．分 B．分 C．分 D．分  【变式3-1】某班评选一名优秀学生干部，下表是班长和团支部书记的得分情况：假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为，通过计算比较，下列结论正确的是(    ) 班长团支部书记思想表现2426学习成绩2624工作能力2826 A．班长应当选 B．团支部书记应当选C．班长和团支部书记的最后得分相同 D．班长的最后得分比团支部书记多分  【变式3-2】某公司招聘人员，学历、工作经验、表达能力、工作态度四方面进行综合考核．其中一位应聘者，这四项依次得分为8分、9分、7分、8分（每项满分10分）．这四项按照如图所示的比例确定面试综合成绩，则这位应聘者最后的得分为______．  【变式3-3】甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克______元．  【变式3-4】下表是某校女子排球队队员的年龄分布：年龄/岁13141516人数/个2442 求该校女子排球队队员的平均年龄．  题型四 利用加权平均数计算【例4】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分A．86 B．88 C．90 D．92  【变式4-1】已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高是，这里的__________．  【变式4-2】学校将学生的平时成绩、期中考试、期末考试三项成绩按2:3:5的比例计算学期总成绩。小明这学期的平时成绩为85分，期中考试成绩为80分，若想争取学期总成绩不低于90分，则期末考试的成绩不得低于        分.  【变式4-3】某校体育期末考核“仰卧起坐和“800米两项，并按3:7的比例算出期末成绩。已知小林这两项的考试成绩分别为80分、90分，则小林的体育期末成绩为         分.  【变式4-4】一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中          (填“面试”或“笔试）的权重较大。  题型五 求中位数/众数【例5】已知一组数据：1、2、3、1、5，这组数据的中位数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．5  【变式5-1】一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和中位数分别是（        ）A．4，1 B．5，5 C．4，4 D．4，5  【变式5-2】某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的众数和中位数分别是（    ）A．， B．， C．， D．，  【变式5-3】如图所示的是莉莉次购买某水果的重量（单位，）的统计图，则次重量的中位数是___．  【变式5-4】近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理如下统计表．使用次数12345人数81311126 （1）这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是________，众数是________；（2）这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？  题型六 利用中位数/众数计算【例6】表格是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．若成绩的平均数为23，众数是a，中位数是b，则的值是（    ）成绩（分）30252015人数2xy1A． B． C． D．5  【变式6-1】一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5  【变式6-2】已知一组数据从小到大依次为，，，，，，其中位数为，则其众数为________．  【变式6-3】已知一组数据的中位数是，那么x的值等于_____．  【变式6-4】一组数据（其中最大）的平均数与中位数相等，则为 ___________．   题型七 综合应用题【例7】某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况：参与志愿者活动的时间（h）123参与志愿者活动的人数（人）x82 根据表中数据，下列说法中不正确的是（       ）A．表中的值为 B．这组数据的众数是C．这组数据的中位数是 D．这组数据的平均数是  【变式7-1】为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：A．，B．，C．，D．，抽样和分析过程如下：【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：七年级：95  75  80  90  70  80  95  75  100  90  78  80  80  95  65  100  88  85  85  80八年级：83  79  98  69  95  87  75  66  88  77  76  94  79  79  82  82  96  81  71  79整理以上数据，绘制了频数分布表：频数        分数年级七年级2855八年级2864 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量： 平均数中位数众数七年级84.3a80八年级81.880b 根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的__________，__________；（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．  【变式7-2】4月23日是世界读书日．首届全民阅读大会倡议：“推动全民阅读建设书香中国”．某 校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从学校八、九年级各随机抽取10名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如 下（单位：min）：八年级：60、110、146、100、70、81、120、8、20、81，九年级学生阅读时间在B：80≤x＜120的情况如下：92、104、118分段整理样本数据如下：课外阅读时间x（min）八年级1252九年级2233 根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取八年级这10名学生阅读时间的众数是 　   　；九年级这10名学生阅读时间的中位数是 　   　；（2）求抽取八年级这10名学生阅读时间的平均数；（3）如果该校九年级有学生840名，估计阅读时间在“”的学生有多少名？  【变式7-3】某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了名学生的成绩（单位：分），收集的数据如下，75，85，74，98，72，57，81，96，73，95，59，95，63，88，93，67，92，83，94，54，90，56，89，92，79，87，70，71，91，83，83，73，80，93，81，79，91，78，83，77整理数据： 成绩分人数百分比 分析数据： 平均数中位数众数 根据以上信息，回答下列问题．（1）请直接写出表格中，，，的值．（2）该校八年级学生共有人，请估计成绩在的学生大约有多少人．（3）八（3）班张亮的测试成绩为分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．  【变式7-4】为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表： 参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均数828795第二次竞赛人数21216平均数848793 （规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖：分数，获参与奖）．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90   90   91   91   91   91   92   93   93   94   94   94   95   95   96   98．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数中位数众数第一次竞赛87.588第二次竞赛9091 根据以上信息，回答下列问题：（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；（2）直接写出的值；（3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．