四川省仁寿第二中学2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题

仁寿二中2021级高二（下）第三次月考

理科数学试题

出题人：谭常玉 审题人：李斌 考试时间：2023.5.23

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

2．设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知实数满足，则函数存在极值的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．函数的单调递增区间是（    ）

A．  B．

C．， D．

5．函数，的最大值是（    ）

A． B． C． D．

6．要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有（    ）

A．80种 B．120种 C．60种 D．240种

7．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在处取得极小值

C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值

9．已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，，若的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

11．定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（    ）

A．  B．

C．  D．

12．已知对任意恒成立，其中，为常数且，则（    ）

A．  B．

C．  D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．按如图所示的程序框图运算，若输入的的值为8，则输出的等于__________．

14．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是__________．

15．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为__________．

16．已知，，对，，且，恒有，则实数的取值范围是__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．

（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？

（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？

18．设命题：实数满足，命题：实数满足．

（1）若，若，同为真命题，求实数的取值范围．

（2）若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．

（1）求样本容量和频率分布直方图中、的值；

（2）根据样本直方图估计所取样本的中位数及平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）．

20．若椭圆，过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）不过原点的直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值以及此时直线的方程．

21．已知函数，为正实数，若函数的极大值为1．

（1）求的值；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．

22．已知函数，．

（1）若，求函数的最大值；

（2）若函数的一个极值点为，求证：．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-5：DBBBA 6-10：ADCBD 11-12：DC

12．【详解】由题意知：定义域为，，，

若，则；

若，则；

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

若恒成立，则，即；

综上所述：，故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．3 14． 15． 16．

16．【详解】对，，且，恒有，

即，所以函数是增函数，

设，，则在上单调递增，

故恒成立，即，设，，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

故，即；故答案为：．

三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（1）60 （2）91 （3）14

【详解】（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；

（2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，

则有种选法；

（3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，

若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，

故一共有种派送方式．

18．（1） 

【详解】（1）解：当时，，可化为，解得；

由，得，即，

若、同为真命题，则，解得，即实数的取值范围为．

（2）解：当时，，可化为，解得；

则，；因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，则且，即，

即实数的取值范围为．

19．【答案】（1），， （2）中位数为71，平均数70.6

【小问1详解】由茎叶图可知，在内的数据有8个，

又由频率分布直方图得的频率为0.016，故样本容量，

所以，故．

【小问2详解】设中位数为，

由频率分布直方图可知：第一组频率为0.16，第二组频率为0.3，第三组频率为0.4，

所以中位数位于第三组，由，解得，所以中位数为71．

平均数．

20．（1） （2）积的最大值为，此时直线的方程为．

【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，

因为双曲线的焦点坐标为，，所以，则，

所以椭圆的方程为．

（2）设，，联立可得，

因为直线与椭圆交于、两点，所以解得，

由韦达定理可得，，

由弦长公式可得，

点到直线的距离为，所以，当且仅当即时取得等号，

所以面积的最大值为，此时直线的方程为．

21．【答案】（1）； （2）．

【详解】解：（1）由题意，因为时，令函数，得到，

则在上单调递增；在上单调递减，

所以的极大值为，可得．

（2）由对恒成立，即对恒成立，

由不等式可得，当时，，即，由，有，

记，则，，

故在上单调递增，，则，

结合，所以，所以的取值范围为．

22．【小问1详解】函数的其定义域为，

若，，所以，

由，得；由，得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以．

【小问2详解】

，则由题意知，解得，经检验，符合题意，

所以，所以要证，即证．

令，则．

令，，

则在上单调递增，

因为，，

所以，使得，即，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以．

又因为，即，所以，

所以，即，即．