2022-2023学年四川省眉山市仁寿第一中学校高二上学期期末模拟理科数学试题（五）

仁寿第一中学校2022-2023学年高二上学期期末模拟（五）

理科数学试题

一、选择题

1、抛物线上的一点到其焦点的距离等于（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】C

2、在直三棱柱中，已知，AB= BC=2， ，则异面直线所成的角为（   ）

A．30° B．60° C．75° D．90°

【答案】B

3、已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

4、已知直线，，P是抛物线上的动点，则P到、的距离之和的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

5、若F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x

【解析】由题意知c＝＝3，如图，∴|PF1|＝|F1F2|＝6，且|PF2|＝10－6＝4，∴a＝＝1，b＝＝2，∴＝，∴双曲线渐近线方程为y＝±x，故选B．

6、已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

7、已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

8、点P是双曲线E：右支上一点，其左，右焦点为，，且，PM是的外角平分线，过作直线PM的垂线，垂足为H，若，则双曲线E的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

9、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A．四棱锥为“阳马”

B．四面体为“鳖臑”

C．四棱锥体积最大为

D．过A点分别作于点E，于点F，则

【答案】C

10、已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

A．B．C． D．

【解析】设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，∴k＝＝.

11、过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，

，直线BD方程为，同理得：，

则有，

当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A

12、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：

①存在点P，使得直线平面ACF；

②存在点P，使得直线平面ACF；

③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；

④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.

其中所有真命题的序号（    ）

A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④

【答案】D

【分析】当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线平面ACF，推理导出矛盾

判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出外接圆面积判断④作答.

【解析】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，

在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，

即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；

假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，

在中，，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，

因此，假设是错的，即②不正确；

因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，

于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，

，而，则，

当P与E重合时，，，因此，，③正确；

因平面平面，平面平面，，平面，则平面，

，在中，，显然有，，

由正弦定理得外接圆直径，，

三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，

所以所给命题中正确命题的序号是①③④.

故选：D

二、填空题

13、抛物线的准线方程是________

【答案】

14、设是椭圆的焦点，是椭圆上的一点，且满足，则的内切圆面积为__________.

【答案】

15、已知为双曲线的左焦点，为上的点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．

【答案】40

16、在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的最大值是________.

【答案】

【解析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，则有，，因为，所以，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以线段长度的最大值为.故答案为6

三、解答题

17、已知圆C：．

(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；

(2)若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

【解析】 (1)

圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.

（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；

（2）当斜率存在时,设即.

圆心C到直线l的距离，

解得: 或k=0,所以直线方程为或.

(2)

过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.因为,所以所以.所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值. 所以，所以，即四边形PACB面积的最小值为8.

18、已知椭圆的左､右焦点分别为､，M是椭圆的上顶点，且是面积为1的等腰直角三角形.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知直线与椭圆E交于A，B两点，判断椭圆E上是否存在点P，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】

(1)

由已知得，设.是面积为1的等腰直角三角形，

∴椭圆E的方程为

(2)

由题意可设，.联立整理得，则.根据韦达定理得 假设存在点满足四边形恰好为平行四边形，所以.所以，

，点P代入椭圆C方程，所以，所以点P在椭圆C上.所以点P的坐标为.

19、如图，已知平面BCD，平面平面ACD，E，F分别是AD，AC的中点．

(1)求证：；

(2)若，直线BD与平面ABC所成角为30°，求二面角的余弦值．

【解析】(1)

过B作于H；∵平面平面ACD，平面平面∴平面ACD∵平面ACD∴∵平面BCD，平面BCD∴又∵∴平面ABC∵平面ABC∴

(2)

以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系由（1）知BD在平面ABC内的射影为BC，即为直线BD与平面ABC所成角∴，，，，，，，

，，，设面BAD的法向量由得，令，则，，即设面BEF的法向量由，得，令，则，，即设二面角的平面角为，由图知为钝角，所以；即二面角的余弦值为

20、在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，．

(1)求动点Q的轨迹的方程E；

(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标．

【解析】(1)

∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,   ∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q的轨迹的方程为.

(2)

设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同理设，，直线的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点的坐标为，

则直线MN的斜率为，即方程为，整理得，

故直线MN恒过定点.

21、已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.

【详解】（1）由题可知解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线，，由得

解得或（舍），且

的直线方程为，的直线方程为，令解得，所以，同理，所以,由，可得所以

即=，

因为，所以，所以，所以.的取值范围为.

22、如图，在圆上任取一点 ，过点作轴的垂线段为垂足．

（1）当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；

（2）过点作圆的切线与动点的轨迹相交于两点，求面积的最大值．

【解析】（1）设，则.为线段的中点，即.

又点在圆上，，即.故点的轨迹方程为；

（2）由题意，可知，且直线的斜率一定存在且不为.不妨设直线的方程为，设由直线与圆相切，得，即由，消去，

得.

恒成立.则.

.将代入上式，

得.又原点到直线的距离等于圆的半径，面积当且仅当，即时等号成立.此时，满足题意.综上所述，面积的最大值为.