2023年吉林省长春市中考数学第二次模拟考试训练卷

2023年吉林省长春市中考数学第二次模拟考试训练卷 （解答卷）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．1．如图中几何体的主视图是（    ）

A． B． C． D．

解：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

如图中几何体的主视图是．

2．以“和谐之旅”为主题北京奥运会火炬接力，传递总里程约为137 000千米，

这个数据用科学记数法可表示为（　　）

A．1.37×103千米 B．1.37×104千米 C．1.37×105千米 D．1.37×106千米

解：137 000=1.37×105千米,故选C.

3．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

解：∵分式的值为负数，

∴4﹣x＜0，

解得：x＞4，

则x的取值范围是x＞4，故A正确．

故选：A．

4．在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（   ）

A． B． C． D．

解：由数轴可知：；

A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项正确，符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选B．

5．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

解：由题意可得，

∵在中，，，

∴，故A正确，符合题意，

，故B错误，不符合题意，

，故C错误，不符合题意，

，故D错误，不符合题意，

故选A．

6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

解：如图，

连接OC，

∵AO∥DC，

∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD=70°，

∴∠COD=40°，

∴∠AOC=110°，

∴∠B=∠AOC=55°．

故选D．

7．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长是（    ）

A． B． C． D．

解：∵在中，，，

∴，

由作图可知：平分，

∴，

∴，，

∴，

又∵，

∴．

故选：D．

8．如图，A、B为平面直角坐标系中的两点，连接，，，，且，

已知点A的横坐标为，反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点A．

则B点坐标为（　　）

A． B． C． D．

解：分别过点A、B作x轴的垂线、，垂足点分别为E、F，

，

，

点A的横坐标为，

，

，，

，

解得(负值舍去)，

，

，

，

，

，

，即，

解得，，

故点B的坐标为，

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．因式分解：___．

解：

故答案为：．

10.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是___．

解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，

∴

解得k≥﹣1且k≠0．

故答案为：k≥﹣1且k≠0．

11．《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设共有x个人买羊，可求的羊的价钱为_________钱．

解：设共有x人买羊，

解得，

则羊的价钱为钱，

故答案为：150．

12．如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，

假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留）

解：根据题意，重物的高度为

（cm）．

故答案为：．

13.如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，

点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝2，则BF的长为_____．

解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝2﹣x．

在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．

根据折叠的性质可知AG＝AB＝2，所以GE＝﹣2．

在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣2）2+x2，

在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（2﹣x）2+12，

所以（﹣2）2+x2＝（2﹣x）2+12，

解得x＝﹣1，

∴BF＝﹣1，

故答案为：﹣1．

14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x轴于点A2…如此进行下去，直至得到C2021，若点P（4041，m）在第2021段抛物线上，则m的值为 ___．

解：由抛物线C1：y=-x(x-2)，

令y=0，即-x(x-2)=0，解得

∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.

抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为

∴A（2,0）和A1（4，0），

则抛物线C2：y= （x-2）（x-4）；

抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为A1（4，0）和A2（6，0），

则抛物线C3：y= -（x-4）（x-6）；

抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为A2（6，0）和A3（8，0），

则抛物线C4：y=（x-6）（x-8）；

同理：

抛物线C2021的开口向下，且与x轴的交点为，A2019（4040，0）和A2020（4042，0），

则抛物线C2021：y=-（x-4040）（x-4042）；

当x=4041时，y=- 1×1×（-1）=1．

故答案为1

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．先化简，再求值：，其中．

解：原式＝

当时，原式

16我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：

为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．

（1）此次共调查了 名学生．

（2）将条形统计图补充完整．

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 ．

（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？

（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．

解：（1）此次调查的总人数为（人），

故答案为200；

（2）D类型人数为（人），

B类型人数为（人），

补全图形如下：

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为，

故答案为108°；

（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有（人）；

（5）画树状图如下：

，

由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，

∴刚好一男一女参加决赛的概率．

17．为西蜀图书室近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．

(1)求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？

(2)西蜀图书室计划购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过4000元，则最多购进甲种图书多少本？

解：（1）设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价是（x＋20）元，

由题意得， ＝，

解得：x＝45，

经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意，

则x＋20＝65．

答：甲种图书每本的进价为65元，乙种图书每本的进价是45元；

（2）设购进甲种图书m本，则购进乙种图书为（70﹣m）本，

由题意得，65m＋45(70﹣m)≤4000，

解得：m≤42.5，

∵m为整数，且取最大值，

∴m＝42．

答：最多购进甲种图书42本．

18．如图，在正方形网格上的一个△.(其中点均在网格上)

(1)作△ABC关于直线MN的轴对称图形△.

(2)以点为一个顶点作一个与△全等的△(规定点与点对应,另两顶点都在图中网格交点处).

(3)在上画出点，使得最小.

解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）如图所示，△EPF即为所求；

（3）如图所示，线段AC′于MN的交点Q即为所求．

19．已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，

连接，．

(1)求证：；

(2)若，四边形是什么特殊平行四边形？请证明你的结论．

（1）证明：的垂直平分线交于点，交于点，

，，，，

，

，

，

，

，

，

，

四边形是菱形，

，

在与中，

，

；

（2）解：四边形是正方形，

理由：，

，

，

由（1）知，四边形是菱形，

，

，

四边形是正方形．

20．某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部．下表是2019年的前五个月的月销售额（统计信息不全，单位：万元），其前五个月销售额共计680万元．

（1）该品牌5月份的销售额是 万元；

（2）手机部5月份的销售额是 万元；小明同学观察图1后认为，手机部5月份的销售额比手机部4月份的销售额减少了，你同意他的看法吗？请说明理由；

（3）该品牌手机部有A、B、C、D、E五个机型，图2表示在5月份手机部各机型销售额占5月份手机部销售额的百分比情况统计图．则5月份 机型的销售额最高，其销售额是 万元．

解：（1）该品牌5月份的销售额是（万元），

故答案为：；

（2）不同意小明的看法，

手机部4月份销售额为：（万元）．

手机部5月份销售额为：（万元）．

因为万元＞万元， 故小明说法错误，

故答案为：．

（3）由扇形统计图知，5月份B机型的销售额最高，

销售额为（万元）．

故答案为：B、．

21．小颖和小明两人分别从甲、乙两地出发骑自行车沿相同的路线相向而行，图中折线和线段分别表示小颖和小明离甲地的距离（单位：米）与小颖行驶的时间（单位：分）之间的函数关系图象，根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)小明骑车的速度为___________米/分，点的坐标为___________；

(2)求线段对应的函数关系式；

(3)请直接写出小颖出发多长时间和小明相距750米．

（1）解：由图象可知，小明骑车的速度为米/分，

∴小明骑车的总时间为分，

则由知小明比小颖晚出发5分钟，

∴点的坐标为；

故答案为：300；

（2）由（1）可得点A的坐标为，

设线段对应的函数关系式为（，为常数，），

把A和B代入，得：

解得：，

线段对应的函数关系式为：；

（3）设小颖出发t分钟后和小明相距750米，

在小颖和小明相遇前，

由题意可得，，

解得，

在小颖和小明相遇后，

，

解得，

即小颖出发10分钟或分钟后和小明相距750米．

22．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．

(1)求m、n的值；

(2)求一次函数的表达式；

(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；

(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．

解：（1）将点代入反比例函数，

得，，，

∴，

将代入，

得，，，

∴，；

（2）将点和分别代入一次函数，

得，，

解得，，

∴；

（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，

理由：的周长为最小，

设的表达式为

∵点、，

∴，

解得，，

∴的表达式为，

∴时，，

故点P的坐标为；

（4）D的坐标为，或，或．理由：

由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，

设点D的坐标为，

①当是边时，

则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，

同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，

则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，

解得或；

②当AB是对角线时，

由中点公式得：， ，

解得；

故点D的坐标为，或，或．

23．如图，在中，，，，CD是边AB上的中线．P，Q两点同时从点A出发，点P在AC上以1cm/s的速度向终点C运动；点Q在AB上以2cm/s的速度向终点B运动，以AP，AQ为邻边作．设点P的运动时间为x（s），与重叠部分图形的面积为y（cm2）．

(1)点P到AB的距离为_______cm．（用含x的代数式表示）

(2)当点E落在中线CD上时，求x的值．

(3)当时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

(4)连接PQ，当直线PQ经过中线CD上的三等分点时，直接写出x的值．

(1)解：过点P作PH⊥AB于点H，如图1，

在中，，

∴点P到AB的距离为：x；

(2)

解：如图2，

∵，，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵四边形APEQ是平行四边形，

∴，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴；

(3)

解：①当时，重叠部分是平行四边形APEQ（如图1），

此时；

②如图3中，当时，重叠部分是五边形APKJQ，

此时；

③如图4中，当时，重叠部分是四边形APKD，

此时；

综上所述，．

(4)

解：设PQ交CD于点M．

如图5中，当时，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图6中，当时，

同法可得，

∴，

综上所述，满足条件的x的值为或．

24．如图，抛物线 交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线的顶点，连接，求的值；

（3）若点在抛物线的对称轴上，请问抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点关于直线对称，且，

∴.

把点代入抛物线中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）设抛物线的对称轴交于点，交轴于点，过点作于点，如解图1所示．

∵，

∴．

∴，

∴，

设直线的解析式为，

把点代入中，

得，解得，

∴直线的解析式为，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形.

∴.

∴.

（3）点的坐标为或或.

当以为顶点的四边形为平行四边形时，需分以下两种情况进行讨论:

①以为对角线，构造平行四边形，如解图2所示，易得点为抛物线的顶点，

∴.

②以为边，构造平行四边形或构造平行四边形，如解图2所示，

∵，

∴点的横坐标为，

∴

∵，

∴点的横坐标为，

∴.

综上所述，点的坐标为或或.