2023年吉林省长春市中考数学网上阅卷模拟试卷（含解析）

2023年吉林省长春市中考数学网上阅卷模拟试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  班级组织了一次跳远比赛，若成绩以为标准，小明跳出了，记做，则小亮跳出了应记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在我国“十四五”就业促进规划中明确提出，到年，城镇新增就业万人以上，数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由，得，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  图是由五个相同的小正方形纸片拼按而成的平面图形现将图沿虚线折成一个如图所示的无盖正方体纸盒，则与线段重合的线段是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，某游乐场有一个长的跷跷板，的支撑柱垂直地面于点，为的中点当的一端着地时，，则支撑柱的长可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案如图中的图案是由图中的基本图形以点为旋转中心，顺时针旋转次而生成的，每一次旋转的角度均为，则至少为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，根据尺规作图痕迹，可得的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式______．

10.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ______ ．

11.  建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，你能说明其中的原理是______ ．

12.  如图，在一块长为米，宽为米的矩形上地中间铺一条弯曲的石子路，石子路的左边线向右平移米就是它的右边线，其余部分种草，则草地面积为______ 平方米用含的式子表示
 

13.  两个大小不同的等边三角形三角板按图所示摆放将两个三角板抽象成如图所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接若，，则点到直线的距离为______ ．
 

14.  如图是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且石块在离发射点水平距离米处达到最大高度米现将该投石机放置在水平地面上的点处，如图，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，投向远处的防御墙，垂直于水平地面且与之间的距离超过米已知高米，高米，若石块正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为米，则的取值范围是______ ．
 

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过次传球后球回到甲手中的概率．

17.  本小题分
如图，在四边形中，，过点分别作于点，于点，且求证：四边形是菱形．

18.  本小题分
小爱和小春两位同学参加学校举行的电脑汉字输入比赛第一轮比赛时间为分钟，小爱比小春多输入字：第二轮两人均输入字，小爱完成输入所花时间是小春所花时间的假设两人在比赛中各白输入汉字的平均速度不变如果平均每分钟输入汉字超过字，则有资格参加市里举办的比赛，请通过计算说明小爱是否有资格参加市里的比赛．

19.  本小题分
为了解本校学生的视力情况，数学兴趣小组对该校名学生进行了抽样调查，并对相关数据收集整理如下：

【收集数据】数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：其中抽取的样木最具有代表性的是方案______ 填序号；
方案：随机抽取名戴眼镜的学生进行调查．
方案：分别从七、八、九年级各随机抽取名学生进行调查．
方案：从九年级随机抽取名学生进行调查．
【整理数据】数学兴趣小组的同学采取中选用的方案进行了调查，并绘制了统计图这名学生视力值的中位数为______ ；
【分析数据】若视力值大于属于“视力良好”，请估计该校名学生达到“视力良好”的人数．

20.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、、、、均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
在图中，画出的对称轴；
在图中，点是线段上的一点，画出点关于直线的对称点；
在图中，点是线段上一点，在线段上确定一点，使得．

 

21.  本小题分
一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，分钟后船员发现船内已有吨积水，并立即开始一边排水一边修船，分钟后，船内不再进水，此时船内仍有吨积水，分钟后积水排空，船的进水速度和排水速度始终不变轮船内积水量吨与触礁后的时间分钟的函数图象如图所示．
求船内不再进水后与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
如果船员提前分钟发现船身进水并立即排水与修船，假定修船花费的时间不变，排水速度也不变，请在图中画出新的表示与函数关系的图象，并由图象可得轮船将会提前______ 分钟排空积水．

22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版教材九年级上册页的部分内容：
【问题原型】如图，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连接交于点求证：；
【结论应用】如图，在【问题原型】的基础上，点在边上不与点重合，连接交于点．
若，则线段的长为______ ；
当点与点重合，点与点重合时，如图，若，且周长的最小值为，则边的长为______ ．

23.  本小题分
如图，为的直径，动点在上且位于直线上方，连接作点关于直线的对称点，连接、．
当点与点重合时，的大小为______ 度；
当时，求的长；
当平分线段时，求扇形的面积；
连接，当时，直接写出线段的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点、为该抛物线上两点，点的横坐标为，点的横坐标为当点不与该抛物线的顶点重合时，过点作轴的垂线交该抛物线于点，以、为边作▱，设▱的面积为．
求抛物线的函数表达式；
当时，求的值；
当抛物线的对称轴将▱分成两部分图形的面积比为：时，求的值；
连接、、、，当与的面积和为时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据正负数的概念得出结论即可．
本题主要考查正负数的概念，熟练掌握正负数的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，不等式两边同时乘以一个相同的数，不等号的方向改变，根据不等式的性质可知，此数必为负数．
故选：．
根据不等式的性质即可快速选出答案．
这是不等式性质的反向应用，比较新颖，即当不等式两边同乘一个数后，不等号方向改变，求这个数的可能值．
 

4.【答案】 

【解析】解：将图沿虚线折成一个如图所示的无盖正方体纸盒，则与线段重合的线段是．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，考查同学们的空间想象能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：为的中点，，
，
在中，，
，
故选：．
根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，顺时针或逆时针旋转角度，依次旋转四次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为除以为，即旋转角是的倍数，
故旋转角的最小值是．
故选：．
根据图形间的关系可得答案．
此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图得：，
，
，
故选：．
先根据三角形的内角和求出的值，再根据线段的垂直平分线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的的性质及角的和差是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标分别为，，，
绕着原点顺时针旋转后得到，
点，，，
反比例函数的图象绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点，
反比例函数的图象与的边有公共点，
当反比例函数的图象经过点时，，
当反比例函数的图象经过点时，
．
故选：．
求得绕着原点顺时针旋转后得到的端点的坐标，根据反比例函数的图象绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点可知反比例函数的图象与的边有公共点，当反比例函数经过点时有最小值，反比例函数经过点时时有最大值，可得出的取值范围．
本题考查的是反比例函数的性质，坐标于图形变化性质，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据题意可得，据此求解即可．
本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当时，方程有两个相等的两个实数根．
 

11.【答案】两点确定一条直线 

【解析】解：两点确定一条直线，
建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．
故答案为：两点确定一条直线．
根据公理“两点确定一条直线”，来解答即可．
本题考查的是公理“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，解答此题不仅要根据公理，更要联系生活实际，以培养同学们的学以致用的思维习惯．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：平方米，
所以：这块草地的面积为平方米．
故答案为：．
根据平移可知，草地的长为米，宽为米，然后进行计算即可．
本题考查了生活中的平移，根据平移求出绿地部分拼成的图形长和宽是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，
，
即：，
，，
，
，
过点作，垂足为，

是等边三角形，
，，
在中，，，
由勾股定理得：．
点到直线的距离为．
故答案为：．
首先根据等边三角形的性质得，，，，进而可得出，据此可依据“”判定和全等，从而得出，进而得，然后过点作于点，在中，利用勾股定理可求出的长．
此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，解答此题的关键是理解等边三角形的三条边都相等；三个角都等于，美衣边上的高，中线与对角的平分线重合；难点是根据“”判定和全等．
 

14.【答案】 

【解析】解：以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图：

根据题意设石块运行的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
解得舍去，，
；
当时，，
解得舍去或，
．
的取值范围是，
故答案为：．
以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值，再令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据单项式乘多项式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用．
 

16.【答案】解：树状图如下：

共有种等可能的情况数，其中经过次传球后球回到甲手中的情况数有种，
所以经过次传球后球回到甲手中． 

【解析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出经过次传球后球回到甲手中的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】证明：于点，于点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形． 

【解析】由，，证明四边形是平行四边形，再证明≌，得，即可证明四边形是菱形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明≌是解题的关键．
 

18.【答案】解：设小爱平均每分钟输入字，则小春平均每分钟输入字，
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方积的解，且符合题意．
，
小爱有资格参加市里举办的比赛． 

【解析】设小爱平均每分钟输入字，则小春平均每分钟输入字，根据小爱比小春多输入字：第二轮两人均输入字，小爱完成输入所花时间是小春所花时间的列方程即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，正确地理解题意是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：【收集数据】数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：其中抽取的样木最具有代表性的是方案是分别从七、八、九年级各随机抽取名学生进行调查，即．
故答案为：；
【整理数据】第个和第个数据都是，则这名学生视力值的中位数为．
故答案为：；
【分析数据】人．
答：估计该校名学生达到“视力良好”的人数约为人．
【收集数据】根据收集数据的方法即可求解；
【整理数据】根据中位数的定义即可求解；
【分析数据】根据用样本估计总体列式计算即可求解．
本题考查的是条形统计图的运用，中位数，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示． 

【解析】根据轴对称的性质即可得到结论；
根据轴对称的性质画出图形即可；
根据轴对称的性质画出图形即可．
本题考查了作图轴对称变换，正确地作出图形是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：设船内不再进水后与之间的函数关系式为，
将、代入，得：，
解得，
所以，船内不再进水后与之间的函数关系式为；
由题意得，

由图象可得轮船将会提前分钟排空积水．
故答案为：．
利用待定系数法解答即可；
根据题意即可画出新的表示与函数关系的图象，再结合图象解答即可．
本题考查了一次函数的应用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】【问题原型】证明：点为边的中点，
．
在矩形中，．
，
，
，
；
【结论应用】解：在矩形中，．
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：；
当点与点重合，点与点重合时，如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，
此时，
，

，
，
周长的最小值为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【问题原型】证明，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【结论应用】由，得∽，所以，进而可以解决问题；
当点与点重合，点与点重合时，如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，此时，可得，结合求出，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，

点关于直线的对称点，
，
，
故答案为：；
当时，，
由轴对称的性质可知，，
，
，
，
，
是等边三角形．
，
的长为；
如图，连结、，则有，

垂直平分，
，
由轴对称的性质可知，，
，
，
，
扇形的面积；
如图，连接交于，

为的直径，
，
，，
，
作点关于直线的对称点，
，
，
，
；
如图，设的延长线交于，

连接交于，
为的直径，
，
，，
，
作点关于直线的对称点，
，
，
，
．
综上所述，线段的长为或．
如图，根据轴对称的性质和垂径定理即可得到结论；
根据平行线的性质得到，根据轴对称的性质得到，推出是等边三角形．得到，根据弧长公式求得的长为；
如图，连结、，则有，根据等腰三角形的性质得到，由轴对称的性质可知，，求得，根据扇形的面积公式即可得到扇形的面积；
如图，如图，设的延长线交于，连接交于，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质和勾股定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，弧长的计算，扇形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，
将代入，得：
．
．
抛物线的函数表达式为．

，，．
，
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
轴，
、两点关于直线对称，
点的横坐标为，
即点的坐标为．
．
的值为．

点的位置此题有两种可能：
如图，点在对称轴左侧．
抛物线的对称轴将▱分成两部分图形的面积比为：时，
较小部分的面积为，
抛物线对称轴垂直平分，设垂足为点，
点落在对称轴直线上，的面积为，
在▱中，，
，．
．
．
，．
．
如图，点在对称轴左侧．
当点落在对称轴直线时，的面积为，
点的横坐标为，
．
．
．
，．
在▱中，，
．
．
的值为或．

当与的面积和为时，
点在▱的边上，或▱的、两边所在直线的内部，
当点在对称轴的左侧时，
时，，，直线过原点，不存在，不合题意．
当时，点在直线左侧，在▱的、两边所在直线的外部，
与的面积和为，不合题意．
时，，，直线：过原点，不存在，不合题意．
当时，点在直线右侧，在▱的、两边所在直线的外部，
与的面积和为，不合题意．
当，时，与的面积和为．
当点在对称轴的右侧时，
当时，点在直线的右侧，
在▱的、两边所在直线的外部，
与的面积和，不合题意．
时，与的面积和为．
总之，，，时，与的面积和． 

【解析】利用待定系数法求出函数表达式．
把代入，求出有，得到点的坐标，再利用抛物线的对称性得到点的坐标，就能得到的正切值．
根据点的位置此题有两种可能：点在对称轴左侧，点在对称轴右侧．对称轴将▱分成两部分图形的面积比为：时，求出各点坐标，求出▱的底和高，求出面积．
当与的面积和为时，点在▱的边上，或▱的、两边所在直线的内部，根据的取值，判断点的位置．
此题考查二次函数及其图象的性质，三角函数，平行四边形等多个知识点的综合运用．