2023年北京市中考数学模拟试题（五）（含答案）

这是一份2023年北京市中考数学模拟试题（五）（含答案），共17页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市中考数学模拟试题（五）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）数据5600000用科学记数法表示为（　　）
A．56×105 B．5.6×105 C．5.6×106 D．5.6×107
3．（3分）如图是由7个小正方体组合而成的几何体，从正面看，所看到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是上的一点，且AD＝CD．若AC＝6，AB＝10，则BD的长为（　　）

A．8 B．3 C．10 D．4
5．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如果a2+3a﹣2＝0，那么代数式的值为（　　）
A．1 B． C． D．
7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（　　）

甲
乙
丙
丁
平均数
80
85
85
80
方差
42
45
54
59
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分）一种计算亚洲人标准体重G（单位：Kg）的方法是：以厘米为单位，量出身高值h，再减去常数100，再将所得的差乘常数k，所得即是G的值．如表记录了四位同学的身高h及体重w数据，其中仅有一人体重较重或较轻．则常数k的值为（　　）
姓名
小赵
小钱
小孙
小李
身高h/m
1.73
1.68
1.80
1.77
体重w/kg
65.7
57.8
72.0
69.3
A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若分式无意义，则x的取值是 　 　．
10．（3分）因式分解：mn﹣m＝　 　．
11．（3分）某一次函数图象过点（﹣1，5），且函数y的值随自变量x的值的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数表达式　 　．
12．（3分）如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工具最少使用 　 　次，就可以找到圆形工件的圆心．

13．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x只，兔y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为 　 　．

14．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝　 　°．（补充知识：等腰三角形两底角相等．）

15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，∠BAD＝θ，当θ的值等于 　 　时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．

16．（3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝　 　度．

三．解答题（共12小题）
17．（1）计算：+；
（2）解不等式组．
18．先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝﹣1．
19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）判断方程根的情况并说明理由；
（2）请给k取一个合适的整数值，使得原方程的根为正整数，并求出此时方程的根．
20．已知：△ABC，求作平行四边形ABCD．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：
①分别以A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
②连接MN，交AC于点O；
③连接BO；
④以O为圆心，OB长为半径作弧，交BO延长线于点D；
⑤连接AD、CD．
四边形ABCD即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝　 　，OB＝　 　，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（　 　）（填推理的依据）

21．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（0，3）和（2，2）．
（1）求这个一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都小于y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．

22．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝4时，求AF的长度．

23．为纪念2021年3月22﹣28日“中国水周”——珍惜水•爱护水•节约水．某校七八年级进行“珍惜水资源”知识竞赛，成绩分为优秀，良好，及格，不合格四个等级，其相应等级得分分别为10分，8分，6分，4分．随机抽查了七、八年级各40人，将抽查出来的七年级和八年级的成绩整理并绘制成统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）求出八年级的平均成绩；
（2）从平均数的角度看，成绩 　 　好；从中位数的角度看，成绩 　 　好；从众数的角度看，成绩 　 　好．（填“七年级”或“八年级”或“一样”）

24．如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于m时，求d的取值范围．

25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求OD的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）当y1＝y3时，求b的值；
（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．
27．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD（如图2）．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求此时AF的长；
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以，直接写出AF的长，如果不可以，说明理由．

28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为 　 　；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 　 　；
（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

参考答案
1．A
2．C
3．A
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
9． ．
10． m（n﹣1）．
11． y＝﹣x+4．
12． 2．
13． 2x+4y＝94．
14． 26．
15． 28°或31°．
16． 23
17．（1）原式＝4+1﹣×
＝4+1﹣
＝5﹣；
（2）由2x＞2，得：x＞1，
由x﹣1≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
18．（2a﹣1）2+2a（3﹣2a）
＝4a2﹣4a+1+6a﹣4a2
＝2a+1，
当a＝﹣1时，原式＝2（﹣1）+1
＝2﹣2+1
＝2﹣1．
19．（1）方程有两个实数根，
理由如下：
∵Δ＝（k+3）2﹣4（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（2）要使方程的根为正整数数，则2k+2≥0，k+3≥0，
可解得k≥﹣1，可取k＝﹣1，
此时方程为x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3，
（本小题答案不唯一）．
20．（1）如图即为补全的图形；

（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（ 对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：OC，OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
21．（1）将（0，3）和（2，2）．代入y＝kx+b得，
解得
∴所求一次函数解析式为：y＝﹣x+3；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣x+3得，y＝，
把点（﹣3，）代入y＝mx得，＝﹣3m，解得m＝﹣，
∵x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都小于y＝kx+b的值，
∴m的取值范围是：﹣≤m≤﹣．
22．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC＝DE＝4，
∴AO＝4，
∵DE∥AC，
∴∠FAO＝∠DEF，
在△AFO和△EFD中，，
∴△AFO≌△EFD（AAS），
∴OF＝DF，
∵∠ADB＝30°，
∴OD＝AO＝4，
∴OF＝OD＝2，
∴AF＝＝＝2．

23．（1）八年级的平均成绩为：×（40×40%×10+40×25%×8+40×20%×6+40×15%×4）＝7.8；
（2）由题意得：七年级的中位数是：，
八年级的中位数是：，
七年级的众数是：8，
八年级的众数是：10；
从平均数上看，7.8＞7.6，则八年级的成绩比七年级的成绩较好；
从中位数上看，8＝8，则两个年级的成绩一样；
从众数上看，10＞8，则八年级的成绩比七年级的要好．
24．（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2，
将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，
解得a1＝﹣，
∴y1＝﹣x2，
当x＝12时，y1＝﹣×122＝﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1，
②设彩带的长度为Lm，
则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（﹣x2）＝x2﹣x+4＝（x﹣4）2+2，
∵这条彩带的长度小于m，
∴（x﹣4）2+2＜，
解得＜x＜．
∴d的取值范围＜d＜．
25．（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
∵∠FAC＝，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴r＝3，
∴AE＝4，
∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．
26．（1）对于y＝x2+bx+1，
当x＝0时，y＝1，
则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
解得：b＝﹣2；
（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，
解得：b＞﹣2，
当1＞y2时，1＞1+b+1，
解得：b＜﹣1，
∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．
27．（1）∵两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，
∴ED＝AB，∠EDF＝∠BAC，
∴ED∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，
∴AF＝DC，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝9cm，
∴设AF＝DC＝xcm，则AD＝AC+CD＝（9+x）cm，
∵∠DFE＝90°＝∠AFE，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠AED＝90°，
∴AE2+ED2＝AD2，
即x2+62+92+62＝（9+x）2，
解得：x＝4，
即AF＝4cm；
（3）纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形．
∵四边形ABDE能成为菱形，
∴AE＝DE，
∴AE2＝DE2，
设AF＝DC＝xcm，
∵∠DFE＝∠AFE＝90°，
∴AE2＝AF2+EF2＝x2+62，ED2＝DF2+EF2＝92+62，
∴x2+62＝92+62，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
即AF＝9cm，
∴当AF＝9cm时，四边形ABDE能成为菱形．
28．（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
∴M（﹣，0），
∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，
故答案为：．

②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，
∴M（﹣3，0）或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．

（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．

∵OE＝4，OF＝3，
∴EF＝＝＝5，
∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，
∴OH＝，
观察图象可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，
最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．

（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，

d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5，
∴3≤d2≤5．