2022徐州高一下学期期末考试数学试题含解析

2021~2022学年度第二学期期末抽测

高一年级数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A. 1 B. 5 C. 7 D. 25

2. 同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（    ）

A. 不可能事件 B. 与为互斥事件

C. 必然事件 D. 与为对立事件

3. 已知，则等于（    ）

A  B.  C.  D.

4. 已知数据，，…，的平均数为3，方差为1，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（    ）

A. 3，1 B. 9，3 C. 10，9 D. 10，10

5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，则

6. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，若，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

8. 已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为（    ）

A  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设向量，满足，则（    ）

A. 与的夹角为60° B.

C.  D.

10. 下图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是（    ）

A. 该市14天空气质量指数的平均值大于100

B. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5

C. 该市14天空气质量指数的30百分位数为55

D. 计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

11. 已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，，则该三角形有两解

C. 若，则一定为等腰三角形

D. 若，则一定为钝角三角形

12. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ）

A. 直线与直线夹角为60°

B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形

C. 若，则动点的轨迹长度为

D. 若平面，则动点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在中，若，，则_______.

14. 已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______.

15. 已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为_______；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为_____.

16. 在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.

四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

18. 已知，，其中.

（1）求的值；

（2）求的值.

19. 已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且.

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长.

20. 2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月22—28日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主体.某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据以组距2分成9组：，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示.

（1）求的值；

（2）设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说明理由；

（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为和的两组中，用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率.

21. 如图，经过城市有两条夹角为60°的公路，，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站，（异于城市），为方便运输，要求（单位：km）.设.

（1）当时，求垃圾处理站与城市之间的距离；

（2）当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？

22. 如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点.

（1）当为线段中点时，求点到平面的距离；

（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.