2023省大庆铁人中学高一下学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）

铁人中学2022级高一下学期期中考试

数学试题

试题说明：1、本试题满分  150  分，答题时间 120  分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题部分

一、单选题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）

1．已知角的终边落在直线上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.   D 

2. 已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C

3. 如图，是正方形的对角线，弧所在圆的圆心是，半径为，正方形以为轴旋转一周，则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比(    )

A.     B.      C.  D. A 

4. 设非零向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（  ）

A.  B.  C.  D. B 

5.给出下列说法：

有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块

其中正确说法的个数是(    )

1.  B.  C.  D.   A 

6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为(    )
 

A.  B.  C.  D. A 

7.若，则(    )

A.  B.  C.  D. D 

8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，。若,则面积的取值范围是（  ）

A.  B.  C.  D.   C

二、多选题（在每小题有多项符合题目要求，漏选得2分，错选得0分。每小题5分，共20分）

9.如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是(    )

A. 是钝角三角形
B. 的面积是的面积的倍
C. 是等腰直角三角形
D. 的周长是 CD 

10.已知是虚数单位，是复数，则下列叙述正确的是(    )

A.
B. 若，则不可能是纯虚数
C. 若，则在复平面内对应的点的集合确定的图形面积为
D. 是关于的方程的一个根 ABD 

11.在给出的下列命题中，正确的有(    )

A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 平面向量满足则为等腰三角形
D. 平面向量，，满足，且，则是等边三角形 ACD 

12.已知，角，，所对的边分别为，，，则下列条件一定能够使为等腰三角形的是(    )

A.
B.
C.       D.   ACD 

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则          ． 

14.已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为          ．

且 

15.由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为_____

16.在中，已知，， ，为线段上的一点，且，则的最小值为_______

四、解答题：(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题10分）余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成。而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合。已知、、分别为内角、、的对边：

（1）请用向量方法证明余弦定理  （证明略）

（2）若，其中为边上的中线，求的长度. 

18.（本小题12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，．

（1）求三棱锥的体积和表面积；

（2）求三棱锥外接球体积和内切球的半径．

解：由题设可得，而三棱锥的高为，

三棱锥的体积，

又，三棱锥的表面积

．

(2)    由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径．

因为，所以三棱锥外接球体积为．

记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，

且该高为内切球的半径，则，

得，所以，

故三棱锥内切球的半径为．

19.（本小题12分）已知的部分图象如图所示

（1）求出的解析式；

（2）若，求在上的值域．

解：由的部分图象知，
，，解得；
；
，
因为
解得；
由知，；
所以
；
当时，，
所以，
所以，
即函数在上的值域为． 

20.已知向量  ，
（1）求的值；
（2）若均为锐角，求的值．

解：，
；
 ，，
因为为锐角，所以，因为均为锐角，


． 

21.（本小题12分）如图，在平面四边形中，，，．
 

（1）当，时，求的面积

（2）当，时，求．

解：当时，在中由余弦定理可得，
即，得，余弦定理得．
因为，所以，
因为，．
在中由正弦定理可得，
即，得，
在中由正弦定理可得，即．
所以，化简得．
结合，，所以． 

22.（本小题12分）如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且．

（1）求边的长度；

（2）若，设点，分别为边，上的动点含端点，线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围．

解：  由条件，可得：，即，化简可得：，因为，所以；
设，，因为的面积为面积的一半，所以，
设，则
又共线，所以设，
则所以，解得：，
所以，又，
所以
，又，
所以化简可得，又，所以，
所以，则，所以，
所以2