2023年广东省广州市广雅中学中考数学二模试卷（含答案）

2023年广东省广州市广雅中学中考数学二模试卷  

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 实数4的算术平方根是

A.  B.  C. 2 D.

2. 由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是

A.

B.

C.

D.

3. 直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为

A. 100度 B. 120度 C. 135度 D. 140度

4. 下列运算结果正确的是

A.  B.

C.  D.

5. 某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是

A. 该班共有40名学生

B. 该班学生这次考试成绩的平均数为分

C. 该班学生这次考试成绩的众数为30分

D. 该班学生这次考试成绩的中位数为28分

6. 凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为5万人次，2017年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程正确的是

A.  B.  

C.  D.

7. 如果多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数是

A. 8 B. 10 C. 12 D. 16

8. 如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为

A.

B.

C.

D.

9. 下列语句，相等的弦所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的弧是等弧；  经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。其中正确的个数是    

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如果反比例函数的图象经过点，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而______ 填“增大”或“减小”

12. 设，且b是a的小数部分，则的值为______．

13.    某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：

共抽取了____________名学生的体育测试成绩进行统计；

随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的众数是____________；女生体育成绩的中位数是____________；

14. 如图，在中，，，，，AD是的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则的最小值是______ ．

15. 已知：分式的值为整数，则整数a有______ ．

16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上含端点，且，，则折痕EF的最大值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 计算：

；

．

18. 如图，在中，，，E为AB延长线上一点，点D在BC上，且，连接AD、DE、CE．

求证：≌；

若，求的度数．

19. 计算：；

解不等式组：．

20. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；

实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

21. 已知：如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE相交于点P，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N．

求证：；

．

22. 已知：如图，与都是等边三角形，且点D在边AC上，并与端点A、C不重合．求证：≌．

23. 运动对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每天运动的时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表．

请根据图表中的信息，解答下列问题：

表中的 ______ ， ______ ，中位数落在______ 组，并补全频数分布直方图；

估计该校3000名学生中，每天运动时间不足小时的学生大约有多少名？

已知E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作运动心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．

24. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作，垂足为H，连接AF．

求证：；

若，，当时，求的度数．

25. 如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C．

求此抛物线的解析式；

已知点D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为．

当点刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；

点P在抛物线上，连接PD，，，是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：实数4的算术平方根是2．

故选：C．

利用算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为进而得出答案．

此题主要考查了算术平方根的概念，正确把握定义是解题关键．

2.答案：B

解析：

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．

故选B．  

3.答案：C

解析：解：如图，，

，

、BE分别是和的平分线，

，

．

故选C．

作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．

4.答案：B

解析：解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项正确；

C、，故此选项错误；

D、，故此选项错误．

故选：B．

分别利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算法则化简求出即可．

此题主要考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

5.答案：D

解析：解：A、，该班共有40名学生，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、30分出现的次数最多，众数为30，故本选项错误；

D、第20和21两个数的平均数为30，故中位数为30，故本选项正确；

故选：D．

根据平均数、众数、中位数的定义进行计算即可．

本题考查了众数、中位数以平均数，掌握它们的计算方法是解题的关键．

6.答案：C

解析：解：依题意，得，

故选：C．

根据2015年及2017年的观赏人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.答案：C

解析：

本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角和是这一关键．设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．

解：多边形的各个内角都等于，

每个外角为，

设这个多边形的边数为n，则

，

解得．

故选C．

8.答案：D

解析：解：直线与的交点的横坐标为，

关于x的不等式的解集为，

时，，

的解集是，

的解集是，

关于x的不等式的整数解为，

故选：D．

满足不等式就是直线位于直线的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．

本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．

9.答案：A

解析：试题分析：相等的弦所对的弧相等，必须强调是等圆或是同圆，错误；

平分弦的直径垂直于弦，当平分的弦是直径时，不一定垂直，错误；

长度相等的弧是等弧，应是能完全重合的弧是等弧，错误；

经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，正确；

故选 A。

考点：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理。

10.答案：B

解析：解：二次函数的图象经过、，

二次函数的图象对称轴为直线；

，

时，是最小值；

，

，D关于对称轴直线对称，

，

．

故选：B．

由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线，则时值最小，C，D关于对称轴对称，即．

本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，属于中档题．

11.答案：增大

解析：解：反比例函数的图象经过点，

，

，

反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大．

故答案为增大．

先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值，然后根据反比例函数的性质进行判断．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即也考查了反比例函数的性质．

12.答案：

解析：解：，且b是a的小数部分，

，

．

故答案为：．

直接利用的取值范围得出b的值，再利用二次根式的性质化简得出答案．

此题主要考查了二次根式的化简以及估算无理数的大小，正确化简二次根式是解题关键．

13.答案：；分；27分．

解析：将所有的人数加起来即可；

计算出这部分学生中男生体育的总成绩再除以男生的人数，根据众数、中位数的定义即可得出答案．

解：人；

，

出现次数最多的是27分，则众数为27；

第20和21位同学的成绩分别为27分，27分，则中位数为27．

故答案为：；分；27分．

14.答案：

解析：解：过点D作于点E，过点E作于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时取最小值，如图所示．

在中，，，，．

是的平分线，，，

，

在和中，

，

≌，

．

，，

，

，即，

．

的最小值是，

故答案为．

过点D作于点E，过点E作于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时取最小值，再根据、即可得出，进而可得出，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解．

本题考查了轴对称最短路线问题以及平行线的性质，找出点P、Q的位置是解题的关键．

15.答案：，1，2，4，5，7

解析：

根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案．

解：，或，，

，，，，，，

故答案为，1，2，4，5，7．  

16.答案：

解析：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，

由翻折的性质得，，

在中，，

，

设，则，

，

在中，，

即，

解得，

在中，．

当E与A重合时，四边形是正方形，，

，

的最大值为

故答案为：．

只有BF大于等于AB时，才会落在AD上，判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，从而求出，设，根据翻折的性质可得，表示出AE，在中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．

17.答案：解：；

解析：根据负整数指数幂和零整数指数幂解答即可；

根据整式的混合计算解答即可．

此题考查整式的除法，关键是根据整式的混合计算法则解答．

18.答案：证明：在和中，，

≌；

解：在中，，，

，

，

，

又，

，

≌，

．

解析：利用“边角边”证明即可；

根据等腰直角三角形的性质求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等解答．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

19.答案：解：原式；

解不等式，得，

解不等式，得，

不等式组的解集为．

解析：根据负整数指数幂、绝对值性质及三角函数值计算可得；

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是实数的混合运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.答案：解：设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为元，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

，

答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．

设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，

则，

根据题意得：

解得：，

为正整数，

，35，36，37，38，39，40，

合理的方案共有7种，

即电冰箱34台，空调66台；电冰箱35台，空调65台；电冰箱36台，空调64台；电冰箱37台，空调63台；电冰箱38台，空调62台；电冰箱39台，空调61台；电冰箱40台，空调60台；

，，

随x的增大而减小，

当时，y有最大值，最大值为：元，

答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．

当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，

则利润，

当，即时，y随x的增大而增大，

，

当时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；

当，即时，y随x的增大而减小，

，

当时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；

当，即时，利润不变，始终为15000，

答：当时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；

当时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．

当时，利润始终为15000．

解析：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润冰箱的利润空调的利润建立解析式是关键．

设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；

设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则，根据题意得：，得到，根据x为正整数，所以，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；

当电冰箱出厂价下调元时，则利润，分三种情况讨论：当；当；当，利用一次函数的性质，即可解答．

21.答案：证明：和都是等边三角形，

，，，

，

即，

在和中

≌，

．

又，

；

在和中

≌，

．

解析：根据等边三角形的性质和题意，可以得到≌的条件，从而证明≌，根据全等三角形的性质、三角形内角和可以求得的度数；

证得≌，就可以证得结论．

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.答案：证明：与都是等边三角形，

，，，

．

≌．

解析：根据等边三角形的性质，利用SAS判定≌即可．

此题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定的综合运用．解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于．

23.答案：15    C

解析：解：被调查的总人数为人，

，，

中位数为第25、26个数据的平均数，且这两个数据都落在C组，

中位数落在C组，

故答案为：15，，C，

补全频数分布直方图如下：

估计该校3000名学生中，每天运动时间不足小时的学生大约有：名；

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，

抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率为．

先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，然后根据频数计算频率，补全频数分布直方图即可；

根据每周课余阅读时间不足小时的学生的频率，估计该校3000名学生中，每天运动时间不足小时的学生数即可；

画树状图，根据概率公式求解即可．

本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

24.答案：证明：四边形CEFG是正方形，

，

，，

，

在和中，

≌，

；

解：在矩形ABCD中，，，

，

，

，

≌，

，，

，

，

，

．

解析：根据正方形的性质，可得，再根据，进而可得，结合已知条件，利用“AAS”即可证明≌，由全等三角形的性质可得；

根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

25.答案：抛物线经过、两点

将、分别代入 得，

解得，

所以，抛物线的解析式．

当时，，

，

，

，

为等腰直角三角形，，

如图1，设，

点D关于直线BC的对称点为连接，，

由对称性可知：   ，

轴，

点的纵坐标为，

当点在第四象限抛物线上时，将代入    解得， 舍去

，

，

．

分别以P、D、为直角顶点画图：

如图2，若以P为直角顶点，此时P与点B重合，则，

如图3，以P为直角顶点，此时点P与C重合，则，

如图4以D为直角顶点，此时轴，则，

如图5，以D为直角顶点，此时轴，则，

如图6，以为直角顶点，此时轴，则，

综上可得点P的坐标为或或 4，或 或．

解析：由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

可知为等腰直角三角形，求出点的纵坐标为，代入抛物线解析式可得，求出D点坐标；可分别以P、D、为直角顶点画图，求出点P的坐标．

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积求法，等腰直角三角形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．