2023年北师大版数学八年级下册《三角形的证明》期末巩固练习（含答案）

2023年北师大版数学八年级下册

《三角形的证明》期末巩固练习

一              、选择题

1.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(    )

A.55°，55°      B.70°，40°或70°，55°

C.70°，40°        D.55°，55°或70°，40°

2.到三角形三边的距离相等的点是(　　)

A.三角形三条高的交点

B.三角形三条中线的交点

C.三角形三条角平分线的交点

D.不存在这个点

3.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

A.①         B.②        C.③        D.④

4.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(    )

A.100°                                       B.80°          C.60°                                        D.40°

5.在△ABC中,∠A=90°,∠B=2∠C,则∠C的度数为 (　　)

A.30°          B.45°          C.60°          D.30°或60°

6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(      )

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3

B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3

D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是(　　)

A.3.5                        B.4.2                         C.5.8                        D.7

8.以下叙述中不正确的是(　　)

A.等边三角形的每条高线都是角平分线和中线

B.有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形

C.等腰三角形一定是锐角三角形

D.在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等

9.如图，已知△ABC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝3cm，OA长为(　　)cm.

A.6         B.5         C.4          D.3

10.如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：

①△BCD是等腰三角形；

②射线CD是△ACB的角平分线；

③△BCD的周长C△BCD＝AB＋BC；

④△ADM≌△BCD.

正确的有(　      )

A.①②           B.①③             C.②③             D.③④

二              、填空题

11.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．

12.如图，已知∠C=∠D=90°，请你添加一个适当的条件：____________，使得△ACB≌△BDA.

13.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是      .

14.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为　   　.

15.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13，△ABC的周长为19，则AE＝____________

16.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F.

则下列四个结论：

①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE＋CF＝EF；④BC2＝4S四边形AEDF.

其中正确结论是　   　(填序号).

三              、作图题

17.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.

求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等.

四              、解答题

18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,判断△ACD的形状,并说明理由.

19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.求证：△ABE≌△ADF.

20.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)已知AC＝20， BE＝4，求AB的长.

21.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.

求证：∠B＝∠CAF.

22.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.

求证：△CDE是等边三角形.

23.已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.

(1)如图1，求证：CD⊥AB；

(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．

①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；

②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．

24.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E.

(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　   　°，∠DEC＝　   　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　   　(填“大”或“小”)；

(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数.若不可以，请说明理由.

答案

1.D

2.C.

3.C．

4.A

5.A

6.B.

7.D

8.C.

9.A.

10.B

11.答案为：25.

12.答案为：AD=CD；(答案不唯一).

13.答案为：3.

14.答案为：40°.

15.答案为：3.

16.答案为：①②④.

17.解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，

∴点P在∠ABC的平分线上；

∵线段BD为等腰△PBD的底边，

∴PB＝PD，

∴点P在线段BD的垂直平分线上，

∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：

18.解:△ACD是直角三角形.

理由:∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCD=90°.

又∵∠A=∠BCD,

∴∠ACD+∠A=90°,

∴△ACD是直角三角形.

19.证明：∵CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，

∴AE=AF.

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵

∴△ABE≌△ADF(HL).

20.证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴在Rt△BED和Rt△CFD中

BD＝CD，BE＝CF.

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，

∴DE＝DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC；

(2)解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，

∴AE＝AF，CF＝BE＝4，

∵AC＝20，

∴AE＝AF＝20﹣4＝16，

∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12.

21.证明：∵EF垂直平分AD，

∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，

∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠B＝∠CAF.

22.证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC，

∴∠ABE＝∠ADC.

又CE∥AB，

∴∠BEC＝∠ABE.

∴∠BEC＝∠ADC.

又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC，

∴△BCE≌△ACD.

∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°.

∴△CDE是等边三角形.

23.(1)证明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°.

∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.

(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＝34°.

由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°，

∴∠BCD＝56°.

由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，

∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.

②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°，

∠BCD＝90°－n°，

∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.

24.解：(1)∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，

∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；

故答案为：25°，115°，小；

(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，

理由：∵∠C＝40°，

∴∠DEC＋∠EDC＝140°，

又∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB＋∠EDC＝140°，

∴∠ADB＝∠DEC，

又∵AB＝DC＝2，

∴△ABD≌△DCE(AAS)，

(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，

理由：∵∠BDA＝110°时，

∴∠ADC＝70°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C＋∠EDC＝30°＋40°＝70°，

∴∠DAC＝∠AED，

∴△ADE的形状是等腰三角形；

∵当∠BDA的度数为80°时，

∴∠ADC＝100°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝40°，

∴∠DAC＝∠ADE，

∴△ADE的形状是等腰三角形.