浙江省金华十校2021-2022学年高一数学上学期期末考试试卷（Word版附解析）

金华十校2021-2022学年第一学期期末调研考试

高一数学试题卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接进行交集运算即可.

【详解】∵，，

∴，

故选：.

2. 命题：，命题：（其中），那么是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.

【详解】当时，，所以由能推出，

当时，显然当时，满足，但是不成立，

因此是的充分不必要条件，

故选：A

3. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（    ）（注：）

A. 0.6 B. 0.8 C. 1.2 D. 1.5

【答案】B

【解析】

【分析】当时，即可得到答案.

【详解】由题意可得当时

故选：B

4. 刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形；根据题意，可知个等腰三角形的面积和近似等于圆的面积，从而可求的近似值.

【详解】将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，设圆的半径为，

则，即，所以.

故选：B.

5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如通过函数的解析式可判断其在区间的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的定义域，函数的奇偶性，函数值的符号及函数的零点即可判断出选项.

【详解】当时，令，得或，

且时，；时，，故排除选项B.

因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，故排除选项C；

因为时，函数无意义，故排除选项D；

故选：A

6. 图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（    ）

A. 图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位

B. 图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利

C. 图（2）的建议为降低成本而保持票价不变

D. 图（3）的建议为降低成本的同时提高票价

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的性质，结合选项逐一判断即可.

【详解】A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；

B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；

C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；

D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，

故选：D

7. 已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知不等式可以判断函数的单调性，再结合四个选项进行判断即可.

【详解】因为，

所以由，

构造新函数，因此有，

所以函数是增函数.

A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；

B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；

C：，显然符合题意；

D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，

故选：C

8. 已知函数，若正数，，满足，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.

【详解】因为，所以函数在上单调递增；

因为，，，均为正数，所以，

又，所以，

所以，所以，

又因为

，所以，选项B正确；

当时，满足，但不满足，故选项A错误；

当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；

当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.

故选：B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知，，下列说法正确的有（    ）

A. 为奇函数 B. 在上单调递增

C.  D. 的图象关于对称

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可.

【详解】易知函数为奇函数，函数的值域为，在上单调递增，函数的对称轴为，所以选项A，C正确，B，D错误.

故选：AC.

10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 的解集为

C.

D. 的解集为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为或，

所以且方程的两个根为，，

即.

因此选项A正确；

因为，，所以由，因此选项B不正确；

由可知：，因此选项C不正确；

因为，所以由，

解得：，因此选项D正确，

故选：AD

11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 为偶函数

B.

C. 为定值

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】可利用奇偶性定义求出两个解析式，A项根据奇偶性定义判断；B项可利用解析式求解；C项利用解析式计算可求解；D项分析正负情况，化简求解.

【详解】

令为得即

解得，

对于A. ，故为偶函数

对于B. ，故B错

C. ，故C对

D.当时，，

当时，，

  故D对

故选：ACD

12. 已知二次函数，若，，，则的根的分布情况可能为（    ）

A. 可能无解

B. 有两相等解，且

C. 有两个不同解

D. 有两个都不在内的不同解，

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据条件，，，可判断出；根据可判断出对称轴为，从而结合判别式即可判断出选项.

【详解】因为，所以；

因为，所以，

又因为，

所以，即，所以；

，即，所以；

，即，所以，

所以二次函数，开口向下，且对称轴为，

又，

所以当(不妨取)时，此时无解，故选项A正确；

当(不妨取)时，此时有两相等解，且，故选项B正确；

当(不妨取)时，又因为，，，，所以此时有两个不同解，故选项C正确；

因为，，，，所以选项D错误.

故选：ABC.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据角的概念的推广即可直接求出答案.

【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为.

故答案为：.

14. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________.

【答案】

【解析】

【分析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.

【详解】由弧长公式可得，可得，

所以，由和线段所围成的弓形的面积为，

而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，

因此，该勒洛三角形的面积为.

故答案为：.

15. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以是方程的两个不相等的实根，

因此有，

因为，所以，当且仅当时取等号，

即时取等号，

，设，

因为函数在上单调递增，

所以当时，函数单调递增，所以，

故答案为：

16. 若在内无零点，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的零点，根据函数在内无零点，列出满足条件的不等式，从而求的取值范围.

【详解】因为函数在内无零点，

所以，所以；

由，得，

所以或，

由，得；由，得；由，得，

因为函数在内无零点，

所以或或，

又因为，所以取值范围为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数，

（1）求函数的最大值；

（2）若，，求的值

【答案】（1）3    （2）

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.

（2） 利用换元法求解即可.

【小问1详解】

函数
 

令解得

∴当，时，函数取到最大值3.

【小问2详解】

∵，∴

设，则

18. 计算下列各式：

（1）

（2）

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）运用指数幂运算性质进行计算即可；

（2）运用对数的运算公式，结合换底公式进行求解即可.

【小问1详解】

原式

；

【小问2详解】

原式

.

19. 已知函数（其中，，）图象上两相邻最高点之间距离为，且点是该函数图象上的一个最高点

（1）求函数的解析式；

（2）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若恒有，求实数的最小值.

【答案】（1）   

（2）最小值为4

【解析】

【分析】（1）由图象上两相邻最高点之间的距离为，可知周期,点是该函数图象上的一个最高点,可知,故，将点代入解析式即可得，函数解析式即可求得；

（2）利用函数平移的性质即可求得平移后的函数，由恒有，可知函数在处取得最大值，即可求出实数取最小值.

【小问1详解】

根据题意得函数的周期为，即, 故 ，

∵点是该函数图象上的一个最高点，∴，

即 ，将点代入函数解析式得，

，即,则，

又∵，∴, 故.

【小问2详解】

∵函数，∴

∵恒有成立，∴在处取得最大值,

则，，得

∵，，故当时，实数取最小值4.

20. 2015年10月，实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结，党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策.2021年5月31日，中共中央政治局召开会议，会议指出进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施，有利于改善我国人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持我国人力资源禀赋优势.某镇2021年1月，2月，3月新生儿的人数分别为52，61，68，当年4月初我们选择新生儿人数和月份之间的下列两个函数关系式① ；②（，，，，都是常数），对2021年新生儿人数进行了预测.

（1）请你利用所给的1月，2月，3月份数据，求出这两个函数表达式；

（2）结果该地在4月，5月，6月份的新生儿人数是74，78，83，你认为哪个函数模型更符合实际？并说明理由.（参考数据：，，，，）

【答案】（1），   

（2）函数② 更符合实际，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据三组数据代入求解即可；

（2）分别代入（1）问求出的解析式中，检验与实际的差异，即可判断模型更符合实际.

【小问1详解】

解：（1）由1~3月的新生儿人数，可得对于函数①：

得到

代入函数②：

得到，继而得到，

∴

【小问2详解】

（2）当时，代入函数① ，分别得.

当时代入函数② ，分别得

可见函数② 更符合实际.

21. 已知函数，

（1）求在上的最小值；

（2）记集合，，若，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）按对称轴与区间的相对位置关系，分三种情况讨论求最小值；

（2）分与解不等式，再分析的情况即可求解.

【小问1详解】

解：（1）由，抛物线开口向上，对称轴为，

在上的最小值需考虑对称轴与区间的位置关系.

（i）当时，；

（ii）当时，；

（ⅲ）当时，

【小问2详解】

（2）解不等式，即，可得：

当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.

（i）当时，要使不等式的解集与有交集，

由得：，

此时对称轴为，

∴只需，即，得.

所以此时

（ii）当时，要使不等式的解集与有交集，

由得：，

此时对称轴为，

∴只需，即，得.

所以此时无解.

综上所述，的取值范围.

22. 已知且是上的奇函数，且

（1）求的解析式；

（2）若不等式对恒成立，求取值范围；

（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）存在，正整数或2.

【解析】

【分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式；

（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；

（3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根据，从而只需求即可.

【小问1详解】

∵是上的奇函数，∴，

由，可得，，

∵，∴，，所以.

又，所以为奇函数.

所以.

【小问2详解】

因为，所以在上单调递增，

又为上的奇函数，

所以由，得，

所以，即恒成立，

当时，不等式为不能恒成立，故不满足题意；

当时，要满足题意，需，解得，

所以实数的取值范围为.

【小问3详解】

把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，

又，为奇函数，

所以的图象关于点对称，所以，，

所以

，

因为，所以，即.