人教版高考数学一轮复习考点规范练6函数的单调性与最大(小)值含答案

考点规范练6　函数的单调性与最大(小)值

1.(2021北京,3)已知f(x)是定义在区间[0,1]上的函数,那么“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的              (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案  A

解析  若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),

若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),比如f(x)=,

但f(x)=在区间上单调递减,在区间上单调递增,

故f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在区间[0,1]上单调递增,

故“函数f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的充分不必要条件.

2.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都单调递减,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)

A.单调递增 

B.单调递减

C.先单调递增后单调递减 

D.先单调递减后单调递增

答案  B

解析  因为函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都单调递减,

所以a<0,b<0.

所以y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=-<0.

故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内单调递减,选B.

3.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,0] B.[0,1) 

C.[1,+∞) D.[-1,0]

答案  B

解析  由题知,g(x)=可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1).

4.(多选)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是(　　)

A.>0

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0

C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D.f(x1)>f(x2)

答案  AB

解析  由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.

5.(2021广西桂林中学高三月考)若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为(　　)

A.10 B.10或20 

C.20 D.无法确定

答案  C

解析  当k=0时,不符合题意;

当k>0时,f(x)=在区间[2,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)==5,

∴k=20,符合题意;

当k<0时,f(x)=在区间[2,4]上单调递增,∴f(x)min=f(2)==5,

∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.

故k的值为20.

6.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增

B.函数y=在区间(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调递减

C.函数y=的单调区间是[-2,+∞)

D.已知f(x)在R上是增函数,若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

答案  AD

解析  由函数y=2x2+x+1=2在区间内单调递增知,函数y=2x2+x+1在区间(0,+∞)内单调递增,故A正确;

函数y=在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)内均单调递减,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)内不单调递减,如-2<0,但,故B错误;

函数y=在区间[-2,-1)和(5,+∞)内无意义,从而在区间[-2,+∞)内不是单调函数,故C错误;

由a+b>0得a>-b,因为f(x)在R上单调递增,所以f(a)>f(-b),同理f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正确.

7.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C. D.

答案  D

解析  设y=f(x),令x2-ax+3a=t.

∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,

∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.

∴解得-<a≤2.

故实数a的取值范围是.

8.(2021辽宁朝阳一模)写出一个值域为(-∞,1),在区间(-∞,+∞)上单调递增的函数f(x)=　　　　　. 

答案  1-(答案不唯一)

解析  f(x)=1-,理由如下:

∵y=为R上的减函数,且>0,

∴f(x)=1-为R上的增函数,且f(x)=1-<1,∴f(x)=1-的值域为(-∞,1).

9.若f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为　　　　　. 

答案  [)

解析  由题意知,

解得故a的取值范围为.

10.已知函数f(x)=,x∈[3,5].

(1)判断函数f(x)在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;

(2)求该函数在区间[3,5]上的最大值和最小值.

解(1)函数f(x)在区间[3,5]上单调递增,

证明:设任意x1,x2,满足3≤x1<x2≤5.

因为f(x1)-f(x2)=

=,

又3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

所以f(x)=在区间[3,5]上单调递增.

(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=,f(x)max=f(5)=.