高考数学一轮复习考点规范练6函数的单调性与最值含解析新人教A版文

考点规范练6　函数的单调性与最值

基础巩固

1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)

A.y=2-x B.y=x

C.y=log2x D.y=-

答案:B

解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.

2.若函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+∞)内(　　)

A.单调递增 B.单调递减

C.先增后减 D.先减后增

答案:B

解析:因为函数y=ax与y=-在区间(0,+∞)内都是减函数,所以a<0,b<0.

所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-<0.

故y=ax2+bx在区间(0,+∞)内为减函数,选B.

3.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为(　　)

A.(-∞,1] B.[3,+∞)

C.(-∞,-1] D.[1,+∞)

答案:B

解析:设t=x2-2x-3,由t≥0,

即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,

所以函数t在区间(-∞,-1]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).

4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.[4,8)

C.(4,8) D.(1,8)

答案:B

解析:由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.

5.函数f(x)=在(　　)

A.(-∞,1)∪(1,+∞)内是增函数

B.(-∞,1)∪(1,+∞)内是减函数

C.(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数

D.(-∞,1)和(1,+∞)内是减函数

答案:C

解析:由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},

f(x)=-1.

又根据函数y=-的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-∞,1)和(1,+∞)内是增函数.

6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=ex+sin x,则(　　)

A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(3)<f(1)

C.f(3)<f(2)<f(1) D.f(3)<f(1)<f(2)

答案:D

解析:由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3).

由f(x)=ex+sinx,得函数f(x)在区间内单调递增.

又-<π-3<1<π-2<,

∴f(π-2)>f(1)>f(π-3).∴f(2)>f(1)>f(3).

7.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

答案:B

解析:当x∈(1,+∞)时,y=log2x与y=均为增函数,故f(x)=log2x+在区间(1,+∞)内为增函数,且f(2)=0,

∴当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0;当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0.

8.已知函数f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,2] B.[2,+∞)

C. D.

答案:D

解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.

∵y=f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,

∴t=x2-ax+3a在区间[1,+∞)内单调递增,且满足t>0.

∴

解得-<a≤2.

∴实数a的取值范围是.

故选D.

9.已知函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是　　　　　　　　. 

答案:[0,1)

解析:由题知g(x)=其函数图象如图所示,

由图知g(x)的递减区间为[0,1).

10.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 

答案:3

解析:因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递增,

所以f(x)在区间[-1,1]上单调递减.

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

11.已知函数y=与y=log3(x-2)在区间(3,+∞)内有相同的单调性,则实数k的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-4)

解析:由题意知y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,所以它在区间(3,+∞)内是增函数.

又y==2+,因为它在区间(3,+∞)内是增函数,

所以4+k<0,解得k<-4.

能力提升

12.已知函数f(x)=的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)

A.-2 B.2

C.-1 D.1

答案:B

解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,

∴≥2.

∴f(x)的值域为[2,+∞).

∵y1=在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),

∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.

13.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)

C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

答案:D

解析:由题意可得a>x-(x>0).

令f(x)=x-,函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.

14.(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)

A.[-1,1]∪[3,+∞)  B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞)  D.[-1,0]∪[1,3]

答案:D

解析:不等式xf(x-1)≥0可化为

∵f(2)=0,∴f(-2)=0.

∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.

∵f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

∴f(x)在区间(0,+∞)上也单调递减.

∴解得1≤x≤3或-1≤x≤0,

∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],

故选D.

15.已知f(x)=(x≠a).

(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;

(2)若a>0,且f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.

答案:(1)证明当a=-2时,f(x)=(x≠-2).

设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,

f(x1)-f(x2)=.

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,

∴f(x1)<f(x2).

∴f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增.

(2)解任设1<x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=.

∵a>0,x2-x1>0,

∴要使f(x1)-f(x2)>0,

只需(x1-a)(x2-a)>0在区间(1,+∞)内恒成立,

∴a≤1.

综上所述,a的取值范围是(0,1].

高考预测

16.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤1 B.a≥1

C.a≤0 D.a≥0

答案:C

解析:当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.

依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.