江苏省扬州市高邮市第一中学2021-2022学年高二数学下学期期末适应性试题（Word版附解析）

高二期末适应性考试（数学）

一､单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 集合，，，则等于　（    ）

A. {1,4,5.6}

B. {1,5}

C. {4}

D. {1,2,3,4,5}

【答案】B

【解析】

【分析】先计算出，再由交集定义计算．

【详解】由题意所以．

故选： B

【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键．

2. “”是“”的（    ）条件

A. 充分非必要 B. 必要非充分

C. 充要 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件，利用作差法以及不等式性质，可得答案.

【详解】由，则，即，故；

由，则或，故推不出；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 已知，其中a，b为常数，若，则（    ）

A.  B.  C. 10 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】计算出，结合可求得的值.

【详解】因为，所以，

若，则.

故选: A．

4. 已知空间向量，，，且，则实数的值为

A. 5 B. -5 C. 5或-5 D. -10或10

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，建立方程组，即可求得z的值.

【详解】因为，所以存在，使得，

又因为，而，

则，解得或，所以答案为C.

【点睛】本小题主要考查空间向量共线定理以及向量模的坐标表示，属于中档题，具体如下：设（），则存在唯一的，使得，即；.

5. 函数的图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求解函数定义域，进而化简为，判断函数的奇偶性和函数值的符号，通过排除法即可得出结果．

【详解】∵，∴函数定义域为关于原点对称，

，函数为奇函数，由

易得的图象为A．

故选：A

6. 某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）

A. 56种 B. 68种

C. 74种 D. 92种

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，分划左舷有“多面手”的人数分类，利用组合数公式计算求值.

【详解】根据划左舷中有“多面手”人数多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有 种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有(种)不同的选派方法．

故选：D

【点睛】方法点睛：组合数中的“多面手”问题，需明确某一类元素多面手有多少进行分类，这样才能做到不重不漏.

7. 有条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：)都服从正态分布，且.在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由正态分布的对称性得，再结合独立重复试验求解即可得答案.

【详解】由题知正态分布的对称轴为，

又因为，故.

故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：.

故选：D.

【点睛】本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得，进而根据独立重复试验的概率求解即可.

8. 定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围．

【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，

故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根，

所以x＝1或.

又1∉（﹣1，1）

∴方程在（﹣1，1）上有根，

因为，而当时，，

于是.

故选：A．

二､多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 若，则下列选项正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】令，求出，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项B；令，求出结合值，可判断选项C；利用展开式所有项系数和为，结合值，可判断选项D.

【详解】令，，所以A正确；

五项相同因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其他四个因式取2，或两个因式取其他三个因式取2，所以，所以B不正确；

令，则，

所以，所以C不正确；

展开式所有项系数和为，

令，得，

所以，所以D正确.

故选：AD．

10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是

C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

11. 下列结论正确的是（　　）

A. 若随机变量，则

B. 已知随机变量X，Y满足，若，则

C. 某中学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学去参加某公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.则至少选到2名女同学的概率是0.3

D. 三批同种规格的产品，第一批占20%，第二批占30%，第三批占50%，次品率依次为6%、5%、4%， 将三批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是合格品的概率是0.953

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，B选项分别利用正态分布，二项分布的性质处理，C选项利用古典概型的概率公式计算，D选项利用条件概率解决.

【详解】，则正态曲线关于对称，而是关于对称两个区间，于是，A选项正确；

由二项分布的期望方差公式，

，，而，于是

，，B选项错误；

由选项可得，所求的概率为：，C选项错误；

根据选项可得，合格品的概率为：

，D选项正确.

故选：AD

12. 已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A. 若不等式至少有个正整数解，则

B. 当时，

C. 过点作函数图象的切线有且只有一条

D. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用参变量分离法可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合已知条件求出的取值范围，可判断A选项；求出函数在上的解析式，可判断B选项；设切点坐标为，其中，利用导数法求出切线方程，代入点坐标，求出的值，可判断C选项；分析可得，利用函数在上的单调性可得出，再利用参变量分离可求得实数的取值范围，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，由可得，令，其中，

则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，

因为不等式至少有个正整数解，

则不等式的解集中至少含有元素、、，

所以，，A错；

对于B选项，当时，，

此时，B对；

对于C选项，设切点坐标为，其中，

当时，，所以，所求切线方程为，

因为切线过点，则，化简可得，

构造函数，其中，，

所以，函数在上单调递增，且，

故方程只有唯一解，C对；

对于D选项，因为实数，若对任意的，不等式恒成立，

即，可得，

当时，，所以，函数在上为增函数，

因为，且，则，由可得，

所以，，则，则，

因为函数在上为增函数，所以，，D对.

故选：BCD.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 除以的余数是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由原式可得，再运用二项式定理即可求解.

【详解】原式

（为正整数）．故余数为．

故答案为：

14. 已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据函数的周期性，结合已知函数解析式，代值计算即可.

【详解】因为，则，故可得，

故的一个周期为，则，

对，令，故可得.

即.

故答案为：.

15. 中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗.经过科研工作者长达一年左右的研制，截至目前我国已有4款自主研发的新冠疫苗获批上市.其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位，且任务必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有__________种（用数字作答）

【答案】624

【解析】

【分析】分A在第一位、第二位、第三位三种情况，考虑有几种方式，剩下的元素全排即可.

【详解】把A排在第一位，任务相邻的位置有5个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；

把A排在第二位，任务相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；

把A排在第三位，任务相邻的位置有4个，两者的顺序有2种情况，剩下的4个任务全排列，有种，共有种方案；

总共有种方案.

故答案为：624.

16. 已知函数为定义在R上的奇函数，且对于，都有，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】

【分析】令，可得是上的增函数，根据为奇函数可得为偶函数，且在上是减函数，分类讨论的符号，将变形后，利用的单调性可解得结果.

【详解】令，则对于，都有，

所以是上的增函数，

因为函数为定义在R上的奇函数，所以，

所以，所以是定义在R上的偶函数，所以在上是减函数，

当时，化为，即，因为是上的增函数，所以，

当时，化为，因为为奇函数，且，所以，所以化为，因为在上是减函数，所以，

综上所述：的解集为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：构造函数，利用的奇偶性和单调性求解是解题关键.

四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 若的展开式中前三项的系数和为163，求：

（1）展开式中所有的有理项；

（2）展开式中系数最大的项．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】写出该二项式展开式的通项，根据前三项的系数求出n=9，

（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解.

（2）由题意设展开式中项的系数最大，可得，解不等式可得k=6，进而可得系数最大的项.

【详解】该二项式展开式的通项为

，

展开式前三项的系数为1，，．

由题意得，整理得，所以.

（1）设展开式中的有理项为，

由

又∵，∴或6．

故有理项为，

（2）设展开式中项的系数最大，

则

，

又∵，∴

故展开式中系数最大的项为.

18. 如图，四棱锥的底面是矩形，，，，且底面，若棱上存在异于，的一点，使得.

（1）求实数的取值范围；

（2）当取最大值时，求点到平面的距离.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，由 ，得，将等式转化为不等式即可.

(2) 求及平面的一个法向量，再用公式计算即可.

【小问1详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，设.

，，

由，得，即.

由题意，知，，

即实数的取值范围是.

【小问2详解】

由(1)知的最大值是，此时，即点是的中点.

设是平面的法向量，

，，

由

令，则，故是平面的一个法向量.

又在方向上的投影长为，

点到平面距离为

19. 手机芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的部分，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型手机芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件手机芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1)：

产品的性能指数在[50，70)的称为A类芯片，在[70，90)的称为B类芯片，在[90，110]的称为C类芯片，以这100件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.

（1）在该流水线上任意抽取3件手机芯片，求C类芯片不少于2件的概率；

（2）该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用；和年销售量(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图2所示.

（i）利用散点图判断，和(其中c，d为大于0的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；

（ii）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：

根据（i）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

（iii）由所求的回归方程估计，当年营销费用为100万元时，年销量y(万件)的预报值.(参考数据：)

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）；（2）（i）用更适合；（ii）；（iii）预报值为300万件.

【解析】

【分析】（1）可得取出C类芯片的概率为，直接求出概率即可；

（2）（i）由散点图可见明显不是线性；

（ii）根据表中数据可求出，即可得出y关于x的回归方程；

（iii）代入即可求解.

【详解】解：（1）由频率分布直方图，A､B､C类芯片所占频率分别为0.15，0.45，0.4，取出C类芯片的概率为，

设“抽出C类芯片不少于2件”为事件A，

（2）（i）由散点图可见明显不是线性，则用更适合；

（ii）由表中数据可得，

，，

则，则

因为，所以

（iii）当，.所以年销售量的预报值为300万件.

20. 在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面.

（1）求二面角的余弦值；

（2）线段上是否存在一点，使异面直线和所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析

【解析】

【分析】（1）利用向量法求二面角的余弦值；（2）设，利用向量法得到，解方程即得解.

【详解】设是中点，为正三角形，

则，平面平面，

面，又∵，

，所以为正三角形，，

建立如图所示空间直角坐标系，则，

于是，，

(1)设平面的法向量为，

由得一个法向量为，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则

由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.

(2) 设，则，

，

所以

解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.

【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21. 某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有，，三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对，，三道题中的每一题能解出的概率都是，乙考生对，，三道题能解出的概率分别是，，，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．

（1）求甲至少能解出两道题的概率；

（2）设表示乙在考试中能解出题的道数，求的数学期望；

（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．

【答案】（1）；（2）道；（3）甲应该被录取，理由简解析．

【解析】

【分析】（1）依题意直接求出概率；

（2）由题意知的所有可能取值为，，，．分别求出各自的概率，最终算出数学期望；

（3）求出甲数学期望，根据甲、乙两人的期望判断．

【详解】（1）依题意，甲至少能解出两道题的概率．

（2）由题意知，的所有可能取值为，，，．则；

；

；

．

故的数学期望（道）．

（3）设表示甲在考试中能解出题的道数，则随机变量服从二项分布，即．

知的数学期望．因为，故甲应该被录取．

22. 已知函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求证有两个零点，，并且．

【答案】（1）1    （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由导数判断单调性后求最小值

（2）由导数判断单调性，结合零点存在性定理，由方程得的关系，表示出后证明

【小问1详解】

当时，，

．

令，则，所以在单调递增，

又因为，，

所以存在，使得，此时．

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增．

所以的最小值为，

【小问2详解】

，

，当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

则，

这时，

利用放缩

记的正根为

所以，

所以存在两个零点和，，，

因为，即

两式相减得；

两式相加得．

要证，即

只要证，

令，，

，则在单调递增，所以，

又因为，所以得证，所以成立．